人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算.
【学习重难点】
向量的运算律.
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？
数乘向量的定义及其几何意义是什么？
向量线性运算满足哪些运算律？
二、新知初探
1．向量的线性运算
（1）若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
（2）化简下列各式：
①3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)b))；②eq \f(1,2)[(3a＋2b)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))]－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．
【解】（1）由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a．故填4b－3a．
（2）①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．
②原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0.
③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．
2．利用已知向量表示相关向量
（1）如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,2)a－b B．eq \f(1,2)a＋b
C．a＋eq \f(1,2)b D．a－eq \f(1,2)b
（2）如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，试用a，b分别表示eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→)).
【解】（1）选D．eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝a－eq \f(1,2)b．
（2）由三角形中位线定理，知DE=eq \f(1,2)BC，故eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，即eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a．
eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝－eq \f(1,2)a＋b．
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a－b．
3．利用向量判断三点共线
已知非零向量e1．e2不共线．如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．
【证明】因为eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．
三、学习小结
向量的线性运算：
（1）向量的加法与数乘向量的混合运算
一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a．
一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb．
（2）向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．
四、精炼反馈
1．下列命题中正确的个数是( )
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；②eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；③0·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选A．由两相反向量的和为零向量知①正确；
由向量的减法运算法则知，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，②错；
由数乘向量的意义知0·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，③错；
即正确的个数是1，故选A．
2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
解析：选A．法一：如图所示，eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A．
法二：eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A．
3．对于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝e1－eq \f(1,10)e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．
其中，向量a，b一定共线的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A．对于①，b＝－a，有a∥b；
对于②，b＝－2a，有a∥b；
对于③，a＝4b，有a∥b；
对于④，a与b不共线．
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b．
解析：由题意知a＝－eq \f(5,7)b．
答案：－eq \f(5,7)