2018_2019学年无锡市新吴区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年无锡市新吴区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 tanA=1，则锐角 A 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

2. 关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k=−1B. k>−1C. k=1D. k>1

3. 有一组数据：3，3，5，6，7．这组数据的众数为
A. 3B. 5C. 6D. 7

4. 抛物线 y=x−22+3 的顶点坐标是
A. 2,3B. −2,3C. 2,−3D. −2,−3

5. 以 2 和 4 为根的一元二次方程是
A. x2+6x+8=0B. x2−6x+8=0C. x2+6x−8=0D. x2−6x−8=0

6. ⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 6，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定

7. 下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

8. 如图所示的扇形纸片半径为 5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是 4 cm，则该圆锥的底面周长是
A. 3π cmB. 4π cmC. 5π cmD. 6π cm

9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，则 S△CDF:S四边形ABFE 等于
A. 1:3B. 2:5C. 3:5D. 4:9

10. 如图，在 △ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是
A. 6B. 213+1C. 9D. 323

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 xy=32，则 x+yy 的值为 ．

12. 一个不透明的口袋中有 5 个完全相同的小球，分别标号为 1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．

13. 方程 2x−4=0 的解也是关于 x 的方程 x2+mx+2=0 的一个解，则 m 的值为 ．

14. 若点 A−2,y1，点 B4,y2 在二次函数 y=x2−2x+c 的图象上，则 y1，y2 的大小关系为 ．

15. 甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是 85 分，如果甲比赛成绩的方差为 s甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为 s乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．

16. 如图，△ABC 的外接圆 O 的半径为 2，∠C=30∘，则扇形 AOB 的面积是 ．

17. 如图，在扇形铁皮 AOB 中，OA=10，∠AOB=36∘，OB 在直线 l 上．将此扇形沿 l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当 OA 第 5 次落在 l 上时，停止旋转．则点 O 所经过的路线长为 ．

18. 如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 的中点，把 △PAB 沿着 PA 翻折得到 △PAE，过 C 作 CF⊥DE 于 F，若 CF=2，则 DF= ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算或求值：
（1）12−2cs60∘+2018−π0；
（2）已知 3x−4y2x+y=12，求 xy 的值．

20. 解方程：
（1）x2−4x−4=0；
（2）xx−2=15．

21. 如今通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已成为一种时尚．“健身达人”小张为了了解他的微信朋友圈里大家的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们 1 月 29 日那天每人行走的步数情况分为五个类别：A（0∼4000 步）（说明：0∼4000 表示大于或等于 0，小于或等于 4000，下同）、B（4001∼8000 步）、C（8001∼12000 步）、D（12001∼16000 步）、E（16000 步以上），并将统计结果绘制了如图 1 和 2 两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）小张随机抽取了 名微信朋友圈好友；
（2）将图 1 的条形统计图补充完整；
（3）已知小张的微信朋友圈里共 300 人，请根据本次抽查的结果，估计在它的微信朋友圈里 1 月 29 日那天行走不超过 8000 步的人数．

22. 在一个不透明的布袋中装有形状大小都相同的三个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是 1，2，3．现规定从布袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的十位数字；然后把小球放回袋中并搅匀，接着从袋中再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的个位数字．
（1）请你用画树状图或列表法分析并写出按上述规定得到所有可能的两位数；
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于 4 且小于 5 的概率．

23. 如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：A1,1，B−3,1，C−3,−1．
（1）若 △ABC 的外接圆的圆心为 P，则点 P 的坐标为 ，⊙P 的半径为 ；
（2）如图所示，在 11×8 的网格图内，以坐标原点 O 点为位似中心，将 △ABC 按相似比 2:1 放大，A，B，C 的对应点分别为 Aʹ，Bʹ，Cʹ．
① 画出 △AʹBʹCʹ；
② 将 △AʹBʹCʹ 沿 x 轴方向平移，需平移 个单位长度，能使得 BʹCʹ 所在的直线与 ⊙P 相切．

24. 图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM 固定于平板电脑背面，与可活动的 MB，CB 部分组成支架．平板电脑的下端 N 保持在保护套 CB 上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中 AN 表示平板电脑，M 为 AN 上的定点，AN=CB=20 cm，AM=8 cm，MB=MN．我们把 ∠ANB 叫做倾斜角．
（1）当倾斜角为 45∘ 时，求 CN 的长；
（2）按设计要求，倾斜角能小于 30∘ 吗?请说明理由．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠BAC=90∘，四边形 EBOC 是平行四边形，EB 交 ⊙O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 F．
（1）求证：CF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ∠F=30∘，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 π ）

26. 近期江苏省各地均发布“雾霾”黄色预警，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为 18 元，试销过程中发现，每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系满足如表．
销售单价x元/件⋯20253040⋯每月销售量y万件⋯60504020⋯
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示 y 与 x 的变化规律，并直接写出 y 与 x 之间的函数关系式为 ；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为 440 万元?
（3）如果厂商每月的制造成本不超过 540 万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大?最大利润为多少万元?

27. 如图，已知 △ABC 中，∠C=90∘，点 M 从点 C 出发沿 CB 方向以 1 cm/s 的速度匀速运动，到达点 B 停止运动，在点 M 的运动过程中，过点 M 作直线 MN 交 AC 于点 N，且保持 ∠NMC=45∘．再过点 N 作 AC 的垂线交 AB 于点 F，连接 MF，将 △MNF 关于直线 NF 对称后得到 △ENF．已知 AC=8 cm，BC=4 cm，设点 M 运动时间为 ts，△ENF 与 △ANF 重叠部分的面积为 ycm2．
（1）用含 t 的代数式表示出 NC 与 NF；
（2）在点 M 的运动过程中，能否使得四边形 MNEF 为正方形?如果能，求出相应的 t 值，如果不能，说明理由；
（3）求 y 与 t 的函数关系式及相应 t 的取值范围．

28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−2ax−3aa<0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l:y=kx+b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4AC．
（1）求出点 A 的坐标和点 D 的横坐标；
（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若 △ACE 的面积的最大值为 54，求 a 的值；
（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能否成为矩形?若能，直接写出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. C【解析】由题意 Δ=0，
∴4−4k=0，
∴k=1．
3. A【解析】这组数据中 3 出现的次数最多，出现了 2 次，则众数为 3．
4. A
5. B
【解析】以 2 和 4 为根的一元二次方程是 x2−6x+8=0．
6. C【解析】∵⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 6，5<6，
∴ 直线 l 与 ⊙O 相离．
7. B
8. D
9. B【解析】如图，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ED∥BC，BC=AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴EFCF=DEBC，
∵AE=DE，
EFCF=DEBC=12，
设 △DEF 的面积为 S．
则 △CDF 的面积为 2S，△BFC 的面积为 4S，
△BCD 的面积 =△ABD 的面积 =6S，
∴ 四边形 ABFE 的面积为 5S，
∴S△CDF:S四边形ABFE=2:5．
10. C
【解析】如图，设半圆 O 与 AC 相切于点 E，连接 OE，过 O 作 OP1⊥BC，垂足为 P1，交半圆 O 于 Q1，此时 P1Q1 最短，
∵ AB=10，AC=8，BC=6，
∴ AB2=AC2+BC2，
∴ ∠C=90∘，
∵ ∠OP1B=90∘，
∴ ∠C=∠OP1B，
∴ OP1∥AC，
∵ AO=OB，
∴ P1C=P1B，
∴ OP1=12AC=4，
同理可得 OE=3，
∴ P1Q1=OP1−OQ1=1，如图，当 Q2 在 AB 边上，P2 与 B 重合时，P2Q2 最长，且 P2Q2=5+3=8，
∴ PQ 长的最大值和最小值的和是 8+1=9．
第二部分
11. 52
12. 25
【解析】∵ 标号为 1，2，3，4，5 的 5 个小球中偶数有 2 个，
∴P=25．
13. −3
14. y1=y2
【解析】∵y=x−12−1+c，
∴ 二次函数图象的对称轴为直线 x=1，
∵ 当 x=−2 时，y1=x2−2x+c=8+c；
当 x=4 时，y2=x2−2x+c=8+c；
∵8+c=8+c，
∴y1=y2．
15. 甲
【解析】∵s甲2=16.7，s乙2=28.3，
∴s甲2 ∴ 甲的成绩比较稳定．
16. 23π
【解析】由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=60∘，
则扇形 AOB 的面积 =60π×22360=23π．
17. 60π
【解析】当 OA 第 1 次落在 l 上时：点 O 所经过的路线长 =90π×10180+36π×10180+90π×10180=216π×10180=12π．
则当 OA 第 5 次落在 l 上时：点 O 所经过的路线长 =12π×5=60π．
18. 6
【解析】如图所示，过 A 作 AM⊥DF 于 M，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90∘，
∴∠ADF+∠FDC=90∘，
∵∠ADF+∠MAD=90∘，
∴∠FDC=∠MAD，
∵∠AMD=∠DFC=90∘，
∴△AMD≌△DFC，
∴DM=FC=2，
由折叠得：AB=AE，BP=PE，
∵AB=AD，
∴AE=AD，
∴DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，
∵P 是 BC 的中点，
∴PC=12BC=12AD=PE，
设 ∠MAD=α，则 ∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45∘−α，
∴∠APE=90∘−45∘−α=45∘+α，
∵∠EAM=∠DAM，∠BAP=∠PAE，
∴∠PAE+∠EAM=12∠BAD=45∘，
过 P 作 PH⊥AM 于 H，过 E 作 EG⊥PH 于 G，
∴△PAH 是等腰直角三角形，
∴∠APH=45∘，
∴∠HPE=α=∠MAD，
∵∠PGE=∠AMD=90∘，
∴△PGE∽△AMD，
∴PEAD=GEMD=PGAM=12，
∴GE2=PGAM=12，
∴GE=1，AM=2PG，
设 PG=x，则 AM=2x，
∴AH=2x−1，
∵AH=PH，
∴2x−1=2+x，x=3，
∴PG=3，AM=6，
∵△DAM≌△CDF，
∴DF=AM=6．
第三部分
19. （1） 12−2cs60∘+2018−π0=23−2×12+1=23−1+1=23.
（2） ∵3x−4y2x+y=12，
∴6x−8y=2x+y，
∴4x=9y，
∴xy=94．
20. （1）
Δ=b2−4ac=−42−4×1×−4=32,x=−−4±322×1=4±422=2±22,
所以
x1=2+22,x2=2−22.
（2）
x2−2x−15=0,x−5x+3=0,x−5=0或x+3=0,
所以
x1=5,x2=−3.
21. （1） 60
【解析】小张随机抽取了 915%=60 名微信朋友圈好友．
（2） D类的人数有：
9÷15%−3+9+24+6=60−42=18人.
（3） 300×3+960=300×15=60（人）．
∴ 在他的微信朋友圈里 1 月 29 日那天行走不超过 8000 步的有 60 人．
22. （1） 画树状图得（列表法也可）：
∴ 共有 9 种等可能的结果：11，12，13，21，22，23，31，32，33．
（2） 在所得 9 个有理数中，算术平方根大于 4 且小于 5 的有 21，22，23 这 3 个，
∴ 其算术平方根大于 4 且小于 5 的概率为 39=13．
23. （1） −1,0；5
【解析】△ABC 的外接圆 P 如图所示．
由图可知，点 P 的坐标为 −1,0 、半径为 12+22=5．
（2） ① 如图所示，△AʹBʹCʹ 即为所求．
② 5−5 或 5+5
【解析】② 将 △AʹBʹCʹ 向右平移 5−5 或 5+5 个单位 BʹCʹ 所在的直线与 ⊙P 相切．
24. （1） 当 ∠ANB=45∘ 时，
∵ MB=MN，
∴ ∠B=∠ANB=45∘，
∴ ∠NMB=180∘−∠ANB−∠B=90∘．
在 Rt△NMB 中，sin∠B=MNBN=22，
∴ BN=MNsin∠B=AN−AMsin∠B=122 cm．
∴ CN=CB−BN=AN−BN=20−122 cm．
（2） 当 ∠ANB=30∘ 时，作 ME⊥CB，垂足为 E．
∵ MB=MN，
∴ ∠B=∠ANB=30∘．
在 Rt△BEM 中，cs∠B=EBMB，
∴ BE=MBcs∠B=AN−AMcs∠B=63 cm，
∵ MB=MN，ME⊥CB，
∴ BN=2BE=123 cm．
∵ CB=AN=20 cm，且 123>20，
∴ 此时 N 不在 CB 边上，与题目条件不符．
随着 ∠ANB 度数的减小，BN 长度在增加，
∴ 倾斜角不可以小于 30∘．
25. （1） 如图连接 OD．
∵ 四边形 OBEC 是平行四边形，
∴OC∥BE .
∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB .
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB .
∴∠DOC=∠AOC .
在 △COD 和 △COA 中，
OC=OC,∠COD=∠COA,OD=OA.
∴△COD≌△COA .
∴∠CAO=∠CDO=90∘ .
∴CF⊥OD .
∴CF 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵∠F=30∘，∠ODF=90∘，
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60∘ .
∵OD=OB，
∴△OBD 是等边三角形.
∴∠DBO=60∘ .
∵∠DBO=∠F+∠FDB，
∴∠FDB=∠EDC=30∘ .
∵EC∥OB，
∴∠E=180∘−∠OBD=120∘ .
∴∠ECD=180∘−∠E−∠EDC=30∘ .
∴EC=ED=BO=DB .
∵EB=4，
∴OB=OD=OA=2 .
在 Rt△AOC 中，
∵∠OAC=90∘，OA=2，∠AOC=60∘，
∴AC=OA⋅tan60∘=23 .
∴S阴=2⋅S△AOC−S扇形OAD=2×12×2×23−120π⋅22360=43−4π3．
26. （1） 由表格中数据可得：y 与 x 之间的函数关系式为：y=kx+b，
把 20,60，25,50 代入得：20k+b=60,25k+b=50,
解得：k=−2,b=100,
故 y 与 x 之间的函数关系式为：y=−2x+100．
（2） 设总利润为 z 万元，
由题意得，
z=yx−18=−2x+100x−18=−2x2+136x−1800.
当 z=440 时，−2x2+136x−1800=440，
解得：x1=28，x2=40．
答：当销售单价为 28 元或 40 元时，厂商每月获得的利润为 440 万元．
（3） ∵ 厂商每月的制造成本不超过 540 万元，每件制造成本为 18 元，
∴ 每月的生产量为：小于等于 54018=30 万件，
y=−2x+100≤30，
解得：x≥35，
∵z=−2x2+136x−1800=−2x−342+512，
∴ 图象开口向下，对称轴右侧 z 随 x 的增大而减小，
∴x=35 时，z 最大为：510 万元．
当销售单价为 35 元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为 510 万元．
27. （1） ∵∠C=90∘，∠NMC=45∘，
∴CN=CM=t，
∵AC=8，
∴AN=8−t，
∵NF∥BC，
∴ANAC=NFBC，
∴8−t8=NF4，
∴NF=8−t2．
（2） 能使得四边形 MNEF 为正方形．理由如下：
连接 ME 交 NF 于 O，如图 1 所示：
由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45∘，MN=NE，OE=OM=CN=t，
∵ 四边形 MNEF 是正方形，
∴OE=ON=12FN，
∴t=12×128−t，解得：t=85，
即在点 M 的运动过程中，能使得四边形 MNEF 为正方形，t 的值为 85．
（3） 分两种情况：
①当 0②当 2由（1）得：NF=128−t，GH=NH，GH=2FH，
∴GH=23NF=138−t，
∴y=12NF⋅GH=12×128−t×138−t=1128−t2，
即 y=1128−t2228. （1） 当 y=0 时，ax2−2ax−3a=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴A−1,0，B3,0，
∵ 直线 l：y=kx+b 过 A−1,0，
∴0=−k+b，即 k=b，
∴ 直线 l：y=kx+k，
∵ 抛物线与直线 l 交于点 A，D，
∴ax2−2ax−3a=kx+k，
即 ax2−2a+kx−3a−k=0，
∵CD=4AC，
∴ 点 D 的横坐标为 4．
（2） 由（1）知，点 D 的横坐标为 4，
∴−3−ka=−1×4，
∴k=a，
∴ 直线 l 的函数表达式为 y=ax+a；
过 E 作 EF∥y 轴交直线 l 于 F，
设 Ex,ax2−2ax−3a，则 Fx,ax+a，EF=ax2−2ax−3a−ax−a=ax2−3ax−4a，
∴S△ACE=S△AFE−S△CEF=12ax2−3ax−4ax+1−12ax2−3ax−4ax=12ax2−3ax−4a=12ax−322−258a,
∴△ACE 的面积的最大值 =−258a，
∵△ACE 的面积的最大值为 54，
∴−258a=45，
解得 a=−25．
（3） 点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P1,−2677或1,−4．
【解析】以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形，
令 ax2−2ax−3a=ax+a，即 ax2−3ax−4a=0，
解得：x1=−1，x2=4，
∴D4,5a，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
设 P1,m，
①若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，如图 1 所示，
则易得 Q−4,21a，m=21a+5a=26a，
则 P1,26a，
∵ 四边形 ADPQ 是矩形，
∴∠ADP=90∘，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+5a2+32+26a−5a2=22+26a2，
即 a2=17，
∵a<0，
∴a=−77，
∴P1,−2677；
②若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，如图 2 所示，
则易得 Q2,−3a ），m=5a−−3a=8a，
则 P1,8a，
∵ 四边形 APDQ 是矩形，
∴∠APD=90∘，
∴AP2+PD2=AD2，
∴−1−12+8a2+1−42+8a−5a2=52+5a2，
即 a2=14，
∵a<0，
∴a=−12，
∴P1,−4，
综上所述，点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P1,−2677或1,−4．