2021年上海市静安区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市静安区中考一模数学试卷（期末），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果 a≠0，那么下列计算正确的是
A. −a0=0；B. −a0=−1；
C. −a0=1；D. −a0=−1；

2. 下列多项式中，是完全平方式的为
A. x2−x+14B. x2+12x+14C. x2+14x−14D. x2−14x+14

3. 将抛物线 y=2x+12−3 平移后与抛物线 y=2x2 重合，那么平移的方法可以是
A. 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位
B. 向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位
C. 向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位
D. 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位

4. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 BA，CA 的延长线上，下列比例式中能判定 DE∥BC 的为
A. BCDE=ABADB. ACAD=ABAEC. ACCE=ABBDD. ACAB=BDCE

5. 如果锐角 α 的正切值为 32，那么下列结论中正确的是
A. α=30∘B. α=60∘C. 30∘<α<45∘D. 45∘<α<60∘

6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，CD 是高，如果 AB=m，∠A=α，那么 CD 的长为
A. m⋅sinα⋅tanαB. m⋅sinα⋅csα
C. m⋅csα⋅tanαD. m⋅csα⋅ctα

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 32 的相反数是 ．

8. 函数 fx=x−12−x 的定义域为 ．

9. 方程 3−2x=2−x 的根为 ．

10. 二次函数 y=2x−3x2 图象的开口方向是 ．

11. 抛物线 y=3x2−6 的顶点坐标为 ．

12. 如果一次函数 y=m−2x+m−1 的图象经过第一、二、四象限，那么常数 m 的取值范围为 ．

13. 在二次函数 y=x2−2x+3 图象的上升部分所对应的自变量 x 的取值范围是 ．

14. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，∠AED=∠B，如果 AD=2，AE=3，CE=1，那么 BD 长为 ．

15. 在 △ABC 中，点 G 是重心，∠BGC=90∘，BC=8，那么 AG 的长为 ．

16. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，如果 AB=12，BC=9，AC=6，四边形 BCED 的周长为 21，那么 DE 的长为 ．

17. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BD 与 AC 相交于点 O，OB=2OD，设 AB=a，AD=b，那么 AO= ．（用向量 a，b 的式子表示）

18. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=13，tanB=23（如图），将 △ABC 绕点 C 旋转后，点 A 落在斜边 AB 上的点 Aʹ，点 B 落在点 Bʹ，AʹBʹ 与边 BC 相交于点 D，那么 CDAʹD 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：ct30∘−cs45∘sin60∘−tan45∘．

20. 已知线段 x，y 满足 2x+yx−y=xy，求 xy 的值．

21. 如图，点 A，B 在第一象限的反比例函数图象上，AB 的延长线与 y 轴交于点 C，已知点 A，B 的横坐标分别为 6，2，AB=25．
（1）求 ∠ACO 的余弦值：
（2）求这个反比例函数的解析式．

22. 如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡 BC，CD 共走 7 米可到出入口，出入口点 D 距离地面的高 DA 为 0.8 米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到 1′，其他近似数取四个有效数字）．

23. 已知：如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，AD2=AE⋅AC．
求证：
（1）△BCD∽△CDE；
（2）CD2BC2=ADAB；

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−12x+mm>0 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B．抛物线 y=ax2+bx+4a≠0 经过点 A，且与 y 轴相交于点 C，∠OCA=∠OAB．
（1）求直线 AB 的表达式；
（2）如果点 D 在线段 AB 的延长线上，且 AD=AC．求经过点 D 的抛物线 y=ax2+bx+4 的表达式；
（3）如果抛物线 y=ax2+bx+4 的对称轴与线段 AB，AC 分别相交于点 E，F，且 EF=1，求此抛物线的顶点坐标．

25. 已知 ∠MAN 是锐角，点 B，C 在边 AM 上，点 D 在边 AN 上，∠EBD=∠MAN，且 CE∥BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．
（1）如图 1，当 CE 与边 AN 相交于点 F 时，求证：DF⋅CE=BC⋅BE；
（2）当点 E 在边 AN 上时，求 AD 的长；
（3）当点 E 在 ∠MAN 外部时，设 AD=x，△BCE 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. A
4. C
5. C
6. B
第二部分
7. −32
8. x<2
9. x=1
10. 向下
11. 0,−6
12. 113. x>1
14. 4
15. 8
16. 6
17. 13a+23b
18. 3135
第三部分
19. 原式=3−2232−1=23−23+23−23+2=6+22−43−6.
20. 2xy+y2=x2−xy，
x2−3xy−y2=0，
∵y≠0．
∴x2y2−3xy−1=0，
∴xy=3±132．
21. （1） 分别过点 A，B 作 AD⊥y轴，BE⊥x轴，垂足分别为 D，E，AD，BE 相交于点 H．
∵BE∥y轴，
∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90∘．
∵ 点 A，B 的横坐标分别为 6，2，
∴AH=4．
在 Rt△ABH 中，
∵BH=AB2−AH2=252−42=2．
cs∠ACO=cs∠ABH=BHAB=225=55．
（2） 设反比例函数的解析式为 y=kxk≠0，
设点 A6,k6，则 B2,k2，
∴k2−k6=2，
∴k=6．
∴ 反比例函数解析式为 y=6x．
22. 延长 DC，AB 相交于点 E．
∵ 斜坡 BC，CD 的坡度相同，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB．
∴DE=DC+CB=7 米．
在 Rt△ADE 中，AE=AE2−AD2=72−0.82≈6.9541（米）．
∴i=AD:AE=0.8:6.9541≈1:8.693．
∵tan∠AED=AD:AE≈0.11504，
∴∠AED≈6∘34ʹ．
答：无障碍通道的坡度约为 1:8.693，坡角约为 6∘34ʹ．
23. （1） ∵AD2=AE⋅AC，
∴ADAE=ACAD，
又 ∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠ADE=∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，∠B=∠ADE，
∴∠B=∠ACD，
∴△BCD∽△CDE．
（2） ∵△BCD∽△CDE，
∴CDBC=DECD．
∴CD2BC2=CDBC⋅CDBC=CDBC⋅DECD=DEBC．
∵DE∥BC，
∴DEBC=ADAB．
∴CD2BC2=ADAB．
24. （1） ∵ 直线 y=−12x+m 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A2m,0，B0,m．
∴OA=2m，OB=m．
∵∠OCA=∠OAB，
∴tan∠OCA=tan∠OAB=OAOC=OBOA=12．
∵y=ax2+bx+4a≠0 经过点 C0,4，OC=4．
∴OA=2，OB=1．
∴ 直线 AB 的表达式为 y=−12x+1．
（2） 过点 D 作 DG⊥x 轴，垂足为 G，
∵∠DGA=∠AOC=90∘，∠DAG=∠ACO，AD=AC，
∴△DGA≌△AOC．
∴DG=AO=2，AG=OC=4，OG=2，
∴ 点 D−2,2．
∵ 抛物线 y=ax2+bx+4 经过点 A，D，
∴0=4a+2b+4,2=4a−2b+4,
∴a=−34,b=−12.
∴ 抛物线的表达式为 y=−34x2−12x+4．
（3） 设抛物线的对称轴 FE 与 OA 交于点 H，
∵EF∥OC，
∴AHAO=AEAB=EFBC=13，AH=23，OH=43．
∴0=4a+2b+4,−b2a=43,
∴a=3,b=−8.
∴ 抛物线的表达式为 y=3x2−8x+4．
当 x=43 时，y=−43，抛物线的顶点坐标为 43,−43．
25. （1） ∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE，
∵∠A=∠DBE，
∴∠A=∠BEC．
∴△ABD∽△ECB．
∴ADAB=EBEC．
∵ADAB=DFBC，
∴EBEC=DFBC，
∴DF⋅CE=BC⋅BE．
（2） 过点 B 作 BH⊥AN，垂足为 H．
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠EBD=∠A，
又 ∵∠BCE=∠ECA，
∴△CEB∽△CAE，
∴CECB=CACE，
∴CE2=CB⋅CA，
∵AB=5，AC=9，
∴BC=4，
∴CE2=4×9=36，
∴CE=6．
∵BDCE=ABAC，
∴BD=AB⋅CEAC=5×69=103．
在 Rt△ABH 中，BH=AB⋅sinA=5×35=3，
∴AH=AB2−BH2=4．
DH=BD2−BH2=1032−32=193．AD=4±193．
（3） 过点 B 作 BH⊥AN，垂足为 H．BH=4，AH=3，DH=∣x−4∣．
BD2=DH2+BH2=x−42+32=x2−8x+25．
∵△ECB∽△ABD，
∴S△EBCS△ADB=BC2BD2．
∵S△ABD=12AD⋅BH=32x，
∴y32x=16x2−8x+25，
∴y=24xx2−8x+25．定义域为 4−193