2020-2021学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．C．9，16，25D．
4．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．12.5°D．10°
5．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（ ）
A．175B．600C．25D．625
6．（3分）若直线l的解析式为y＝﹣x+1，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l与y轴交于点（0，﹣1）
B．直线l不经过第四象限
C．直线l与x轴交于点（1，0）
D．y随x的增大而增大
7．（3分）若一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点（﹣3，y1），（5，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定
8．（3分）某校为选拔一名运动员参加市运动会100米短跑比赛，对甲、乙两名运动员都进行了5次测试．他们成绩的平均数均为12秒，其中甲测试成绩的方差S甲2＝0.8．乙的5次测试成绩分别为：13，12.5，11，11.5，12（单位：秒）．则最适合参加本次比赛的运动员是（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙都一样D．无法选择
9．（3分）当1≤x≤10时，一次函数y＝3x+b的最小值为18，则b＝（ ）
A．10B．15C．20D．25
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，点M，N分别位于BC，CD上，且CM＝DN，点P在对角线BD上运动．则MP+NP的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）某公司招聘职员，竞聘者需参加计算机、语言表达和写作能力三项测试．竞聘成绩按照如下标准计算：计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作能力成绩占20%．李丽的三项成绩依次是70分，90分，80分，则李丽的竞聘成绩是 分．
13．（3分）若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是 cm．
14．（3分）若直线y＝（m+5）x+（m﹣1）经过第一、三、四象限，则常数m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0），分别与x轴交于（﹣4，0），（2，0）两点，则关于x的不等式组的解集是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）．
三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且AE＝CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
20．（6分）为了解初二某班学生使用共享单车次数的情况，某数学小组随机采访该班的10位同学，得到这10位同学一周内使用共享单车的次数，统计如下：
（1）这10位同学一周内使用共享单车次数的众数是 ，中位数是 ；
（2）求这10位同学一周内使用共享单车次数的平均数．
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，AD＝6，CD＝8．
（1）尺规作图：作∠DAC的平分线AE，与CD交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求点E到线段AC的距离．
22．（10分）某校足球队计划从商家购进A、B两种品牌的足球，A种足球的单价比B种足球的单价低30元，购进5个A种足球的费用等于3个B种足球的费用．现计划购进两种品牌的足球共50个，其中A种足球数量不超过B种足球数量的9倍．
（1）求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？
（2）设购买A种足球m个（m≥1），购买两种品牌足球的总费用为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最低总费用．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP＝S△OAP时，求点P的坐标；
（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），MN＝4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由．
25．（12分）已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；
（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．
2020-2021学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）在下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、，是最简二次根式；
B、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、＝5，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式＝9＝9，所以B选项的计算错误；
C、原式＝4，所以C选项的计算错误；
D、原式＝＝2，所以D选项的计算正确．
故选：D．
3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．C．9，16，25D．
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵（）2+（）2＝（）2，
∴以，，为边不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵92+162≠252，
∴以9，16，25为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵（）2+（）2≠（）2，
∴以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．12.5°D．10°
【分析】根据正方形性质得出∠ADC＝90°，AD＝DC，根据等边三角形性质得出DE＝DC，∠EDC＝60°，推出∠ADE＝150°，AD＝ED，根据等腰三角形性质得出∠DAE＝∠DEA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：A．
5．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（ ）
A．175B．600C．25D．625
【分析】根据勾股定理得到AB2+BC2＝AC2，根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
则S＝225+400＝625，
故选：D．
6．（3分）若直线l的解析式为y＝﹣x+1，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l与y轴交于点（0，﹣1）
B．直线l不经过第四象限
C．直线l与x轴交于点（1，0）
D．y随x的增大而增大
【分析】利用一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特及一次函数图象与系数的关系逐一分析四个选项的正误即可得出结论．
【解答】A、当x＝0时，y＝﹣x+1＝1，
∴直线与y轴交于点（0，1），不符合题意；
B、∵k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
∴直线经过第一、二、四象限，不符合题意；
C、当y＝0时，﹣x+1＝0，
解得：x＝1，∴直线与x轴交于点（1，0）符合题意；
D、∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，不符合题意．
故选：C．
7．（3分）若一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象上有两点（﹣3，y1），（5，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣3＜5即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣3＜5，
∴y1＞y2．
故选：C．
8．（3分）某校为选拔一名运动员参加市运动会100米短跑比赛，对甲、乙两名运动员都进行了5次测试．他们成绩的平均数均为12秒，其中甲测试成绩的方差S甲2＝0.8．乙的5次测试成绩分别为：13，12.5，11，11.5，12（单位：秒）．则最适合参加本次比赛的运动员是（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙都一样D．无法选择
【分析】根据方差的定义计算出乙的方差，利用方差的意义可得答案．
【解答】解：乙5次测试成绩的平均数为＝12（秒），
∴乙测试成绩的方差S乙2＝×[（13﹣12）2+（12.5﹣12）2+（11﹣12）2+（11.5﹣12）2+（12﹣12）2]＝0.5，
∴S乙2＜S甲2，
∴最适合参加本次比赛的运动员是乙，
故选：B．
9．（3分）当1≤x≤10时，一次函数y＝3x+b的最小值为18，则b＝（ ）
A．10B．15C．20D．25
【分析】根据一次函数的性质，可知一次函数y＝3x+b中y随x的增大而增大，再根据当1≤x≤10时，一次函数y＝3x+b的最小值为18，可知x＝1时，y＝18，然后将x＝1代入函数解析式，即可得到b的值．
【解答】解：∵一次函数y＝3x+b，k＝3＞0，
∴该函数y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤10时，一次函数y＝3x+b的最小值为18，
∴当x＝1时，3×1+b＝18，
解得b＝15，
故选：B．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，点M，N分别位于BC，CD上，且CM＝DN，点P在对角线BD上运动．则MP+NP的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．
【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ＝BC，
∵AQ＝CN，∠QAP＝∠PCN，∠APQ＝∠CPN，
∴△APQ≌△CPN（AAS），
∴AP＝PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP＝AC＝6，BP＝BD＝8，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝10，
即NQ＝10，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝10，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣5 ．
【分析】根据被开方数是非负数即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2x+10≥0，
∴x≥﹣5，
故答案为：x≥﹣5．
12．（3分）某公司招聘职员，竞聘者需参加计算机、语言表达和写作能力三项测试．竞聘成绩按照如下标准计算：计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作能力成绩占20%．李丽的三项成绩依次是70分，90分，80分，则李丽的竞聘成绩是 78 分．
【分析】根据加权平均数的定义求解即可．
【解答】解：李丽的竞聘成绩是70×50%+90×30%+80×20%＝78（分），
故答案为：78．
13．（3分）若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是 5或 cm．
【分析】分长为4cm的边是直角边、长为4cm的边是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当长为4cm的边是直角边时，斜边长＝＝5（cm），
当长为4cm的边是斜边时，另一条直角边＝＝（cm），
综上所述，第三条边长为5cm或cm，
故答案为：5或．
14．（3分）若直线y＝（m+5）x+（m﹣1）经过第一、三、四象限，则常数m的取值范围是 ﹣5＜m＜1 ．
【分析】根据直线所经过的象限列出关于m的不等式组，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m+5）x+（m﹣1）的图象经过第一、三、四象限，
∴m+5＞0且m﹣1＜0，
解得：﹣5＜m＜1，
故答案为：﹣5＜m＜1．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0），分别与x轴交于（﹣4，0），（2，0）两点，则关于x的不等式组的解集是 ﹣4＜x＜2 ．
【分析】根据函数图象，可以直接写出函数y＝kx+b的函数值大于0对应的x的取值范围和函数y＝mx+n的函数值大于0对应的x的取值范围，然后即可得到不等式组的解集．
【解答】解：由图象可得，
当x＞﹣4时，y＝kx+b对应的函数值大于0，
当x＜2时，y＝mx+n对应的函数值大于0，
∴不等式组的解集是﹣4＜x＜2，
故答案为：﹣4＜x＜2．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．
【分析】①根据直角三角形斜边中线定理可判定；②由题意易得∠A+∠B＝90°，然后可得∠B＝22.5°，则根据等腰三角形的性质可求解；③当CM⊥AB时，CM的值最小，然后根据等腰直角三角形的性质可求解；④由题意易得点P的运动轨迹为平行于AB的线段，进而根据三角形中位线可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
即4∠B＝90°，
∴∠B＝22.5°，
∵点D是AB中点，AB＝20cm，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝10cm，
故①正确；
∴∠B＝∠DCB＝22.5°，
∴∠ADC＝2∠B＝45°，
故②错误；
当CM⊥AB时，CM的值最小，
∴∠CMD＝90°，
∴△CMD是等腰直角三角形，
∴CD＝CM＝10cm，
∴CM＝5cm，
故③正确；
取AC的中点E，连接PE，并延长EP，交BC于点F，
如图所示，
∵点P始终是线段CM的中点，
∴PE∥AM，PE＝AM，
∴EF∥AB，
∴点F为BC的中点，
∵点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，
∴点P在线段EF上运动，
∴EF＝AB＝10cm，
即点P运动路径的长度10cm，
故④正确，
∴正确的结论是①③④，
故答案为①③④．
三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）计算：．
【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝5﹣
＝5﹣2
＝3．
18．（4分）如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC上的点，且AE＝CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．
【分析】由题意易得ED∥BF，AD＝BC而AE＝CF，那么可得到ED＝BF，即可求证．
【解答】（本小题满分9分）
证明：∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC且AD＝BC．（2分）
又∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，（4分）
即ED＝BF，（6分）
由ED∥BF且ED＝BF，（8分）
得四边形EBFD为平行四边形．（9分）
（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝，
在△ACD中，AC2+CD2＝9＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD
＝×1×2+××2
＝1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
20．（6分）为了解初二某班学生使用共享单车次数的情况，某数学小组随机采访该班的10位同学，得到这10位同学一周内使用共享单车的次数，统计如下：
（1）这10位同学一周内使用共享单车次数的众数是 8次 ，中位数是 8次 ；
（2）求这10位同学一周内使用共享单车次数的平均数．
【分析】（1）出现次数最多的即为众数；将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数；
（2）根据加权平均数的计算公式，将所有数的和除以10即可得出结论．
【解答】解：（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数都是8，所以中位数是8次，8出现4次最多，所以众数是8次，
故答案为：8次，8次；
（2）×（1×2+4×2+8×4+12+16）＝7（次），
故这10位同学一周内使用共享单车次数的平均数是7次．
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，AD＝6，CD＝8．
（1）尺规作图：作∠DAC的平分线AE，与CD交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求点E到线段AC的距离．
【分析】（1）根据要求，要作角平分线，以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠BAC的两边分别于点M，点N，再分别以点M和点N为圆心，大于MN为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，与CD交于点E，线段AE即为所求；
（2）过点E作EF⊥AC于点F，点E到线段AC的距离即EF的长度，由角平分线的性质DE＝EF，AD＝AF，又△CEF∽△CAD，可得．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
由勾股定理可得AC＝10，
过点E作EF⊥AC于点F，
∵AE平分∠DAC，DE⊥AD，EF⊥AC，
∴∠DAE＝∠FAE，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AED＝∠AEF，即EA平分∠DEF，
∴AD＝AF＝6，
∵S△ACE＝•AD•CE＝•EF•AC，
∴3CE＝5EF，
设EF＝3m，则CE＝5m，
∴CE＝DE+EC＝3m+5m＝8，解得m＝1，
∴EF＝3，即点E到AC的距离为3．
22．（10分）某校足球队计划从商家购进A、B两种品牌的足球，A种足球的单价比B种足球的单价低30元，购进5个A种足球的费用等于3个B种足球的费用．现计划购进两种品牌的足球共50个，其中A种足球数量不超过B种足球数量的9倍．
（1）求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？
（2）设购买A种足球m个（m≥1），购买两种品牌足球的总费用为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最低总费用．
【分析】（1）A种品牌的足球单价为x元，则B种品牌的足球单价为（x+30）元，根据购进5个A种足球的费用等于3个B种足球的费用列出方程，解方程即可；
（2）先写出w＝﹣30m+3750，再根据A种足球数量不超过B种足球数量的9倍，且m≥1，求出m的取值范围，再根据函数的性质求最低费用．
【解答】解：（1）设A种品牌的足球单价为x元，则B种品牌的足球单价为（x+30）元，
由题意，得：5x＝3（x+30），
解得：x＝45，
∴x+30＝45+30＝75（元），
答：A种品牌的足球单价为45元，B种品牌的足球单价为75元；
（2）设购买A种足球m个（m≥1），则购买B种足球（50﹣m）个，
由（1）得：w＝45m+75（50﹣m）＝﹣30m+3750，
∵A种足球数量不超过B种足球数量的9倍，
∴m≤9（50﹣m），
解得：m≤45，
又∵m≥1，
∴1≤m≤45，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝45时，w最小，最小值为：﹣30×45+3750＝2400（元），
∴w关于m的函数关系式w＝﹣30m+3750，最低费用为2400元．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．
【分析】（1）证明△AOB≌△BDC（AAS）即可解决问题．
（2）证明EF＝CD．EF∥CD，推出四边形FEDC是矩形．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B、A．
∴A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∵CD⊥BD，
∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，
∴OD＝6，
∴C（6，2）．
（2）结论：四边形FEDC是矩形．
理由：∵点E，F分别是OB，AB的中点，
∴EF∥OA，EF＝OA，
∴EF⊥x轴，EF＝＝2，
∴EF∥CD，EF＝CD＝2，
∴四边形FEDC是平行四边形，
∵∠CDE＝90°，
∴四边形FEDC是矩形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP＝S△OAP时，求点P的坐标；
（3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），MN＝4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由．
【分析】（1）用两点坐标求一次函数解析式；
（2）△OBP的面积，若以OB为底，则点P的纵坐标就是它的高；
（3）利用公式a²+b²≥2ab的变形：a+b≥2得知，当a＝b时，a和b两数的和最小值为2，所以在梯形ABNM中，两腰AM＝BN时AM+BN和最小．从而可知四边形ABNM的周长值最小．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10．
∴A（0，10），B（10，0），
∴，
解是k＝﹣1，b＝10，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10；
（2）令P的坐标为（m，﹣m+10）
∵S△OBP＝S△OAP，
则•OB•|﹣m+10|＝•OA•|m|，
∵OA＝OB＝10，
∴|m|＝4|m﹣10|，
解得m＝或8，
所以点P坐标是（，﹣）或（8，2）；
（3）解法一∵直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，
∴直线l∥AB，距离5，即MN∥AB，
又AB＝10，MN＝4，
∴四边形ABNM是梯形，
∵点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），
∴当四边形ABNM是的两腰相等时，梯形ABNM的两腰的和最小，
也就是四边形ABNM的周长最小，
AM＝BN＝＝2，
∴四边形ABNM的周长的最小值：
AB+MN+AM+BN
＝10+4+2+2
＝14+4，
解法二：
作点A关于MN对称点A'，
则MA＝MA'，
作MB'∥NB，易得MB'＝NB，
AM+NB＝MA'+MB'≥A'B'，
又AA'＝10，AB'＝10﹣4＝6，
所以A'B'＝4，
所以当A'，M，B'三点共线时AM+NB取最小值为4，
四边形ABNM的周长的最小值：
AB+MN+AM+BN
＝10+4+4
＝14+4，
25．（12分）已知：四边形ABCD是正方形，AB＝20，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上．
（1）如图1，若∠EDF＝45°，AE＝CF，求∠DFC的度数；
（2）如图2，若∠EDF＝45°，点E，F分别是AB，BC上的动点，求证：△EBF的周长是定值；
（3）如图3，若GD＝BF＝5，GF和EH交于点O，且∠EOF＝45°，求EH的长度．
【分析】（1）证明△ADE≌△CDF，得∠ADE＝∠CDF＝×45°＝22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数；
（2）将△DAE绕点D逆时针旋转90°，通过证明三角形全等，证明EF＝AE+CF，即可证明△EBF的周长是定值；
（3）过点D作DL∥EH，交AB于点L，作DM∥FG，交BC于点M，连接LM，运用（2）中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠CDF＝90﹣45°＝45°，
∴∠CDF+∠CDF＝45°，
∴∠CDF＝22.5°，
∴∠DFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．
（2）如图2，延长BC到点K，使CK＝AE，连接DK，
∵∠DCK＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCK＝∠A，
∴△DCK≌△DAE（SAS），
∴DK＝DE，∠CDK＝∠ADE，
∴∠KDF＝∠CDK+∠CDF＝∠ADE+∠CDF＝45°，
∴∠KDF＝∠EDF，
∵DF＝DF，
∴△KDF≌△EDF（SAS），
∴KF＝EF，
∵KF＝CK+CF＝AE+CF，
∴EF＝AE+CF，
∴BE+EF+BF＝BE+AE+CF+BF＝AB+BC，
∵AB＝BC＝20，
∴BE+EF+BF＝40，
∴△EBF的周长是定值．
（3）如图3，作DL∥EH，交AB于点L，交FG于点P，作DM∥FG，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM，
∵DH∥LE，DG∥FM，
∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形，
∴GD＝BF＝FM＝5，EH＝DL，∠LDM＝∠POQ＝∠EOF＝45°，
∴BM＝5+5＝10；
由（2）得，BL+LM+BM＝40，
∴BL+LM＝30，
∴LM＝30﹣BL，
∵∠B＝90°，
∴BL2+BM2＝LM2，
∴BL2+102＝（30﹣BL）2，
解得BL＝，
∴AL＝20﹣＝，
∵AD＝AB＝20，
∴DL＝＝，
∴EH＝．
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