2020-2021学年北京市东城区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市东城区八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 使 x−2 有意义的 x 的取值范围是
A. x≠2B. x≥2C. x≤2D. x≥0

2. 下列各式是最简二次根式的是
A. 13B. 12C. a2D. 53

3. 若分式 x−1x+1 的值为 0，则 x 的值是
A. x=1B. x=−1C. x=±1D. x≠−1

4. 下列各式中，运算正确的是
A. a3⋅a3=2a3B. a23=a6C. 2a23=2a6D. a6÷a2=a3

5. 2020 年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就，科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为 125 纳米，1 纳米 =1.0×10−9 米，若用科学记数法表示 125 纳米，则正确的是
A. 1.25×10−9 米B. 1.25×10−8 米C. 1.25×10−7 米D. 1.25×10−6 米

6. 下列各式由左到右是分解因式的是
A. x2+6x−9=x+3x−3+6x
B. x+2x−2=x2−4
C. x2−2xy−y2=x−y2
D. x2−8x+16=x−42

7. 已知一个多边形的内角和是 1080∘，则这个多边形是
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形

8. 如图所示，点 O 是 △ABC 内一点，BO 平分 ∠ABC，OD⊥BC 于点 D，连接 OA，若 OD=5，AB=20，则 △AOB 的面积是
A. 20B. 30C. 50D. 100

9. 如图，已知 ∠AOB=60∘，点 P 在边 OA 上，OP=10，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=
A. 3B. 4C. 5D. 6

10. 剪纸是我国传统的民间艺术，将一张纸片按图中（1），（2）的方式沿虚线依次对折后，再沿图（3）的虚线裁剪，最后将图（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是
A. AB. BC. CD. D

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 因式分解：x2y−4y= ．

12. 如果 x2−10x+m 是一个完全平方式，那么 m 的值是 ．

13. 图（1）是一个长为 2a，宽为 2ba>b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ．

14. 如图所示，已知 P 是 AD 上的一点，∠ABP=∠ACP，请再添加一个条件： ，使得 △ABP≌△ACP．

15. 小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为 15 cm 和 20 cm，则这根铁丝的长为 cm．

16. 如图，在 △ABC 中，D 是 BC 上一点，AC=AD=DB，∠BAC=105∘，则 ∠B= ∘．

17. 如图，等腰直角 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，D 为 BC 的中点，AD=25，若 P 为 AB 上一个动点，则 PC+PD 的最小值为 ．

18. 如图，∠MON=30∘，点 A1，A2，A3，A4，⋯ 在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，⋯ 在射线 OM 上，且 △A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，⋯ 均为等边三角形，以此类推，若 OA1=1，则 △A2021B2021A2022 的边长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：∣−2∣+243−π−20+12−1．

20. 如图，点 B，C，D，F 在一条直线上，AB=EF，AC=ED，∠CAB=∠DEF，求证：AC∥DE．

21. 已知 x2−x+1=0，求代数式 x+12−x+12x−1 的值．

22. 尺规作图：
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点 P 在A区内，且到铁路 FG 和公路 CE 的距离相等，到两通讯站 C 和 D 的距离也相等．如果你是红方的指挥员，请你在下图中标出蓝方指挥部点 P 的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）

23. 解方程：x+1x−1+4x2−1=1．

24. 先化简，再求值：x+2x2−2x−x−1x2−4x+4÷x−4x，其中 x=2+2．

25. 列分式方程解应用题：
截止到 2020 年 11 月 23 日，全国 832 个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵 10 元，用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．

26. 已知 △ABC 是等边三角形，点 D 是 AC 的中点，点 P 在射线 BC 上，点 Q 在线段 AB 上，∠PDQ=120∘．
（1）如图 1，若点 Q 与点 B 重合，求证：DB=DP．
（2）如图 2，若点 P 在线段 BC 上，AC=8，求 AQ+PC 的值．

27. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC>BC，D 为 AB 的中点，E 为 CA 延长线上一点，连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，连接 EF．作点 B 关于直线 DF 的对称点 G，连接 DG．
（1）依题意补全图形．
（2）若 ∠ADF=α．
①求 ∠EDG 的度数（用含 α 的式子表示）．
②请判断以线段 AE，BF，EF 为边的三角形的形状，并说明理由．

28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M3,0，且平行于 y 轴．给出如下定义：点 Px,y 先关于 y 轴对称得点 P1，再将点 P1 关于直线 l 对称得点 Pʹ，则称点 Pʹ 是点 P 关于 y 轴和直线 l 的二次反射点．
（1）已知 A−4,0，B−2,0，C−3,1，则它们关于 y 轴和直线 l 的二次反射点 Aʹ，Bʹ，Cʹ 的坐标分别是 ．
（2）若点 D 的坐标是 a,0，其中 ab 的长方形，
∴ 正方形的边长为：a+b，
∵ 由题意可得，正方形的边长为 a+b，
∴ 正方形的面积为 a+b2，
∵ 原矩形的面积为 4ab，
∴ 中间空的部分的面积 =a+b2−4ab=a−b2．
故答案为 a−b2．
14. ∠APB=∠APC（答案不唯一）
【解析】添加 ∠APB=∠APC，
在 △ABP 与 △ACP 中，
∠ABP=∠ACP,∠APB=∠APC,AP=AP,
∴△ABP≌△ACPAAS．
故答案为：∠APB=∠APC（答案不唯一）
15. 50 或 55
【解析】①腰长 15 cm，底边 20 cm，
则周长为 15+15+20=50 cm．
②腰长 20 cm，底边 15 cm，
则周长为 20+20+15=55 cm，
∴ 综上，这根铁丝长 50 cm 或 55 cm．
16. 25
【解析】设 ∠B=α，
∵AC=AD=DB，
∴∠BAD=∠B=α
∠ACD=∠ADC=∠B+∠BAD=2α，
∴∠DAC=180∘−4α，
∵∠BAC=105∘，
∴α+180∘−4α=105∘，
α=25∘，
∴∠B=25∘．
17. 25
【解析】如图所示，作点 D 关于 AB 的对称点 E，连接 DE 交 AB 于点 F，
连接 CE 交 AB 于点 P，延长 ED，过点 C 作 CH⊥ED 延长线于点 H，
由对称性质可知：PD=PE，DE⊥AB，DF=EF，
所以 PC+PD=PC+PE≥CE，
即当点 C，P，E 三点共线时，PC+PD 取得最小值，
因为 CH⊥EH，AB⊥EH，
所以 CH∥AB，
因为 △ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠ACB=90∘，D 为 BC 的中点，
所以 ∠B=45∘，CD=BC=2，
所以 △CDH 为等腰直角三角形，则 CH=DH，
由勾股定理得：CD2=CH2+DH2，则 CH=DH=2，
△BDF 中 ∠DFB=90∘，∠B=45∘，
所以 △BDF 为等腰直角三角形，BF=DF，
由勾股定理得：BD2=BF2+DF2，则 BF=DF=2
所以 EH=DH+DF+EF=2+2+2=32，
Rt△CEH 中由勾股定理得：CE=CH2+EH2=2+18=25，
故 PC+PD 的最小值为 25．
18. 22020
【解析】∵△A1B1A2 为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60∘，
∴∠OB1A1=∠B1A1A2−∠MON=30∘，
∴∠OB1A1=∠MON，
∴A1B1=OA1=1，
同理可得，A2B2=OA2=2，A3B3=OA3=4=22，
∴△A2021B2021A2022 的边长为 22020．
第三部分
19. ∣−2∣+243−π−20+12−1=2+22−1+2=32+1.
20. 在 △ABC 和 △EFD 中，
AB=EF,∠CAB=∠DEF,AC=ED,
∴△ABC≌△EFDSAS，
∴∠ACB=∠EDF，
∴∠ACD=∠EDC，
∴AC∥DE．
21. 原式=x2+1+2x−2x2+x−2x+1=−x2+x+2,
当 x2−x+1=0 时，原式=3．
22.
【解析】作铁路 FG 与公路 CE 的交角 CBF 的平分线 BH，作线段 CD 的垂直平分线 MN，则 BH 与 MN 的交点，即为蓝方指挥部点的位置．
23. 方程两边乘以 x+1x−1 得：
x+12+4=x+1x−1.
解这个方程得：
x=−3.
检验：当 x=−3 时，x+1x−1≠0，
x=−3 是原方程的解；
∴ 原方程的解是：x=−3．
24. x+2x2−2x−x−1x2−4x+4÷x−4x=x+2xx−2−x−1x−22⋅xx−4=x−4xx−22⋅xx−4=1x−22.
当 x=2+2 时，原式=12．
25. 设甲种树苗每棵的价格是 x 元，则乙种树苗每棵的价格是 x+10 元．
依题意有
480x+10=360x.
解得
x=30.
经检验，x=30 是原方程的解，且符合题意，x+10=30+10=40．
答：甲种树苗每棵的价格是 30 元，乙种树苗每棵的价格是 40 元．
26. （1） ∵△ABC 为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60∘，
∵D 为 AC 的中点，
∴DB 平分 ∠ABC，
∴∠DBC=30∘，
∵∠PDB=120∘，
∴∠DPB=180∘−120∘−30∘=30∘，
∴∠DBC=∠DPB，
∴DB=DP．
（2） 过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E，
∵△ABC 为等边三角形，AC=8，点 D 是 AC 的中点，
∴AD=CD=4，∠ABC=∠ACB=∠A=60∘，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠B=60∘，∠ADE=∠C=60∘，
∴△ADE 为等边三角形，∠EDC=120∘，
∴AD=ED=AE=4，
∴ED=CD=4，
∵∠QDP=∠EDC=120∘，
∴∠QDE=∠PDC，
∵ED=CD，∠AED=∠C=60∘，
在 △QDE 和 △PDC 中，
∠QDE=∠PDC,ED=CD,∠AED=∠C=60∘.
∴△QDE≌△PDCASA．
∴EQ=PC，
∴AQ+PC=AQ+QE=AE=4．
27. （1） 补全图形，如图所示．
（2） ① ∵∠ADF=α，
∴∠BDF=180∘−α．
由轴对称性质可知，∠GDF=∠BDF=180∘−α，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90∘，
∴∠EDG=∠GDF−∠EDF=180∘−α−90∘=90∘−α．
②以线段 AE，BF，EF 为边的三角形是直角三角形．
连接 GF，GE．
由轴对称性质可知 GF=BF，∠DGF=∠B，
∵D 是 AB 的中点，
∴AD=BD．
∵GD=BD，
∴AD=GD．
∵∠GDE=∠EDA−90∘−α，DE=DE，
∴△GDE≌△ADE，
∴∠EGD=∠EAD，AE=GE．
∵∠EAD=90∘+∠B．
∴∠EGD=90∘+∠B．
∴∠EGF=∠EGD−∠DGF=90∘+∠B−∠B=90∘，
∴ 以线段 GE，GF，EF 为边的三角形是直角三角形，
∴ 以线段 AE，BF，EF 为边的三角形是直角三角形．
28. （1） Aʹ2,0，Bʹ4,0，Cʹ3,1
【解析】A−4,0 关于 y 轴对称点 A14,0，
A1 关于直线 l 对称点 Aʹ2,0，
B−2,0 关于 y 轴对称点 B12,0，
B1 关于直线 l 对称点 Bʹ4,0，
C−3,1 关于 y 轴对称点 C13,1，
C1 关于直线 l 对称点 Cʹ3,1．
（2） 依题意，得 D1−a,0，Dʹ6+a,0．
DDʹ=6+a−a=6．
（3） Pʹ6+a,1,Qʹ7+a,1，
当 PʹQʹ 与 EH 有公共点时，
7+a≥4,6+a≤4,
∴−3≤a≤−2．
当 PʹQʹ 与 FG 有公共点时，
6+a≤6,7+a≥6,
∴−1≤a≤0，
∴−3≤a≤−2 或 −1≤a≤0．