2020-2021学年浙江省宁波市镇海区七校联考七年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省宁波市镇海区七校联考七年级（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省宁波市镇海区七校联考七年级（下）期末数学试卷
一、选择题(本题共10道小题,每小题3分,共30分)
1．（3分）下列选项中能由如图平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）“端午节”放假后，刘老师从七年级650名学生中随机抽查了其中50名学生的作业，发现其中有5名学生的作业不合格，下面判断正确的是（　　）
A．刘主任采用全面调查方式
B．个体是每名学生
C．样本容量是650
D．该初一学生约有65名学生的作业不合格
3．（3分）N95型口罩可阻隔直径为0.0000003米的飞沫，用科学记数法可将数0.0000003表示为（　　）
A．3×10﹣6 B．0.3×10﹣6 C．30×10﹣8 D．3×10﹣7
4．（3分）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．y＝x B．x+＝2 C．xy＝6 D．x﹣y＝z﹣5
5．（3分）若（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘积中不含x2项，则常数a的值为（　　）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
6．（3分）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣x+ D．x2﹣xy+y2
7．（3分）能使分式值为整数的整数x有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，一辆超市购物车放置在水平地面上，其侧面四边形ABCD与地面某条水平线在同一平面内，且AB∥l，若∠A＝93°，∠D＝111°，则直线CD与l所夹锐角的度数为（　　）

A．15° B．18° C．21° D．24°
9．（3分）某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（　　）
A．＝﹣3 B．＝﹣3
C．＝﹣3 D．＝﹣3
10．（3分）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB＝a．小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关，那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（　　）（填编号）的边长有关．

A．① B．② C．③ D．④
二、填空题(本题共8道小题,每小题3分，共24分)
11．（3分）计算﹣3a•（2b）＝　 　．
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　．
13．（3分）二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是　 　．
14．（3分）统计得到的一组数据有80个，其中最大值为139，最小值为49，取组距为10，可分成 　 　组．
15．（3分）已知实数a2+b2＝7，a+b＝3，则（a﹣2）（b﹣2）＝　 　．
16．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 　 　．

17．（3分）若关于x的方程+＝无解，则m＝　 　．
18．（3分）将一张长为12.6cm，宽为acm的长方形纸片按图折叠出一个正方形并剪下，称为第一次操作；将余下的长方形纸片再次折叠出一个正方形并剪下，称为第二次操作；如此操作下去，若每一次剪下后的长方形纸片只能折出一个正方形，则当第五次操作后，剩下图形的长与宽之比为2：1，则a的值为　 　．

三、解答题(本题共6道小题,共46分)
19．（12分）（1）计算：①（﹣3）2+（）﹣3﹣20190；
②（2m﹣3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣3m（m﹣4）；
（2）分解因式：①4a4﹣36a2；
②x2﹣2xy+3y2．
20．（6分）先化简再求值：÷（﹣x+2），其中x可在﹣2，0，3三个数中任选一个合适的数．
21．（7分）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）共抽取了多少个学生进行调查？
（2）将图甲中的折线统计图补充完整．
（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．

22．（7分）阅读下列材料：
对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2+x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）．
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当x＝　 　时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 　 　，从而因式分解8x2﹣x﹣7＝　 　；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：
①3x2+11x+10；
②x3﹣21x+20．
23．（8分）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．

24．（6分）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　 　．


2020-2021学年浙江省宁波市镇海区七校联考七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10道小题,每小题3分,共30分)
1．（3分）下列选项中能由如图平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平移的性质，图形只是位置变化，其形状与方向不发生变化进而得出即可．
【解答】解：能由左图平移得到的是：选项C．
故选：C．
2．（3分）“端午节”放假后，刘老师从七年级650名学生中随机抽查了其中50名学生的作业，发现其中有5名学生的作业不合格，下面判断正确的是（　　）
A．刘主任采用全面调查方式
B．个体是每名学生
C．样本容量是650
D．该初一学生约有65名学生的作业不合格
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．刘主任采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B．个体是每名学生的作业，故本选项不合题意；
C．样本容量是50，故本选项不合题意；
D．该初一学生约有65名学生的作业不合格，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）N95型口罩可阻隔直径为0.0000003米的飞沫，用科学记数法可将数0.0000003表示为（　　）
A．3×10﹣6 B．0.3×10﹣6 C．30×10﹣8 D．3×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 0003＝3×10﹣7；
故选：D．
4．（3分）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．y＝x B．x+＝2 C．xy＝6 D．x﹣y＝z﹣5
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项符合题意；
B．是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．（3分）若（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘积中不含x2项，则常数a的值为（　　）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【分析】先将多项式展开得到x3+（﹣5a+1）x2﹣4ax+a，再由乘积中不含x2项，可得﹣5a+1＝0，求a即可．
【解答】解：（x+1）（x2﹣5ax+a）
＝x•x2+x•（﹣5ax）+ax+x2﹣5ax+a
＝x3+（﹣5a+1）x2﹣4ax+a，
∵乘积中不含x2项，
∴﹣5a+1＝0，
∴a＝，
故选：B．
6．（3分）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．4x2﹣1 B．4x2+4x﹣1 C．x2﹣x+ D．x2﹣xy+y2
【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分别将各式分解，即可作出判断．
【解答】解：A．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故此选项不合题意；
B．4x2+4x﹣1无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意；
C．x2﹣x+＝（x﹣）2，故此选项符合题意；
D．x2﹣xy+y2无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
7．（3分）能使分式值为整数的整数x有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先把分式转化为2+，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．
【解答】解：＝+＝2+，
当2x﹣3＝±1或±13时，是整数，即原式是整数．
解得：x＝2或1或8或﹣5；4个，
故选：D．
8．（3分）如图，一辆超市购物车放置在水平地面上，其侧面四边形ABCD与地面某条水平线在同一平面内，且AB∥l，若∠A＝93°，∠D＝111°，则直线CD与l所夹锐角的度数为（　　）

A．15° B．18° C．21° D．24°
【分析】把题意抽象为数学模型解得即可．
【解答】解：如图所示，根据题意可知直线CD与l所夹锐角即为∠AED，

据题意可得∠ADE＝180°﹣∠ADC＝69°，∠DAE＝180°﹣∠BAD＝87°，
∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝24°．
故选：D．
9．（3分）某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（　　）
A．＝﹣3 B．＝﹣3
C．＝﹣3 D．＝﹣3
【分析】由原计划x天生产120吨煤，可得原计划每天生产的吨数；采用新技术，提前2天完成，可得实际每天生产的吨数，根据”采用新的技术，每天比原计划多生产3吨”，可列出分式方程．
【解答】解：∵原计划x天生产120吨煤，
∴原计划每天生产吨，采用新技术，提前2天完成，
∴实际每天生产的吨数为：，
根据题意得：，
故选：C．
10．（3分）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（相同纸片之间不重叠），其中AB＝a．小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长与正方形①的边长有关，那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（　　）（填编号）的边长有关．

A．① B．② C．③ D．④
【分析】设②的边长是m．用m，a表示出⑤的周长即可解决问题．
【解答】解：设②的边长是m．
∴阴影部分⑤的周长是2（a﹣m），
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2a﹣2（a﹣m）＝2m．
故选：B．
二、填空题(本题共8道小题,每小题3分，共24分)
11．（3分）计算﹣3a•（2b）＝　﹣6ab　．
【分析】根据单项式乘单项式的法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：﹣3a•（2b）＝﹣6ab；
故答案为：﹣6ab．
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣2　．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得：x+2≠0，
解得x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2．
13．（3分）二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是　±8　．
【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故﹣k＝±8，求解即可．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和4积的2倍，
故﹣k＝±8，
解得k＝±8，
故答案为：±8．
14．（3分）统计得到的一组数据有80个，其中最大值为139，最小值为49，取组距为10，可分成 　10　组．
【分析】根据组数＝（最大值﹣最小值）÷组距进行计算，再结合具体情况得出答案．
【解答】解：（139﹣49）÷10＝9（组），
又由于分组时，起始组的起始值要比最小值要小一些，终末组的终末值要比最大值要大一些，
因此分成10组为好，
故答案为：10．
15．（3分）已知实数a2+b2＝7，a+b＝3，则（a﹣2）（b﹣2）＝　﹣1　．
【分析】由完全平方公式先求出ab＝1，再将所求多项式展开并代入已知条件即可求解．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
又∵a2+b2＝7，a+b＝3，
∴ab＝1，
∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2a﹣2b+4＝1﹣2（a+b）+4＝1﹣2×3+4＝﹣1，
故答案为﹣1．
16．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 　15°　．

【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故答案为15°．

17．（3分）若关于x的方程+＝无解，则m＝　3或﹣3或9　．
【分析】根据分式方程无解，得分母为0或x的系数为0即可求解．
【解答】解：分式方程化简，得
3（x﹣1）+6x＝m（x+1）
整理，得
（9﹣m）x＝3+m
当x＝0时，m＝﹣3；
当x＝1时，m＝3；
当9﹣m＝0时，m＝9．
故答案为：3或﹣3或9．
18．（3分）将一张长为12.6cm，宽为acm的长方形纸片按图折叠出一个正方形并剪下，称为第一次操作；将余下的长方形纸片再次折叠出一个正方形并剪下，称为第二次操作；如此操作下去，若每一次剪下后的长方形纸片只能折出一个正方形，则当第五次操作后，剩下图形的长与宽之比为2：1，则a的值为　7.8　．

【分析】根据题意分别表示出5次折叠剩余的长和宽，根据“当第五次操作后，剩下图形的长与宽之比为2：1”列式求解即可．
【解答】解：∵每一次剪下后的长方形纸片只能折出一个正方形，
∴①长：a，宽12.6﹣a；
②长：12.6﹣a，宽2a﹣12.6；
③长：2a﹣12.6，宽25.2﹣3a；
④长：25.2﹣3a，宽5a﹣37.8；
⑤长：5a﹣37.8，宽63﹣8a；
∵第五次操作后，剩下图形的长与宽之比为2：1，
∴5a﹣37.8＝2（63﹣8a），
解得：a＝7.8，
故答案为：7.8．
三、解答题(本题共6道小题,共46分)
19．（12分）（1）计算：①（﹣3）2+（）﹣3﹣20190；
②（2m﹣3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣3m（m﹣4）；
（2）分解因式：①4a4﹣36a2；
②x2﹣2xy+3y2．
【分析】（1）①根据有理数的乘方、负整数指数幂和零指数幂可以解答本题；
②根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以解答本题；
（2）①先提公因式，然后根据平方差公式可以解答本题；
②先提出，然后根据完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）①（﹣3）2+（）﹣3﹣20190
＝9+8﹣1
＝16；
②（2m﹣3）2﹣（m+1）（m﹣1）﹣3m（m﹣4）
＝4m2﹣12m+9﹣m2+1﹣3m2+12m
＝10；
（2）①4a4﹣36a2
＝4a2（a2﹣9）
＝4a2（a+3）（a﹣3）；
②x2﹣2xy+3y2
＝（x2﹣6xy+9y2）
＝（x﹣3y）2．
20．（6分）先化简再求值：÷（﹣x+2），其中x可在﹣2，0，3三个数中任选一个合适的数．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从﹣2，0，3三个数中任选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣x+2）
＝÷
＝
＝
＝﹣，
∵x（2﹣x）≠0，x+2≠0，
∴x≠0，±2，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝﹣．
21．（7分）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）共抽取了多少个学生进行调查？
（2）将图甲中的折线统计图补充完整．
（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．

【分析】（1）用C等级的人数除以C等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；
（2）先用总数50分别减去A、C、D等级的人数得到B等级的人数，然后画出折线统计图；
（3）用360°乘以B等级所占的百分比即可得到B等级所占圆心角的度数．
【解答】解：（1）10÷20%＝50，
所以抽取了50个学生进行调查；
（2）B等级的人数＝50﹣15﹣10﹣5＝20（人），
画折线统计图；
（3）图乙中B等级所占圆心角的度数＝360°×＝144°．

22．（7分）阅读下列材料：
对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2+x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）．
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当x＝　1　时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 　（x﹣1）　，从而因式分解8x2﹣x﹣7＝　（x﹣1）（8x+7）　；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：
①3x2+11x+10；
②x3﹣21x+20．
【分析】（1）当x＝1时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 （x﹣1），从而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7）；
（2）①当x＝﹣2时，3x2+11x+10＝0，所以有一个因式是（x+2），从而得出答案；
②当x＝1，4，﹣5时，x3﹣21x+20＝0，所以x3﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．
【解答】解：（1）当x＝1时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，
所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 （x﹣1），
从而因式分解8x2﹣x﹣7＝（x﹣1）（8x+7），
故答案为：1，（x﹣1），（x﹣1）（8x+7）；
（2）①因为当x＝﹣2时，3x2+11x+10＝0，
所以有一个因式是（x+2），
所以3x2+11x+10＝（x+2）（3x+5）；
②因为当x＝1，4，﹣5时，x3﹣21x+20＝0，
所以x3﹣21x+20＝（x﹣1）（x﹣4）（x+5）．
23．（8分）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．

【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间＝免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将9.6L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种免洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，
依题意，得：15a+25b＝5000，
∴＝＝＝10．
答：这批消毒液可使用10天．
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，
依题意，得：300m+500n+20（m+n）＝9600，
∴m＝30﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴和．
∵要使分装时总损耗20（m+n）最小，
∴，
即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小．
24．（6分）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　∠E＝∠END﹣∠BME　；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　　．

【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；
（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；
（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），进而得出∠F＝∠E．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；

（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，

∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；

（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①

∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，
∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F＝∠E，
即．
故答案为：．
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日期：2021/8/16 23:23:18；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298