2019年上海市嘉定区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市嘉定区中考一模数学试卷（期末），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列函数中，是二次函数的是
A. y=2x+1B. y=x−12−x2
C. y=1−x2D. y=1x2

2. 已知抛物线 y=x2+3 向左平移 2 个单位，那么平移后的抛物线表达式是
A. y=x+22+3B. y=x−22+3
C. y=x2+1D. y=x2+5

3. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=5，那么 AB 的长为
A. 5sinAB. 5csAC. 5sinAD. 5csA

4. 如图，在 △ABC 中，点 D 是在边 BC 上，且 BD=2CD，AB=a，BC=b，那么 AD 等于
A. AD=a+bB. AD=23a+23bC. AD=a−23bD. AD=a+23b

5. 如果点 D，E 分别在 △ABC 中的边 AB 和 AC 上，那么不能判定 DE∥BC 的比例式是
A. AD:DB=AE:ECB. DE:BC=AD:AB
C. BD:AB=CE:ACD. AB:AC=AD:AE

6. 已知点 C 在线段 AB 上（点 C 与点 A，B 不重合），过点 A，B 的圆记作为圆 O1，过点 B，C 的圆记作为圆 O2，过点 C，A 的圆记作为圆 O3，则下列说法中正确的是
A. 圆 O1 可以经过点 CB. 点 C 可以在圆 O1 的内部
C. 点 A 可以在圆 O2 的内部D. 点 B 可以在圆 O3 的内部

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果抛物线 y=k−2x2+k 的开口向上，那么 k 的取值范围是 ．

8. 抛物线 y=x2+2x 与 y 轴的交点坐标是 ．

9. 二次函数 y=x2+4x+a 图象上的最低点的横坐标为 ．

10. 如果 3a=4b（a，b 都不等于零），那么 a+bb= ．

11. 已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，AB=6 cm，AP>BP，那么 AP= cm．

12. 如果向量 a，b，x 满足关系式 2a−x−3b=4b，那么 x= （用向量 a，b 表示）．

13. 如果 △ABC∽△DEF，且 △ABC 的三边长分别为 4，5，6，△DEF 的最短边长为 12，那么 △DEF 的周长等于 ．

14. 在等腰 △ABC 中，AB=AC=4，BC=6，那么 csB 的值 = ．

15. 小杰在楼下点 A 处看到楼上点 B 处的小明的仰角是 42 度，那么点 B 处的小明看点 A 处的小杰的俯角等于 度．

16. 如图，在圆 O 中，AB 是弦，点 C 是劣弧 AB 的中点，连接 OC，AB 平分 OC，连接 OA，OB，那么 ∠AOB= 度．

17. 已知两圆内切，半径分别为 2 厘米和 5 厘米，那么这两圆的圆心距等于 厘米．

18. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，AC=3AE，∠CDE=45∘（如图），△DCE 沿直线 DE 翻折，翻折后的点 C 落在 △ABC 内部的点 F，直线 AF 与边 BC 相交于点 G，如果 BG=AE，那么 tanB= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：21−sin60∘+tan45∘ct30∘−2cs45∘．

20. 已知抛物线 y=x2+bx−3 经过点 A1,0，顶点为点 M．
（1）求抛物线的表达式及顶点 M 的坐标；
（2）求 ∠OAM 的正弦值．

21. 某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡 AC 长为 13 米，它的坡度为 i=1:2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为 13∘，即 ∠ADC=13∘（此时点 B，C，D 在同一直线上）．
（参考数据：sin13∘≈0.225，cs13∘≈0.974，tan13∘≈0.231，ct13∘≈4.331）
（1）求这个车库的高度 AB；
（2）求斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离（结果精确到 0.1 米）．

22. 如图，在圆 O 中，弦 AB=8，点 C 在圆 O 上（C 与 A，B 不重合），连接 CA，CB，过点 O 分别作 OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点 D，E．
（1）求线段 DE 的长；
（2）点 O 到 AB 的距离为 3，求圆 O 的半径．

23. 如图，已知点 D 在 △ABC 的外部，AD∥BC，点 E 在边 AB 上，AB⋅AD=BC⋅AE．
（1）求证：∠BAC=∠AED；
（2）在边 AC 取一点 F，如果 ∠AFE=∠D，求证：ADBC=AFAC．

24. 在平面直角坐标系 xOy（如图）中，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A4,0，B2,2，与 y 轴的交点为 C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为 M，求 △AMC 的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，点 E 在线段 AB 上，且 ∠DOE=45∘，求点 E 的坐标．

25. 在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，点 E 是边 AD 上一点，EM⊥EC 交 AB 于点 M，点 N 在射线 MB 上，且 AE 是 AM 和 AN 的比例中项．
（1）如图 1，求证：∠ANE=∠DCE；
（2）如图 2，当点 N 在线段 MB 之间，连接 AC，且 AC 与 NE 互相垂直，求 MN 的长；
（3）连接 AC，如果 △AEC 与以点 E，M，N 为顶点所组成的三角形相似，求 DE 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】A、 y=2x+1 是一次函数，故此选项错误；
B 、 y=x−12−x2，是一次函数，故此选项错误；
C 、 y=1−x2，是二次函数，符合题意；
D 、 y=1x2，是反比例函数，不合题意．
2. A【解析】由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y=x2+3 向左平移 2 个单位所得直线的解析式为：y=x+22+3；故选：A．
3. C【解析】∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=5，
∴sinA=BCAB=5AB．
∴AB=5sinA．
4. D【解析】∵BD=2CD，
∴BD=23BC．
∵BC=b，
∴BD=23b．
又 AB=a，
∴AD=AB+BD=a+23b．
故选：D．
5. B
【解析】当 AD:DB=AE:EC 时，DE∥BC；
当 BD:AB=CE:AC 时，DE∥BC；
当 AB:AC=AD:AE 时，则 AD:AB=AE:AC，所以 DE∥BC．故选：B．
6. B【解析】∵ 点 C 在线段 AB 上（点 C 与点 A，B 不重合），过点 A，B 的圆记作为圆 O1，
∴ 点 C 可以在圆 O1 的内部，故A错误，B正确；
∵ 过点 B，C 的圆记作为圆 O2，
∴ 点 A 可以在圆 O2 的外部，故C错误；
∵ 过点 C，A 的圆记作为圆 O3，
∴ 点 B 可以在圆 O3 的外部，故D错误．
第二部分
7. k>2
【解析】由题意可知：k−2>0，
∴k>2．
8. 0,0
【解析】当 x=0 时，y=x2+2x=0，
∴ 抛物线 y=x2+2x 与 y 轴的交点坐标为 0,0．
9. −2
【解析】∵ 二次函数 y=x2+4x+a=x+22−4+a，
∴ 二次函数图象上的最低点的横坐标为：−2．
10. 73
【解析】∵3a=4b（a，b 都不等于零），
∴ 设 a=4x，则 b=3x，
那么 a+bb=3x+4x3x=73．
11. 35−1
【解析】∵P 是线段 AB 的黄金分割点，AP>BP，∴AP=5−12AB，而 AB=6 cm，
∴AP=6×5−12=35−1cm．
12. 2a−b
【解析】2a−x−3b=4b2a−x+3b−4b=02a−x−b=0x=2a−b.
13. 45
【解析】设 △DEF 的周长别为 x，△ABC 的三边长分别为 4，5，6，
∴△ABC 的周长 =4+5+6=15．
∵△ABC∽△DEF，
∴412=15x，
解得，x=45．
14. 34
【解析】如图，作 AD⊥BC 于 D 点，
∵AB=AC=4，BC=6，
∴BD=12BC=3．
在 Rt△ABD 中，csB=BDAB=34．
15. 42
【解析】由题意可得，
∠BAO=42∘，
∵ BC∥AD，
∴ ∠BAO=∠ABC，
∴ ∠ABC=42∘，
即点 B 处的小明看点 A 处的小杰的俯角等于 42 度．
16. 120
【解析】连接 AC．
∵AC=BC，
∴OC⊥AB，∠AOC=∠BOC．
∵AB 平分 OC，
∴AB 是线段 OC 的垂直平分线，
∴AO=AC，
∵OA=OC，
∴OA=OC=AC，
∴∠AOC=60∘，
∴∠AOB=120∘．
17. 3
【解析】∵ 两圆的半径分别为 2 和 5，两圆内切，
∴d=R−r=5−2=3 cm．
18. 37
【解析】如图．
∵∠ACB=90∘，∠CDE=45∘，
∴∠DEC=45∘．
∵AC=3AE，
∴ 设 AE=k=BG，AC=3kk≠0，
∴EC=2k．
∵ 折叠，
∴EF=EC=2k，∠FED=∠DEC=45∘．
∴∠FEC=90∘ 且 ∠ACB=90∘．
∴EF∥BC．
∴△AEF∽△ACG．
∴AEAC=EFGC=13．
∴GC=3EF=6k．
∴BC=BG+GC=7k．
∴tanB=ACBC=37．
第三部分
19. 21−sin60∘+tan45∘ct30∘−2cs45∘=21−32+13−2×22=2−3+13−2=2−3+3+2=2+2.
20. （1） 由题意得 1+b−3=0，解这个方程得 b=2．
∴ 这个抛物线的表达式是 y=x2+2x−3．
∴y=x+12−4，则顶点 M 的坐标为 −1,−4．
（2） 由（1）得这个抛物线的对称轴是直线 x=−1．
设直线 x=1 与 x 轴的交点为点 B，
则点 B 的坐标为 −1,0，且 ∠MBA=90∘．
在 Rt△ABM 中，MB=4，AB=2，
由勾股定理得 AM2=MB2+AB2=16+4=20，即 AM=25．
∴sin∠OAM=MBAM=255．
21. （1） 由题意得 ∠ABC=90∘，i=1:2.4，
在 Rt△ABC 中，i=ABBC=512，
设 AB=5x，则 BC=12x，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AC=13x，
∵AC=13，
∴x=1，
∴AB=5．
答：这个车库的高度 AB 为 5 米．
（2） 由（1）得 BC=12，
在 Rt△ABD 中，ct∠ADC=DBAB，
∵∠ADC=13∘，AB=5，
∴DB=5ct13∘≈21.655m，
∴DC=DB−BC=21.655−12=9.655≈9.7（米）．
答：斜坡改进后的起点 D 与原起点 C 的距离为 9.7 米．
22. （1） ∵OD 经过圆心 O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理 CE=EB，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE=12AB，
∵AB=8，
∴DE=4．
（2） 过点 O 作 OH⊥AB，垂足为点 H，OH=3，连接 OA．
∵OH 经过圆心 O，
∴AH=BH=12AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在 Rt△AHO 中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆 O 的半径为 5．
23. （1） ∵AD∥BC，
∴∠B=∠DAE，
∵AB−AD=BC−AE，
∴ABAE=BCAD，
∴△CBA∽△DAE，
∴∠BAC=∠AED．
（2） 由（1）得 △DAE∽△CBA，
∴∠D=∠C，ADBC=DEAC，
∵∠AFE=∠D，
∴∠AFE=∠C，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵∠BAC=∠AED，
∴DE∥AC，
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形，
∴DE=AF，
∴ADBC=AFAC．
24. （1） 将 A4,0，B2,2 代入 y=ax2+bx+2，
得 16a+4b+2=0,4a+2b+2=2, 解得 a=−14,b=12,
∴ 抛物线的表达式为 y=−14x2+12x+2．
（2） ∵y=−14x2+12x+2=−14x−12+94，
∴ 顶点 M 的坐标为 1,94．
当 x=0 时，y=−14x2+12x+2=2，
∴ 点 C 的坐标为 0,2．
过点 M 作 MH⊥y 轴，垂足为点 H，如图 1 所示．
∴S△AMC=S梯形AOHM−S△AOC−S△CHM=12HM+AO⋅OH−12AO⋅OC−12CH⋅MH=12×1+4×94−12×4×2−12×94−2×1=32.
（3） 连接 OB，过点 B 作 BG⊥x 轴，垂足为点 G，如图 2 所示．
∵ 点 B 的坐标为 2,2，点 A 的坐标为 4,0，
∴BG=2，GA=2，
∴△BGA 是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45∘．
同理可得 ∠BOA=45∘．
∵ 点 C 的坐标为 2,0，
∴BC=2，OC=2，
∴△OCB 是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45∘，BO=22，
∴∠BAO=∠DBO．
∵∠DOE=45∘，
∴∠DOB+∠BOE=45∘．
∵∠BOE+∠EOA=45∘，
∴∠EOA=∠DOB，
∴△AOE∽△BOD，
∴AEBD=AOBO．
∵ 抛物线 y=−14x2+12x+2 的对称轴是直线 x=1，
∴ 点 D 的坐标为 1,2，
∴BD=1，
∴AE1=422，
∴AE=2，
过点 E 作 EF⊥x 轴，垂足为点 F，则 △AEF 为等腰直角三角形，
∴EF=AF=1，
∴ 点 E 的坐标为 3,1．
25. （1） ∵AE 是 AM 和 AN 的比例中项，
∴AMAE=AEAN，
∵∠A=∠A，
∴△AME∽△AEN，
∴∠AEM=∠ANE，
∵∠D=90∘，
∴∠DCE+∠DEC=90∘，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM+∠DEC=90∘，
∴∠AEM=∠DCE，
∴∠ANE=∠DCE．
（2） ∵AC 与 NE 互相垂直，
∴∠EAC+∠AEN=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠ANE+∠AEN=90∘，
∴∠ANE=∠EAC，
由（1）得 ∠ANE=∠DCE，
∴∠DCE=∠EAC，
∴tan∠DCE=tan∠DAC，
∴DEDC=DCAD，
∵DC=AB=6，AD=8，
∴DE=92，
∴AE=8−92=72，
由（1）得 ∠AEM=∠DCE，
∴tan∠AEM=tan∠DCE，
∴AMAE=DEDC，
∴AM=218，
∵AMAE=AEAN，
∴AN=143，
∴MN=4924．
（3） ∵∠NME=∠MAE+∠AEM，∠AEC=∠D+∠DCE，
又 ∠MAE=∠D=90∘，由（1）得 ∠AEM=∠DCE，
∴∠AEC=∠NME，
当 △AEC 与以点 E，M，N 为顶点所组成的三角形相似时，
① ∠ENM=∠EAC，如图 2，
∴∠ANE=∠EAC，
由（2）得：DE=92；
② ∠ENM=∠ECA，如图 3，过点 E 作 EH⊥AC，垂足为点 H，
由（1）得 ∠ANE=∠DCE，
∴∠ECA=∠DCE，
∴HE=DE，
又 tan∠HAE=HEAH=DCAD=68，
设 DE=3x，则 HE=3x，AH=4x，AE=5x，
又 AE+DE=AD，
∴5x+3x=8，解得 x=1，
∴DE=3x=3．
综上所述，DE 的长分别为 92 或 3．