高中数学高考专题03 导数及其应用（解析版）

这是一份高中数学高考专题03 导数及其应用（解析版），共26页。试卷主要包含了函数的最小值为______.，设a，b为实数，且，函数，已知且，函数，设函数，已知是函数的极值点等内容，欢迎下载使用。

专题03 导数及其应用

1．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
2．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
3．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【解析】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b 综上，,
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
4．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合对进行分类讨论，画出图象，由此确定正确选项.
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
依题意，为函数的极大值点，
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
5．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
6．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
7．（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【解析】(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，
令，则，
记，
记，
又，所以时，时，，
则在单调递减，单调递增，，
.
即实数的取值范围是.
(3)有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，又由知，
，
要证，只需，
且关于的函数在上单调递增，
所以只需证，
只需证，
只需证，
，只需证在时为正，
由于，故函数单调递增，
又，故在时为正，
从而题中的不等式得证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
8．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.
【解析】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
9．（2021·全国高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
【答案】1；证明见详解
【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；
（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【解析】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
当时，要证，，，即证，化简得；
同理，当时，要证，，，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立
【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.

1．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）无极大值，也无极小值
B．f（x）有极大值，也有极小值
C．f（x）有极大值，无极小值
D．f（x）无极小值，有极大值
【答案】C
【分析】求导判断函数的单调性，但由于不容易判断正负，所以需要二次求导来判断.
【解析】因为，所以，
令，
，
因为，所以，即，故，
所以在上单调递减，
又因为，，
所以存在唯一的，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）有极大值，无极小值.
故选：C.
2．（2021·山东济南市·高三其他模拟）曲线在x＝0处的切线方程是_________．
【答案】y＝﹣x+1
【分析】利用导数求出切线的斜率，利用点斜式求出点斜式方程.
【解析】的导数为，
可得曲线在x＝0处的切线的斜率为k＝﹣1，
又切点为（0，1），
所以切线的方程为y＝﹣x+1．
故答案为：y＝﹣x+1．
3．（2021·全国高三其他模拟）函数在处的切线与坐标轴围成的图形面积为___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义可求得切线方程，进而确定与坐标轴的交点坐标，从而求得面积.
【解析】切点，，
切线：，即，
与轴交点，与轴交点，
故，
故答案为：.
4．（2021·福建高三三模）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，且，求的最大值.
【答案】（1）在上单调递增；（2）最大值为3.
【分析】（1）对函数求导，然后分及讨论即可得的单调性；
（2）设，由题意，，，则，设，判断函数的单调性，结合题意即可求得的最大值.
【解析】解：（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，则，
设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴，
∴，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
（2）依题意，，则，
两式相除得，，设，则，，，
∴，，
∴，
设，则，
设，则，
∴在单调递增，则，
∴，则在单调递增，
又，即，而，
∴，即的最大值为3.
【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键点是，根据得，
利用比值代换，则有，，，从而将双变量问题变为单变量问题来解决.
5．（2021·北京高三其他模拟）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：曲线在点处的切线不经过原点；
（Ⅲ）设整数使得对恒成立，求整数的最大值.
【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）2.
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可
（Ⅱ）利用导数的几何意义求出切线方程，利用反证法进行证明
（Ⅲ）将不等式进行转化，构造函数，求出函数的最小值进行证明即可
【解析】（Ⅰ）函数的导数为，由得，
由，得，所以在上单调递增，
由，得，所以在上单调递减.
所以的单调减区间为，增区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线在点处的切线为，其中，
假设在点处的切线经过原点.
则有，即，
整理得与矛盾，
则曲线在点处的切线不经过原点；
（Ⅲ）对恒成立等价于当时，恒成立.
令，则.由，得，
随着变化，，的变化情况如下表所示：





﹣
0
+


极小值

所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
令，则.
当时，因为的最小值为，
所以恒成立，符合题意；
当时.由，得函数，在上单调递减，所以，
故此时的最小值，不符合题意，
所以整数的最大值是2.
【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法
(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；
(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围
6．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）含参数函数的单调性需要分类讨论得出结果；
（2）通过换元把恒成立转化为恒成立，然后构造函数即可.
【解析】解：（1）由题意，函数的定义域为.
则.
（i）当时，令，得，
令，得；
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（ii）当时，对任意恒成立，
所以函数在上单调递减；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
（2），恒成立，
即恒成立，
设，则，
设，
则问题转化为，都有恒成立.
（i）当时，成立，
（ii）当时，，
所以，
由（1）知，当时，在上单调递增，
所以当时，，即，
于是得当时，有，即，
故当时，，
即，
所以当时，恒成立；
(iii)当时，，
所以，
而，
即，
所以当时，恒成立.
综上所述，若对于，都有恒成立，
则只需即可.
故所求的的取值范围为.
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
7．（2021·河南高三其他模拟（理））已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求导，令导数为0，得，分析导数在定义域内的增减性知时，函数有极小值，再分类讨论极值点处的正负，结合零点存在定理判断即可；
（2）结合（1）知当时，，要证，
需证，即证，再分段在时和时，结合导数分类讨论即可证明
【解析】（1）解：因为，所以.
令，得；令，得.所以在上为减函数，在上为增函数，.
当时，，有且只有一个零点；
当时，，没有零点；
当时，，，所以在上有唯一的零点，又，所以在上有唯一的零点.
综上所述，当时，有且只有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点.
（2）证明：由（1）知，当时，，即.
要证，需证，
需证，即证.
设.
当时，.
当时，，令，则.
再令，则，
所以在上为增函数，，
所以在上为增函数，，
所以在上为增函数，.
故成立.
【点睛】本题考查利用导数讨论函数的零点个数，证明函数不等式恒成立问题，属于难题，讨论零点个数，常用以下基本步骤：
①利用导数判断函数的增减区间；
②求出函数极值点；
③判断（讨论）函数极值与零点个数关系.
对于函数不对等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式的等价转化.
8．（2021·广东高三其他模拟）已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）在（1）的条件下，证明：当时，；
（3）当时，求的零点个数.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）有一个零点.
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可
（2）利用导数，得到在上单调递增，由，即可证明在上恒成立
（3）由（2）可知当且时，，即在上没有零点，再根据，，得到，对进行讨论，即可求解
【解析】解：（1）因为的图象在点处的切线与直线平行，
所以，
因为，
所以，解得.
（2）由（1）得当时，，
当时，因为，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒成立.
（3）由（2）可知当且时，，
即在上没有零点，
当时，，
令，，
则单调递增，
且，
，
所以在上存在唯一零点，记为，
且时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以，，
因为，所以，
所以在上存在唯一零点，且在上恒小于零，
故时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
所以在上至多有一个零点，
取，
则有，
所以由零点存在定理可知在上只有一个零点，
又f(0)不为0，所以在上只有一个零点.
【点睛】关键点睛：当时，，令，，则单调递增，且
，，所以在上存在唯一零点，记为，进而得到所以在上存在唯一零点，进而讨论求解，属于难题
9．（2021·重庆市育才中学高三二模）已知函数，.
（1）已知恒成立，求a的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）作差，设，利用导数求出的最小值为，只需；设，利用导数求出，解出；
（2）利用把原不等式转化为证明，即证：，
设，利用导数求出最小值，即可证明.
【解析】（1）设，，
当时，，单增，当，不满足恒成立
当，在单减，在单增，
所以的最小值为，即，即
设，，所以在单减，在单增，
即，故的解只有，综上
（2）先证当时，恒成立.
令，求导，所以在上单调递增，
，所以
所以要证，即证，
即证，即证：，
设，求导，
所以在上单调递减，所以，即原不等式成立.
所以当时，如成立.
【点睛】利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个：
①直接构造函数利用导数证明；②直接做差构造函数利用导数证明；③先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明.
10．（2021·江苏高三其他模拟）已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）求函数的最小值；
（2）求证：.
【答案】（1）最小值为；（2）证明见解析.
【分析】（1），．，利用导数研究其单调性即可得出函数极小值即最小值．
（2）．分类讨论：①时，由（1）可得：，．令，，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．②时，，．可得，．令，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．
【解析】（1），．
令，
，时，．
时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
可得时函数取得极小值即最小值，
．
（2）证明：．
①时，由（1）可得：，．
令，，．
，
函数在，上单调递增，因此（1）．
，
．
②时，，．
，
．
令，
则，
可得时，函数取得极小值即最小值，．
，．
时，．
综上可得：．
【点睛】方法点睛：不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
11．（2021·山东高三其他模拟）已知函数，．
（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；
（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先根据极值点对应的导数值为零求解出的可取值，然后检验的取值下在处是否取极大值，由此确定出的值；
（1）先将问题转化为“时，”，再通过换元将问题转化为“恒成立”，然后构造函数，采用分类讨论的方法分析的最小值与的关系，由此求解出的值.
【解析】（1）因为，所以，
因为在处取极大值，所以，所以，所以
当时，，









+



单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
所以在处取极大值，符合题意；
（2）当时，，．
又因为对，不等式，所以时，，
所以时，，
令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，
故问题转化为“恒成立”，不妨设，所以，
当时，，所以在上单调递增，且，
所以当时，，这与题意不符；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以，所以，
记，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
又因为，即，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.