2020年上海市静安区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市静安区中考一模数学试卷（期末），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知 a=x+y，b=x−y，那么 ab 的值为
A. 2xB. 2yC. x−yD. x+y

2. 已知点 P 在线段 AB 上，且 AP:PB=2:3，那么 AB:PB 为
A. 3:2B. 3:5C. 5:2D. 5:3

3. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，AD:DB=4:5，下列结论中正确的是
A. DEBC=45B. BCDE=94C. AEAC=45D. ECAC=54

4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，如果 a=3b，那么 ∠A 的余切值为
A. 13B. 3C. 24D. 1010

5. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，设 OA=a，OB=b，下列式子中正确的是
A. DC=a+bB. DC=a−bC. DC=−a+bD. DC=−a−b

6. 如果将抛物线 y=x2−2 平移，使平移后的抛物线与抛物线 y=x2−8x+9 重合，那么它平移的过程可以是
A. 向右平移 4 个单位，向上平移 11 个单位
B. 向左平移 4 个单位，向上平移 11 个单位
C. 向左平移 4 个单位，向上平移 5 个单位
D. 向右平移 4 个单位，向下平移 5 个单位

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 因式分解：x2−5x= ．

8. 已知 fx=3x+1，那么 f3= ．

9. 方程 x−1x+1=12 的根为 ．

10. 已知：xy=34，且 y≠4，那么 x−3y−4= ．

11. 在 △ABC 中，边 BC，AC 上的中线 AD，BE 相交于点 G，AD=6，那么 AG= ．

12. 如果两个相似三角形的对应边的比是 4:5，那么这两个三角形的面积比是 ．

13. 如图，在大楼 AB 的楼顶 B 处测得另一栋楼 CD 底部 C 的俯角为 60 度，已知 A，C 两点间的距离为 15 米，那么大楼 AB 的高度为米 ．（结果保留根号）

14. 某商场四月份的营业额是 200 万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为 xx>0，六月份的营业额为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解析式是 ．

15. 矩形的一条对角线长为 26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为 513，那么该矩形的面积为 .

16. 已知二次函数 y=a2x2+8a2x+a（a 是常数，a≠0），当自变量 x 分别取 −6，−4 时，对应的函数值分别为 y1，y2，那么 y1，y2 的大小关系是：y1 y2（填“>”、“<”或“=”）．

17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=4，BC=9，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，且 EF 是梯形 ABCD 的“比例中线”，那么 DFFC= ．

18. 如图，有一菱形纸片 ABCD，∠A=60∘，将该菱形纸片折叠，使点 A 恰好与 CD 的中点 E 重合，折痕为 FG，点 F，G 分别在边 AB，AD 上，连接 EF，那么 cs∠EFB 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：x−yx+2y÷x2−y2x2+4xy+4y2，其中 x=sin45∘，y=cs60∘．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=20，sinA=35，CD⊥AB，垂足为 D．
（1）求 BD 的长；
（2）设 AC=a，BC=b，用 a，b 表示 AD．

21. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+1（b 为常数）的对称轴是直线 x=1．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）点 A8,m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为 Aʹ，求点 Aʹ 的坐标；
（3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．
x⋯ ⋯y⋯ ⋯


22. 如图，在东西方向的海岸线 l 上有长为 300 米的码头 AB，在码头的最西端 A 处测得轮船 M 在它的北偏东 45∘ 方向上；同一时刻，在 A 点正东方向距离 100 米的 C 处测得轮船 M 在北偏东 22∘ 方向上．（参考数据：sin22∘≈0.375，cs22∘≈0.927，tan22∘≈0.404，3≈1.732）
（1）求轮船 M 到海岸线 l 的距离；（结果精确到 0.01 米）
（2）如果轮船 M 沿着南偏东 30∘ 的方向航行，那么该轮船能否行至码头 AB 靠岸?请说明理由．

23. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在线段 OB 上，AE 的延长线与 BC 相交于点 F，OD2=OB⋅OE．
（1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形；
（2）如果 BC=BD，AE⋅AF=AD⋅BF，求证：△ABE∽△ACD．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知二次函数 y=ax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，且 a≠0）的图象经过点 A0,−3，B1,0，C3,0，联结 AB，AC．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点 D 是线段 AC 上的一点，联结 BD，如果 S△ABD:S△BCD=3:2，求 tan∠DBC 的值；
（3）如果点 E 在该二次函数图象的对称轴上，当 AC 平分 ∠BAE 时，求点 E 的坐标．

25. 已知：如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别在边 BC，DC 上，AB2=BE⋅DC，DE:EC=3:1，F 是边 AC 上的一点，DF 与 AE 交于点 G．
（1）找出图中与 △ACD 相似的三角形，并说明理由；
（2）当 DF 平分 ∠ADC 时，求 DG:DF 的值；
（3）如图 2，当 ∠BAC=90∘，且 DF⊥AE 时，求 DG:DF 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】∵a=x+y，b=x−y，
∴ab=x+yx−y=x−y．
2. D【解析】由题意 AP:PB=2:3，
AB:PB=AP+PB:PB=2+3:3=5:3．
3. B【解析】如图所示：
∵AD:DB=4:5，
∴ADAB=49，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC=ADAB=49，
∴BCDE=94．
4. A【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，a=3b，
∴ctA=ba=13．
5. C
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AB=AO+OB，
∴DC=AB=−a+b．
6. D【解析】∵ 抛物线 y=x2−8x+9=x−42−7 的顶点坐标为 4,−7，
抛物线 y=x2−2 的顶点坐标为 0,−2，
∴ 顶点由 0,−2 到 4,−7 需要向右平移 4 个单位再向下平移 5 个单位．
第二部分
7. xx−5
8. 10
【解析】当 x=3 时，f3=3×3+1=10．
9. x=3
【解析】方程两边同时乘以 2x+1, 得
2x−1=x+1，
解得 x=3，
经检验，x=3 是原方程的根，
所以原方程的解为 x=3．
10. 34
【解析】∵xy=34，且 y≠4，
∴x−3y−4=34．
11. 4
【解析】∵AD，BE 为 △ABC 的中线，且 AD 与 BE 相交于点 G，
∴G 点是三角形 ABC 的重心，
∴AG=23AD=23×6=4．
12. 16:25
13. 153
【解析】由题意得，∠BAC=90∘，∠ACB=60∘，AC=15，
∴tan∠ACB=ABAC=AB15=3，
∴AB=3AC=153，
答：大楼 AB 的高度为 153 米．
14. y=200x2+400x+200
【解析】根据题意，得
y=2001+x2=200x2+400x+200.
15. 240
【解析】如图所示：
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 ∠BAD=90∘，AC=BD=26 ，
因为 sin∠DAC=CDAC=513，
所以 CD=10，
所以 AD=AC2−CD2=262−102=24，
所以矩形的面积 =AD×CD=24×10=240，
故答案为：240．
16. >
【解析】y=a2x2+8a2x+a=a2x2+8x+a=a2x+42+a−16a2，
∴ 对称轴 x=−4，
∵x 分别取 −6，−4 时，在对称轴左侧，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴y1>y2．
17. 23
【解析】连接 BD 交 EF 于 G，如图所示：
∵EF 是梯形 ABCD 的“比例中线”，
∴EF2=AD×BC=4×9=36，
∴EF=6，
∵EF∥AD∥BC，
∴△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，
∴EGAD=BGBD，DFDC=GFBC=DGBD，
∴EGAD+GFBC=BGBD+DGBD=BDBD=1，即 EG4+6−EG9=1，
解得：EG=125，
∴GF=6−EG=185，
∴DFDC=1859=25，
∴DFFC=23．
18. 17
【解析】如图，连接 BD．设 BC=2a．
∵ 四边形 ABCD 都是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2a，∠A=∠C=60∘，
∴△BDC 是等边三角形，
∵DE=EC=a，
∴BE⊥CD，
∴BE=BC2−EC2=3a，
∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴BE⊥AB，
∴∠EBF=90∘，
设 AF=EF=x，在 Rt△EFB 中，则有 x2=2a−x2+3a2，
∴x=7a4，
∴AF=EF=7a4，BF=AB−AF=a4，
∴cs∠EFB=BFEF=a47a4=17．
第三部分
19. 原式=x−yx+2y÷x+yx−yx+2y2=x−yx+2y⋅x+2y2x+yx−y=x+2yx+y，
当 x=sin45∘=22，y=cs60∘=12 时，
原式=22+2×1222+12=2．
20. （1） ∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
在 Rt△ACD 中，sinA=CDAC，
∴CD=AC⋅sinA=20×35=12，
∴AD=AC2−CD2=202−122=16，
∴tanA=CDAD=34，
∵∠ACB=90∘，
∴∠DCB+∠B=∠A+∠B=90∘，
∴∠DCB=∠A．
∴BD=CD⋅tan∠DCB=CD⋅tanA=12×34=9．
（2） ∵AB=AD+DB=16+9=25，
∴ADAB=1625，
又 ∵AB=AC+CB=a−b，
∴AD=1625AB=1625a−1625b．
21. （1） ∵ 对称轴为 x=−b2，
∴−b2=1，
∴b=−2，
∴ 抛物线的表达式为 y=x2−2x+1．
（2） ∵ 点 A8,m 在该抛物线的图象上，
∴ 当 x=8 时，y=x2−2x+1=82−2×8+1=49．
∴ 点 A8,49，
∴ 点 A8,49 关于对称轴对称的点 Aʹ 的坐标为 −6,49．
（3） 列表：
x⋯−10123⋯y⋯41014⋯
描点，连线，画出图象如图：
22. （1） 过点 M 作 MD⊥AC 交 AC 的延长线于 D，设 DM=x，
∵ 在 Rt△CDM 中，CD=DM⋅tan∠CMD=x⋅tan22∘，
又 ∵ 在 Rt△ADM 中，∠MAC=45∘，
∴AD=DM，
∵AD=AC+CD=100+x⋅tan22∘，
∴100+x⋅tan22∘=x，
∴x=1001−tan22∘≈1001−0.404≈167.79．
答：轮船 M 到海岸线 l 的距离约为 167.79 米．
（2） 作 ∠DMF=30∘，交 l 于点 F，
在 Rt△DMF 中，
DF=DM⋅tan∠FMD=DM⋅tan30∘=33DM≈33×167.79≈96.87 米，
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<300，
所以该轮船能行至码头靠岸．
23. （1） 因为 OD2=OE⋅OB，
所以 OEOD=ODOB，
因为 AD∥BC，
所以 △AOD∽△COB，
所以 OAOC=ODOB，
所以 OAOC=OEOD，
所以 AF∥CD，
所以四边形 AFCD 是平行四边形；
（2） 因为 AF∥CD，
所以 ∠AED=∠BDC，△BEF∽△BDC，
所以 BEBD=BFBC，
因为 BC=BD，
所以 BE=BF，∠BDC=∠BCD，
所以 ∠AED=∠BCD，
因为 ∠AEB=180∘−∠AED，∠ADC=180∘−∠BCD，
所以 ∠AEB=∠ADC，
因为 AE⋅AF=AD⋅BF，
所以 AEBF=ADAF，
因为四边形 AFCD 是平行四边形，
所以 AF=CD，
所以 AEBE=ADDC，
所以 △ABE∽△ADC．
24. （1） 将 A0,−3，B1,0，C3,0 代入 y=ax2+bx+c，
得 c=−3,a+b+c=0,9a+3b+c=0,
解得 a=−1,b=4,c=−3.
∴ 此抛物线的表达式是 y=−x2+4x−3；
（2） 过点 D 作 DH⊥BC 于 H，
在 △ABC 中，设 AC 边上的高为 h，则 S△ABDS△BCD=12AD⋅h12DC⋅h=ADDC=32，
又 ∵DH∥y轴，
∴△CHD∽△COA，
∴CHOC=DCAC=DHOA=25，
∴CH=DH=25×3=65，
∴BH=BC−CH=2−65=45，
∴tan∠DBC=DHBH=32；
（3） ∵y=−x2+4x−3=−x−22+1，
∴ 对称轴为直线 x=2，设直线 x=2 与 x 轴交于点 G，过点 A 作 AF 垂直于直线 x=2，垂足为 F，
∵OA=OC=3，
∠AOC=90∘，
∴∠OAC=∠OCA=45∘，
∵AF∥x轴，
∴∠FAC=∠OCA=45∘，
∵AC 平分 ∠BAE，
∴∠BAC=∠EAC，
∵∠BAO=∠OAC−∠BAC，∠EAF=∠FAC−∠EAC，
∴∠BAO=∠EAF，
∵∠AOB=∠AFE=90∘，
∴△OAB∽△FEA，
∴OBOA=EFAF=13，
∵AF=2，
∴EF=23，
∴EG=GF−EF=AO−EF=3−23=73，
∴E2,−73．
25. （1） 与 △ACD 相似的三角形有：△ABE，△ADE，理由如下：
∵AB2=BE⋅DC，
∴BEAB=ABDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，BEAB=ACDC，
∴△ABE∽△DCA．
∵△ABE∽△DCA,，
∴∠AED=∠DAC，
∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，
∴∠DAE=∠C．
∴△ADE∽△CDA．
（2） ∵△ADE∽△CDA，
又 ∵DF 平分 ∠ADC，
∴DGDF=DEAD=ADCD，
设 CE=a，则 DE=3CE=3a，CD=4a，
∴3aAD=AD4a，
解得：AD=23a，
∴DFDG=ADCD=23a4a=32．
（3） ∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠C=45∘，
∴∠DAE=∠C=45∘，
∵DG⊥AE，
∴∠DAG=∠ADF=45∘，
∴AG=DG=22AD=22×23a=6a，
∴EG=DE2−DG2=3a2−6a2=3a，
∴AE=AG+EG=6+3a，
∵∠AED=∠DAC，
∴△ADE∽△DFA，
∴ADDF=AEAD，
∴DF=AD2AE=23a26+3a=46−3a，
∴DGDF=6a46−3a=2+24．