2019年上海市静安区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市静安区中考一模数学试卷（期末），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 化简 −x32 的结果是
A. −x6B. −x5C. x6D. x5

2. 下列抛物线中，顶点坐标为 2,1 的是
A. y=x+22+1B. y=x−22+1
C. y=x+22−1D. y=x−22−1

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 ∠A=α，AB=3，那么 AC 等于
A. 3sinαB. 3csαC. 3sinαD. 3csα

4. 点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，如果 AP 是 PB 和 AB 的比例中项，那么下列式子成立的是
A. PBAP=5+12B. APPB=5−12C. PBAB=5−12D. APAB=5−12

5. 如图，点 D，E 分别在 △ABC 的边 AB，AC 上，且 DE 与 BC 不平行．下列条件中，能判定 △ADE 与 △ACB 相似的是
A. ADAC=AEABB. ADAE=ABACC. DEBC=AEABD. DEBC=ADAC

6. 下列说法不正确的是
A. 设 e 为单位向量，那么 e=1
B. 已知 a，b，c 都是非零向量，如果 a=2c，b=−4c，那么 a∥b
C. 四边形 ABCD 中，如果满足 AB∥CD，AD=BC，那么这个四边形一定是平行四边形
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 不等式 2x−1>0 的解是 ．

8. 方程 1x−1=x2x−1 的根是 ．

9. 已知 xy=25，那么 x+yy 的值是 ．

10. △ABC∽△A1B1C1，其中点 A，B，C 分别与点 A1，B1，C1 对应，如果 AB:A1B1=2:3，AC=6，那么 A1C1= ．

11. 如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是 ．（用“∠1，∠2，∠3 或 ∠4”表示）

12. 如图，当小明沿坡度 i=1:3 的坡面由 A 到 B 行走了 6 米时，他实际上升的高度 BC= 米．

13. 抛物线 y=ax2+a−1a≠0 经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是 的．（填“上升”或“下降”）

14. 如图，AD∥BC，AC，BD 相交于点 O，且 S△AOD:S△BOC=1:4．设 AD=a，DC=b，那么向量 AO= （用向量 a，b 表示）．

15. 在中 △ABC，∠C=90∘，AC=8，BC=6，G 是重心，那么 G 到斜边 AB 中点的距离是 ．

16. 抛物线 y=ax2a≠0 沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线 y=x2 沿直线 y=x 向上平移，平移距离为 2 时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是 ．

17. 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，BE∥AD，且 BE 交 CD 于点 E，∠AEB=∠C．如果 AB=3，CD=8，那么 AD 的长是 ．

18. 如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线翻折后，点 A 与点 E 重合，且 ED 交 BC 于点 F，连接 AE．如果 tan∠DFC=23，那么 BDAE 的值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：2sin260∘−cs60∘tan260∘+4cs45∘．

20. 先化简，再求值：2−x−1x+1÷x2+6x+9x2−1，其中 x=2．

21. 已知：如图，反比例函数的图象经过点 A，P，点 A6,43，点 P 的横坐标是 2．抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 经过坐标原点，且与 x 轴交于点 B，顶点为 P．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）抛物线的表达式及 B 点坐标．

22. 2018 年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路 AB 段为监测区，C，D 为监测点（如图）．已知 C，D，B 在同一条直线上，且 AC⊥BC，CD=400 米，tan∠ADC=2，∠ABC=35∘．
（1）求道路 AB 段的长；（精确到 1 米）
（2）如果 AB 段限速为 60 千米/时，一辆车通过 AB 段的时间为 90 秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35∘≈0.57358，cs35∘≈0.8195，tan35∘≈0.7）

23. 已知：如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 BC 和 AB 上，且 AD=AC，EB=ED，分别延长 ED，AC 交于点 F．
（1）求证：△ABD∽△FDC；
（2）求证：AE2=BE⋅EF．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过点 B4,0，D5,3，设它与 x 轴的另一个交点为 A（点 A 在点 B 的左侧），且 △ABD 的面积是 3．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求 ∠ADB 的正切值；
（3）若抛物线与 y 轴交于点 C，直线 CD 交 x 轴于点 E，点 P 在射线 AD 上，当 △APE 与 △ABD 相似时，求点 P 的坐标．

25. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=6，AC=9，tan∠ABC=22．过点 B 作 BM∥AC，动点 P 在射线 BM 上（点 P 不与 B 重合），连接 PA 并延长到点 Q，使 ∠AQC=∠ABP．
（1）求 △ABC 的面积；
（2）设 BP=x，AQ=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（3）连接 PC，如果 △PQC 是直角三角形，求 BP 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】原式=x6．
2. B【解析】y=x+22+1 的顶点坐标是 −2,1，故选项A不符合题意，
y=x−22+1 的顶点坐标是 2,1，故选项B符合题意，
y=x+22−1 的顶点坐标是 −2,−1，故选项C不符合题意，
y=x−22−1 的顶点坐标是 2,−1，故选项D不符合题意，
故选：B．
3. B【解析】∵∠A=α，AB=3，
∴csα=ACAB，
∴AC=AB⋅csα=3csα．
4. D【解析】∵ 点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，AP 是 PB 和 AB 的比例中项，
∴ 根据线段黄金分割的定义得：APAB=5−12．
5. A
【解析】在 △ADE 与 △ACB 中，
∵ADAC=AEAB，且 ∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
6. C【解析】A、设 e 为单位向量，那么 e=1，故本选项说法正确．
B、已知 a，b，c 都是非零向量，如果 a=2c，b=−4c，那么 a，b 方向相反，则 a∥b，故本选项说法正确．
C 、四边形 ABCD 中，如果满足 AB∥CD，AD=BC，即 AD=BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误．
D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确．
第二部分
7. x>12
【解析】移项，得 2x>1，
系数化为 1，得 x>12．
8. x=−1
【解析】方程的两边都乘以（x−1），得 x2=1，
所以 x=±1．
当 x=1 时，x−1=0，所以 1 不是原方程的根；
当 x=−1 时，x−1=−2≠0，所以 −1 是原方程的根．
所以原方程的解为：x=−1．
9. 75
【解析】因为 xy=25，
所以设 x=2a，则 y=5a，
那么 x+yy=2a+5a5a=75．
10. 9
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，AB:A1B1=2:3，
∴ABA1B1=ACA1C1=23，
∵AC=6，
∴6A1C1=23，
∴A1C1=9．
11. ∠4
【解析】在点 A 处测得点 B 处的仰角是 ∠4．
12. 3
【解析】因为 i=1:3，
所以 tanA=13=33，
所以 ∠A=30∘，
所以 BC=12AB=3（米）．
13. 下降
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+a−1a≠0 经过原点，
∴0=a×02+a−1，得 a=1，
∴y=x2，
∴ 该函数的顶点坐标为 0,0，函数图象的开口向上，
∴ 该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的．
14. 13a+13b
【解析】∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴S△AODS△COB=AOCO2=14，
∴AOCO=12，
∴AOAC=13，
∵AD=a，DC=b，
∴AC=a+b，
∴AO=13AC=13a+13b．
15. 53
【解析】∵ ∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴ AB=AC2+BC2=10，
∵ CD 为 AB 边上的中线，
∴ CD=12AB=5，
∵ 点 G 是重心，
∴ DG=13CD=53．
16. y=x−12+1
【解析】∵ 抛物线 y=x2 沿直线 y=x 向上平移，平移距离为 2，相当于抛物线 y=ax2a≠0 向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位，
∴ 根据平移的规律得到：“同簇抛物线”的表达式是 y=x−12+1．
17. 15
【解析】∵AB∥CD，BE∥AD，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形，
∴BE=AD，DE=AB=3，
∵CD=8，
∴CE=CD−DE=5，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∵∠AEB=∠C，
∴△AEB∽△BCE，
∴ABBE=BECE，
∴3BE=BE5，
∴BE=15．
18. 132
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴BC=AD，∠DAB=∠C=90∘，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵ 矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线翻折后，点 A 与点 E 重合，
∴DE=AD，∠BED=∠DAB=90∘，∠ADB=∠BDE，
∴∠DBF=∠FDB，
∴BF=DF，
∴EF=CF，
∵tan∠DFC=∠BFE=23，
∴ 设 CD=BE=2x，CF=EF=3x，
∴BF=CF=2x2+3x2=13x，
∴BC=13+3x，
∴BD=BC2+CD2=26+613x，
∵AE⊥BD，
∴AH=BE⋅DEBD，
∴AE=2AH=2BE⋅DEBD，
∴BDAE=BD2BE⋅DEBD=BD22BE⋅DE=132．
第三部分
19. 原式=2×322−1232+4×22=13+22=3−223+223−22=3−22.
20. 2−x−1x+1÷x2+6x+9x2−1=2x+1−x−1x+1⋅x+1x−1x+32=2x+2−x+1x+1⋅x+1x−1x+32=x+3x+1⋅x+1x−1x+32=x−1x+3.
当 x=2 时，原式=2−12+3=15．
21. （1） 设反比例函数的解析式为：y=kx，
把点 A6,43 代入得：43=k6，
解得：k=8，
即反比例函数的解析式为：y=8x．
（2） 把 x=2 代入 y=8x 得：y=82=4，
即点 P 的坐标为：2,4，
设抛物线的表达式为：y=ax−22+4，
把点 O0,0 代入得：4a+4=0，
解得：a=−1，
即抛物线的表达式为：y=−x−22+4，
把 y=0 代入得：−x−22+4=0，
解得：x1=0，x2=4，
即 B 点的坐标为：4,0．
22. （1） ∵AC⊥BC，
∴∠C=90∘，
∵tan∠ADC=ACCD=2，
∵CD=400，
∴AC=800，
在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=35∘，AC=800，
∴AB=ACsin35∘=8000.57358≈1395 米．
（2） ∵AB=1395，
∴ 该车的速度 =139590=55.8 km/h0
（3） 连接 PC，△PQC 是直角三角形，即 ∠PCQ=90∘，
在 Rt△ABH 中，cs∠ABH=BHAB=13，
∴ cs∠PQC=csα=CQPQ=13，
其中 CQ=54x2−4x+36，PQ=AP+AQ=y+AP，AP=x2−4x+36，
∴ 54x2−4x+36y+x2−4x+36=13, ⋯⋯②
联立 ①② 解得：x=−14（舍）或 x=9，
即 BP 的长为 9．