2019年上海市奉贤区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市奉贤区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知线段 a，b，如果 a:b=5:2，那么下列各式中一定正确的是
A. a+b=7B. 5a=2bC. a+bb=72D. a+5b+2=1

2. 关于二次函数 y=12x+12 的图象，下列说法正确的是
A. 开口向下B. 经过原点
C. 对称轴右侧的部分是下降的D. 顶点坐标是 −1,0

3. 如图，在直角坐标平面内，射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 α，如果 OA=10，tanα=3，那么点 A 的坐标是
A. 1,3B. 3,1C. 1,10D. 3,10

4. 对于非零向量 a，b，如果 2a=3b，且它们的方向相同，那么用向量 a 表示向量 b 正确的是
A. b=32aB. b=23aC. b=−32aD. b=−23a

5. 某同学在利用描点法画二次函数 y=ax2+bx+ca=0 的图象时，先取自变量 x 的一些值，计算出相应的函数值 y，如表所示：
x⋯01234⋯y⋯−30−10−3⋯
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是
A. x=0,y=−3B. x=2,y=−1C. x=3,y=0D. x=4,y=3

6. 已知 ⊙A 的半径 AB 长是 5，点 C 在 AB 上，且 AC=3，如果 ⊙C 与 ⊙A 有公共点，那么 ⊙C 的半径长 r 的取值范围是
A. r≥2B. r≤8C. 2
二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：3a+2a−12b= ．

8. 计算：sin30∘tan60∘= ．

9. 如果函数 y=m−1x2+x（m 是常数）是二次函数，那么 m 的取值范围是 ．

10. 如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 （只需写一个即可）．

11. 如果将抛物线 y=−2x2 向右平移 3 个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线 ．

12. 如图，AD 与 BC 相交于点 O，如果 AODO=13，那么当 BOCO 的值是 时，AB∥CD．

13. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的弦，C 是 AB 的中点，连接 OA，AC，如果 ∠OAB=20∘，那么 ∠CAB 的度数是 ．

14. 连接三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是 ．

15. 如果正 n 边形的内角是它中心角的两倍，那么边数 n 的值是 ．

16. 如图，某水库大坝的横假面是梯形 ABCD，坝顶宽 DC 是 10 米，坝底宽 AB 是 90 米，背水坡 AD 和迎水坡 BC 的坡度都为 1:2.5，那么这个水库大坝的坝高是 米．

17. 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为 6，那么它的边长是 ．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，sinC=35，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE，点 B，C 分别与点 D，E 对应，AD 与边 BC 交于点 F．如果 AE∥BC，那么 BF 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知抛物线 y=xx−2+2．
（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成 y=ax+m2+k 的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）将抛物线 y=xx−2+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，求新抛物线的表达式．

20. 如图，已知 AD 是 △ABC 的中线，G 是重心．
（1）设 AB=a，BC=b，用向量 a，b 表示 BG；
（2）如果 AB=3，AC=2，∠GAC=∠GCA，求 BG 的长．

21. 如图，已知 Rt△ABC，∠BAC=90∘，BC=5，AC=25，以 A 为圆心、 AB 为半径画圆，与边 BC 交于另一点 D．
（1）求 BD 的长；
（2）连接 AD，求 ∠DAC 的正弦值．

22. “滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图 1）．图 2 是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在窗框上，悬臂 DE 安装在窗扇上，支点 B，C，D 始终在一条直线上，已知托臂 AC=20 厘米，托臂 BD=40 厘米，支点 C，D 之间的距离是 10 厘米，张角 ∠CAB=60∘．
（备用数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，7≈2.65）
（1）求支点 D 到滑轨 MN 的距离（精确到 1 厘米）；
（2）将滑块 A 向左侧移动到 Aʹ（在移动过程中，托臂长度不变，即 AC=AʹCʹ，BC=BCʹ），当张角 ∠CʹAʹB=45∘ 时，求滑块 A 向左侧移动的距离（精确到 1 厘米）．

23. 已知：如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AC 上，BD 的垂直平分线交 CA 的延长线于点 E，交 BD 于点 F，连接 BE，ED2=EA⋅EC．
（1）求证：∠EBA=∠C；
（2）如果 BD=CD，求证：AB2=AD⋅AC．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与抛物线 y=ax2+bx 交于点 A6,0 和点 B1,−5．
（1）求这条抛物线的表达式和直线 AB 的表达式；
（2）如果点 C 在直线 AB 上，且 ∠BOC 的正切值是 32，求点 C 的坐标．

25. 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=90∘，AD=4，AB=2CD=6，E 是边 BC 上一点，过点 D，E 分别作 BC，CD 的平行线交于点 F，连接 AF 并延长，与射线 DC 交于点 G．
（1）当点 G 与点 C 重合时，求 CE:BE 的值；
（2）当点 G 在边 CD 上时，设 CE=m，求 △DFG 的面积（用含 m 的代数式表示）；
（3）当 △AFD∽△ADG 时，求 ∠DAG 的余弦值．
答案
第一部分
1. C【解析】A．当 a=10，b=4 时，a:b=5:2，但是 a+b=14，故本选项错误；
B．由 a:b=5:2，得 2a=5b，故本选项错误；
C．由 a:b=5:2，得 a+bb=72，故本选项正确；
D．由 a:b=5:2，得 a+5b+2=52，故本选项错误．
2. D【解析】A．由二次函数二次函数 y=12x+12 中 a=12>0，则抛物线开口向上，故本项错误；
B．当 x=0 时，y=12，则抛物线不过原点，故本项错误；
C．由二次函数 y=12x+12 得，开口向上，对称轴为直线 x=−1，对称轴右侧的图象上升，故本项错误；
D．由二次函数 y=12x+12 得，顶点为 −1,0，故本项正确．
3. A【解析】过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，
由于 tanα=3，
∴ABOB=3，
设 AB=3x，OB=x，
∵OA=10，
∴ 由勾股定理可知 9x2+x2=10，
∴x2=1，
∴x=1，
∴AB=3，OB=1，
∴A 的坐标为 1,3．
4. B【解析】∵2a=3b，
∴b=23a．
又 ∵ 非零向量 a 与 b 的方向相同，
∴b=23a．
5. B
【解析】由表中数据得 x=0 和 x=4 时，y=3；x=1 和 x=3 时，y=0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，
∴ 只有 x=2 时 y=−1 错误．
6. D【解析】∵⊙A 的半径 AB 长是 5，点 C 在 AB 上，且 AC=3，
∴ 点 C 到 ⊙A 的最大距离为 8，最小距离为 2，
∵⊙C 与 ⊙A 有公共点，
∴2≤r≤8．
第二部分
7. 5a−b
【解析】3a+2a−12b=3a+2a−b=5a−b．
8. 32
【解析】sin30∘tan60∘=12×3=32．
9. m≠1
【解析】∵ 函数 y=m−1x2+x（m 为常数）是二次函数，
∴m−1≠0，解得 m≠1．
10. y=−x2+2（答案不唯一）
【解析】∵ 二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，
∴a<0，
∴ 符合条件的二次函数解析式可以为 y=−x2+2（答案不唯一）．
11. x=3
【解析】将抛物线 y=−2x2 向右平移 3 个单位得到的解析式为 y=−2x−32，
故所得到的新抛物线的对称轴是直线 x=3．
12. 13
【解析】∵AODO=13，
∴ 当 BOCO=13 时，AODO=BOCO，
∴AB∥CD．
13. 35∘
【解析】连接 OC 交 AB 于 E．
∵C 是 AB 的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠AEO=90∘，
∵∠BAO=20∘，
∴∠AOE=70∘，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=55∘，
∴∠CAB=∠OAC−∠OAB=35∘．
14. 1:2
【解析】如图．
∵D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，
∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，
∴DE+DF+EF=12AC+12BC+12AB，
∵△DEF∽△ABC，
∴ 所得到的 △DEF 与 △ABC 的周长之比是 1:2．
15. 6
【解析】依题意有 n−2⋅180n=360n×2，解得 n=6．
16. 16
【解析】如图所示：过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，作 CN⊥AB 于点 N．
设 DM=CN=x，
∵ 背水坡 AD 和迎水坡 BC 的坡度都为 1:2.5，
∴AM=BN=2.5x，故 AB=AM+BN+MN=5x+10=90，
解得 x=16，即这个水库大坝的坝高是 16 米．
17. 23
【解析】由比例中项的定义可得，“钻石菱形”的边长 =6×2=23．
18. 258
【解析】如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H．
∴∠AHB=∠AHC=90∘，BH=CH，
∵AB=AC=5，sinC=AHAC=35，
∴AH=3，
∴CH=BH=AC2−AH2=4，
∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE，
∴∠BAF=∠CAE，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠BAF=∠B，
∴AF=BF，
设 AF=BF=x，
∴FH=4−x，
∵AF2=AH2+FH2，
∴x2=32+4−x2，解得 x=258，
∴BF=258．
第三部分
19. （1） y=xx−2+2=x2−2x+2=x−12+1，
它的顶点坐标为 1,1．
（2） ∵ 将抛物线 y=xx−2+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，
∴ 图象向下平移 1 个单位得到 y=x−12．
20. （1） ∵AD 是 △ABC 的中线，BC=b，
∴BD=12b，
∵AB=a，
∴AD=a+12b，
∵G 是重心，
∴AG=23AD=23a+12b=23a+13b，
∴BG=−AB+AG=−a+23a+12b=−13a+12b．
（2） 延长 BG 交 AC 于 H．
∵∠GAC=∠GCA，
∴GA=GC，
∵G 是重心，AC=2，
∴AH=12AC=1，
∴BH⊥AC，
在 Rt△ABH 中，∠AHB=90∘，AB=3，
∴BH=AB2−AH2=22，
∴BG=23BH=423．
21. （1） 如图，连接 AD，作 AH⊥BD 于 H．
∵Rt△ABC，∠BAC=90∘，BC=5，AC=25，
∴AB=BC2−AC2=5，
∵12⋅AB⋅AC=12⋅BC⋅AH，
∴AH=5×255=2，
∴BH=AB2−AH2=1，
∵AB=AD，AH⊥BD，
∴BH=HD=1，
∴BD=2．
（2） 作 DM⊥AC 于 M．
∵S△ACB=S△ABD+S△ACD，
∴12×5×25=12×2×2+12×25×DM，
∴DM=355，
∴sin∠DAC=DMAD=3555=35．
22. （1） 过 C 作 CG⊥AB 于 G，过 D 作 DH⊥AB 于 H．
∵AC=20，∠CAB=60∘，
∴AG=12AC=10，CG=3AG=103，
∵BC=BD−CD=30，
∵CG⊥AB，DH⊥AB，
∴CG∥DH，
∴△BCG∽△BDH，
∴BCBD=CGDH，
∴3040=103DH，
∴DH=4033≈23（厘米），
∴ 支点 D 到滑轨 MN 的距离为 23 厘米．
（2） 过 Cʹ 作 CʹS⊥MN 于 S．
∵AʹCʹ=AC=20，∠CʹAʹS=45∘，
∴AʹS=CʹS=102，
∴BS=BCʹ2−CʹS2=107，
∴AʹB=102+107，
∵BG=BC2−CG2=106，
∴AB=10+106，
∴AAʹ=AʹB−AB≈6（厘米），
∴ 滑块 A 向左侧移动的距离是 6 厘米．
23. （1） ∵ED2=EA⋅EC，
∴DEEA=ECDE，
∵∠BEA=∠CEB，
∴△BAE∽△CEB，
∴∠EBA=∠C．
（2） ∵EF 垂直平分线段 BD，
∴EB=ED，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠C+∠DBC=∠EBA+∠ABD，
∵∠EBA=∠C，
∴∠DBC=∠ABD，
∵DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∴∠ABD=∠C，
∵∠BAD=∠CAB，
∴△BAD∽△CAB，
∴ABCA=ADAB，
∴AB2=AD⋅AC．
24. （1） 把点 A6,0 和点 B1,−5 代入抛物线 y=ax2+bx 得：36a+6b=0,a+b=−5, 解得：a=1,b=−6.
∴ 这条抛物线的表达式：y=x2−6x，
设直线 AB 的解析式为：y=kx+b，
把点 A6,0 和点 B1,−5 代入得：6k+b=0,k+b=−5,
解得：k=1,b=−6.
则直线 AB 的解析式为：y=x−6；
（2） 当 x=0 时，y=6，当 y=0 时，x=6，
∴OA=OH=6，
∵∠AOH=90∘，
∴∠OAH=45∘，
过 B 作 BG⊥x 轴于 G，则 △ABG 是等腰直角三角形，
∴AB=52，
过 O 作 OE⊥AB 于 E，
S△AOH=12AH⋅OE=12OA⋅OH，
62⋅OE=6×6，
OE=32，
∴BE=AB−AE=52−32=22，
Rt△BOE 中，tan∠OBE=OEBE=3222=32，
∵∠BOC 的正切值是 32，
∴∠BOC=∠OBE，
作 OB 的垂直平分线交 AB 于 C，交 OB 于 F，
解法一：
∵B1,−5，
∴F12,−52，
易得直线 OB 的解析式为：y=−5x，
设直线 FC 的解析式为：y=15x+b，
把 F12,−52 代入得：−52=15×12+b，b=−135，
∴ 直线 FC 的解析式为：y=15x−135，
15x−135=x−6，
x=174，
当 x=174 时，y=174−6=−74，
∴C174,−74；
解法二：
过 C 作 CD⊥x 轴于 D，连接 OC，
设 Cm,m−6，则 AC=26−m，
∵OC=BC，
∴m2+m−62=52−26−m，
m=174，
∴C174,−74．
25. （1） 如图．
∵DC∥EF，DF∥CE，
∴ 四边形 DCEF 是平行四边形，
∴CD=EF，
∵AB=2CD=6，
∴AB=2EF，
∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴△CFE∽△CAB，
∴CECB=EFAB=12，
∴BC=2CE，
∴BE=CE，
∴EC:BE=1:1=1．
（2） 如图，延长 AG，BC 交为于点 M，过点 C 作 CN⊥AB 于点 N，交 EF 于点 H．
∵AD⊥CD，CN⊥CD，
∴AD∥CN，且 CD∥AB，
∴ 四边形 ADCN 是平行四边形，
又 ∵∠DAB=90∘，
∴ 四边形 ADCN 是矩形，
∴AD=CN=4，CD=AN=3，
∴BN=AB−AN=3，
在 Rt△BCN 中，BC=CN2+BN2=5，
∴BE=BC−CE=5−m，
∵EF∥AB，
∴EFAB=MEMB，即 CDAB=MEBM=12，
∴ME=BE=5−m，
∴MC=ME−CE=5−2m，
∵EF∥AB，
∴CEBC=HEBN=HCCN，
∴HC=45m，
∵CG∥EF，
∴GCEF=MCME，即 GC3=5−2m5−m，
∴GC=15−6m5−m，
∴DG=CD−GC=3−15−6m5−m=3m5−m，
∴S△DFG=12×DG×CH=6m225−5m．
（3） 过点 C 作 CN⊥AB 于点 N．
∵AB∥CD，∠DAB=90∘，
∴∠DAB=∠ADG=90∘，
若 △AFD∽△ADG，
∴∠AFD=∠ADG=90∘，
∴DF⊥AG，
又 ∵DF∥BC，
∴AG⊥BC，
∴∠B+∠GAB=90∘，且 ∠DAG+∠GAB=90∘，
∴∠B=∠DAG，
∴cs∠DAG=csB=BNBC=35．