2018_2019学年南京市溧水县九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年南京市溧水县九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列函数中，y 是 x 的二次函数的是
A. y=2x−1B. y=1xC. y=1x2D. y=−x2+2x

2. 一元二次方程 x2+kx−3=0 的一个根是 x=1，则另一个根是
A. x=3B. x=−1C. x=−3D. x=−2

3. 一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据 3，则下列统计量中发生变化的是
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差

4. 如图，正八边形 ABCDEFGH 中，∠EAG 大小为
A. 30∘B. 40∘C. 45∘D. 50∘

5. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 BD=2AD，CE=2AE，则下列结论：① △ABC∽△ADE；② DE∥BC；③ DE:BC=1:2；④ S△ABC=9S△ADE 中成立的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

6. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙P 与 x 轴相切于原点 O，平行于 y 轴的直线交 ⊙P 于 M，N 两点．若点 M 的坐标是 2,−1，则点 N 的坐标是
A. 2,−4B. 2,−4.5C. 2,−5D. 2,−5.5

二、填空题（共10小题；共50分）
7. 已知 ab=47，则 a−bb= ．

8. 如图，将 ∠AOB 放置在 5×5 的正方形网格中，则 tan∠AOB 的值是 ．

9. 二次函数 y=−2x−12+2 图象的顶点坐标是 ．

10. 如图，点 A，B，C 分别是 ⊙O 上的三点，已知 ∠AOB=50∘，则 ∠ACB 的大小是 ∘．

11. 一副扑克共 54 张牌（其中大王、小王各一张），洗匀后，从中任意抽取一张，抽出的牌是“王”的概率是 ．

12. 如图，圆锥的底面半径为 1 cm，高 SO 等于 22 cm，则侧面展开图扇形的圆心角为 ∘．

13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，BC=2，点 D，E，F 分别为 BC，AB，AC 上的点，若四边形 DEFC 为正方形，则它的边长为 ．

14. 如图，是二次函数 y=ax2+bx+c 的大致图象，则下列结论：① a<0；② b>0；③ c<0；④ b2−4ac>0 中，正确的有 ．（写上所有正确结论的序号）

15. 如图，已知图中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若 △ABC 与 △A1B1C1 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．

16. 折纸不仅可以帮助我们进行证明，还可以帮助我们进行计算．小明取了一张正方形纸片，按照如图所示的方法折叠（如图①②③）：
重新展开后得到如图所示的正方形 ABCD（如图④），BD，BE，EF 为前面折叠的折痕．小亮观察之后发现利用这个图形可以求出 45∘，22.5∘ 等角的三角函数值．请你直接写出 tan67.5∘= ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 解方程：
（1）xx−1+2x−1=0；
（2）2x2+x−3=0．

18. 要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近 10 次射击训练成绩的折线统计图．
（1）已求得甲的平均成绩为 8 环，求乙的平均成绩；
（2）观察图形，直接写出甲，乙这 10 次射击成绩的方差 s甲2，s乙2 哪个大；
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 7 环左右，本班应该选 参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右，本班应该选 参赛更合适．

19. 4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品和 3 件合格品．
（1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这 4 件产品中随机抽取 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取 1 件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在 0.95，则可以推算出 x 的值大约是多少?

20. 在同一水平线 l 上的两根竹竿 AB，CD，它们在同一灯光下的影子分别为 BE，DF，如图所示：（竹竿都垂直于水平线 l）．
（1）根据灯光下的影子确定光源 S 的位置．
（2）画出影子为 GH 的竹竿 MG（用线段表示）．
（3）若在点 H 观测到光源 S 的仰角是 α，且 csα=45，GH=1.2 m，请求出竹竿 MG 的长度．

21. 如图，已知 ⊙O 的弦 AB，点 E，F 是 AB 上两点，AE=BF，OE，OF 分别交于 AB 于 C，D 两点，求证：AC=BD．

22. 如图，一堤坝的坡角 ∠ABC=60∘，坡面长度 AB=24 米（图为横截面）．为了使堤坝更加牢固，需要改变堤坝的坡面，为使得坡面的坡角 ∠ADB=45∘，则应将堤坝底端向外拓宽（BD）多少米?（结果精确到 0.1 米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−4x−5 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于 C 点．
（1）求点 A，B，C 的坐标；
（2）点 x1,y1，x2,y2 在抛物线上，若 x1”，“=”或“<”）
（3）把该抛物线沿 y 轴向上平移 k 个单位后，与坐标轴只有两个公共点，求 k 的值．

24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PD 与 ⊙O 相切于点 D，点 C 在 ⊙O 上，PC=PD．
（1）求证：PC 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 AC，若 AC=PC，PB=1，求 ⊙O 的半径．

25. 某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面长为 1.25 米的水管 OA 喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点 B 到点 O 的距离为 2.5 米．建立如图直角坐标系 xOy，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的函数关系式是 y=ax2+2x+c，请回答下列问题：
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）求水流的最大高度．

26. 苏科版九年级下册数学课本 65 页有这样一道习题：
如图 1，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为点 D．
（1）△ACD 与 △CBD 相似吗?为什么?
（2）图中还有几对相似三角形?是哪几对?
复习时，小明提出了新的发现：“利用 △ACD∽△CBD∽△ABC 可以进一步证明：①CD2=AD⋅BD，②BC2=BD⋅AB，③AC2=AD⋅AB．”
（1）请你按照小明的思路，选择 ①，②，③ 中的一个进行证明；
（2）小亮研究“小明的发现”时，又惊喜地发现，利用“它”可以证明“勾股定理”，请你按照小亮思路完成这个证明；
（3）小丽也由小明发现的“CD2=AD⋅BD”，进一步发现：“已知线段 a，b，可以用尺规作图作出线段 c，使 c2=a⋅b”，请你完成小丽的发现．（不要求写出作法，请保留作图痕迹）

27. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=4 cm，点 E 为 AD 边上一点，且 AE=3 cm，动点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿线段 AB 向终点 B 运动，运动时间为 x s．作 ∠EPF=90∘，与边 BC 相交于点 F．设 BF 长为 y cm．
（1）当 x= s，EP=PF；
（2）求在点 P 运动过程中，y 与 x 之间的函数关系式；
（3）点 F 运动路程的长是 cm．
答案
第一部分
1. D【解析】A、 y=2x−1 是一次函数，故A不是二次函数；
B、 y=1x 是反比例函数，故B不是二次函数；
C、 y=1x2 既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；
D、 y=−x2+2x，是二次函数，符合题意．
2. C【解析】设 m，n 是方程 x2+kx−3=0 的两个实数根，且 m=x=1；
则有：mn=−3，即 n=−3．
3. D【解析】原数据的 1，3，3，5 的平均数为 1+3+3+54=3，中位数为 3+32=3，众数为 3，方差为 14×1−32+3−32×2+5−32=2；
新数据 1，3，3，3，5 的平均数为 1+3+3+3+55=3，中位数为 3，众数为 3，方差为 15×1−32+3−32×3+5−32=1.6；
所以添加一个数据 3，方差发生变化．
4. C【解析】连接 AC，GE，EC，如图所示：
则四边形 ACEG 为正方形，
∴∠EAG=45∘．
5. C
【解析】∵BD=2AD，CE=2AE，
∴ADBD=AECE=12，
∴DE∥BC，故②正确；
∴△ABC∽△ADE，故①正确；
∴DE:BC=AD:AB=1:3，故③错误；
∴S△ABC=9S△ADE，故④正确，
∴ 其中成立的个数有 3 个．
6. A【解析】过点 M 作 MA⊥OP，垂足为点 A，
设 PM=x，PA=x−1，MA=2．
则 x2=x−12+4，
解得 x=52，
∵OP=PM=52，PA=52−1=32，
∴OP+PA=4，所以点 N 的坐标是 2,−4．
第二部分
7. −37
【解析】∵ab=47，设 a=4k，b=7k，
∴a−bb=4k−7k7k=−37．
8. 32
9. 1,2
【解析】∵ 抛物线解析式为 y=−2x−12+2，
∴ 二次函数图象的顶点坐标是 1,2．
10. 25
【解析】∵∠ACB 与 ∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角，∠AOB=2∠ACB=50∘，
∴∠ACB=12∠AOB=25∘．
11. 127
【解析】∵ 在 54 张牌中，牌面是“王”的有 2 张，
∴ 从中任意抽取一张，抽出的牌是“王”的概率是 254=127．
12. 120
【解析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为 n∘，
∵ 圆锥的底面半径 r 为 1 cm，高 h 为 22 cm，
∴ 圆锥的母线长为：12+222=3cm，
则 nπ×3180=2π×1，
解得，n=120．
13. 43
【解析】∵ 四边形 DEFC 为正方形，
∴ DE∥AC，EF∥BC，
∴ ∠BED=∠A，∠AEF=∠B，
∴ △AEF∽△EBD，
∴ AFED=EFBD．
设正方形 DEFC 的边长为 a，则 AF=4−a，BD=2−a，
即 4−aa=a2−a，
解得：a=43．
14. ①②④
【解析】因为抛物线开口向下，
所以 a<0；所以①正确；
因为抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，
所以 −b2a>0，a<0，
所以 b>0，所以②正确；
因为抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
所以 c>0，所以③错误；
因为抛物线与 x 轴有 2 个交点，
所以 Δ=b2−4ac>0，所以④正确．
15. 9,0
【解析】连接 BB1，A1A，并延长，
由图可得交点坐标为 9,0．
16. 2+1
【解析】设 EC=x，
由折叠的性质可知，EF=EC=x，∠BFE=∠C=90∘，∠BDC=45∘，∠EBC=22.5∘，
∴DE=2EF=2x，∠BEC=67.5∘，
∴CD=2x+x，
由正方形的性质可知，BC=CD=2x+x，
∴tan67.5∘=tan∠BEC=BCCE=2+1．
第三部分
17. （1）
xx−1+2x−1=0.
分解因式得：
x−1x+2=0.
解得：
x1=1,x2=−2.
（2） 2x2+x−3=0，
这里 a=2，b=1，c=−3，
因为 Δ=b2−4ac=12−4×2×−3=1+24=25，
所以原方程有两个不等实数根，
所以 x=−1±254，
解得：x1=1，x2=−32．
18. （1） 乙的平均成绩是：8+9+8+8+7+8+9+8+8+7÷10=8（环）．
（2） 根据图象可知：甲的波动大于乙的波动，则 s甲2>s乙2．
（3） 乙；甲
【解析】如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 7 环左右，本班应该选乙参赛更合适；
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右，本班应该选甲参赛更合适．
19. （1） ∵4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品，
∴P不合格品=14．
（2） 令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽 2 件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6 种情况．
合格的有 3 种情形，P抽到的都是合格品=36=12．
（3） ∵ 大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在 0.95，
∴ 抽到合格品的概率等于 0.95，
∴x+3x+4=0.95，
解得：x=16．
20. （1） 如图，点 S 即为所求，
（2） 如图，MG 即为所求．
（3） ∵csα=GHMH=45，GH=1.2，
∴MH=1.5，
在 Rt△MHG 中，∠MGH=90∘，
则 MG2=MH2−GH2=0.81，
则 MG=0.9 m，
答：竹杆 MG 的长度为 0.9 m．
21. 如图，连接 OA，OB，
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠B，
∵ AE=BF，
∴ ∠AOC=∠BOD，
在 △AOC 和 △BOD 中，
∠A=∠B,OA=OB,∠AOC=∠BOD.
∴ △AOC≌△BODASA，
∴ AC=BD．
22. 过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E．
∵AB=24，∠ABC=60∘，
∴AE=AB⋅sin60∘=123，
BE=AB⋅cs60∘=12 米，
∵AE=123，∠ADB=45∘，
∴DE=123，
∴BD=123−12=123−1≈8.8 米．
答：应将堤坝底端向外拓宽（BD）8.8 米．
23. （1） 令 y=0，解得 x1=−1，x2=5，
所以 A−1,0，B5,0，
令 x=0，得 y=−5，
所以 C0,−5．
（2） >
【解析】如图，由抛物线开口向上，且对称轴为直线 x=2，
因为当 x1所以 y1>y2．
（3） 抛物线解析式 y=x2−4x−5=x−22−9，平移后的解析式为 y=x−22−9+k，
①平移后过原点，此时 k=5；
②平移后与 x 轴只有一个公共点，此时 k=9．
24. （1） 如图，连接 OC，OD．
∵PD 与 ⊙O 相切于点 D，
∴∠PDO=90∘，
∵OC=OD，OP=OP，PC=PD，
∴△POC≌△PODSSS，
∴∠PCO=∠PDO=90∘，
又 ∵ 点 C 在 ⊙O 上，
∴PC 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AC=PC，
∴∠PAC=∠APC．
∵OC=OA，
∴∠PAC=∠ACO，
∵∠POC=∠PAC+∠ACO，
∴∠POC=2∠PAC=2∠APC，
又 ∵∠PCO=90∘，
∴∠POC=60∘，
∴∠OPC=30∘，
∴PO=2OC=2OB=2PB，
∴OC=PB=1．
25. （1） 由题意可得，抛物线图象经过 0,1.25 和 2.5,0，
c=1.25,a×2.52+2×2.5+c=0.
解得，a=−1,c=1.25.
即 y 与 x 之间的函数表达式是 y=−x2+2x+1.25；
（2） y=−x2+2x+1.25=−x−12+2.25，
∴ 当 x=1 时，y 取得最大值，此时 y=2.25 （米），
答：喷出的水流的最大高度 2.25 米．
26. （1） ∵△ACD∽△CBD，
∴ADCD=CDBD，
∴CD2=AD⋅BD，
其余证明方法类似．
（2） ∵BC2=BD⋅AB，AC2=AD⋅AB，
∴
BC2+AC2=BD⋅AB+AD⋅AB=AB⋅BD+AD=AB⋅AB=AB2,
∴BC2+AC2=AB2．
（3） 如图，
线段 c 即为所求．
27. （1） 1
【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，∠EPF=90∘，
∴∠A=∠B=90∘，
∴∠APE+∠AEP=90∘，
∵∠APE+∠BPF=90∘，
∴∠BPF=∠AEP，
∵EP=PF，
∴△AEP≌△BPFAAS，
∴AE=PB=3cm，
∴AP=AB−PB=1cm，
∴ 当 x=1 s 时，EP=PF．
（2） ∵∠EPF=90∘，
∴∠EPA+∠BPF=90∘．
又 ∵∠EPA+∠AEP=90∘，
∴∠AEP=∠BPF，
∵∠A=∠B=90∘，
∴△EAP∽△PBF，
∴EAPB=APBF，即 34−x=xy，
∴y=−13x2+43x．
（3） 43
【解析】∵y=−13x2+43x=−13x−22+43，
∵−13<0，
∴y 有最大值，最大值为 43，
∴ 点 F 运动路程是 43 cm．