2019-2020学年北京石景山区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京石景山区八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2 的平方根是
A. ±4B. 4C. ±2D. 2

2. 【例 1 】下列照片分别是新首钢大桥、大兴机场、中国尊、丽泽夜空之眼，照片中主体建筑的平面图形不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列说法正确的是
A. 可能性很大的事件在一次试验中一定发生
B. 可能性很大的事件在一次试验中不一定会发生
C. 必然事件在一次试验中有可能不会发生
D. 不可能事件在一次试验中也可能发生

4. 使得分式 m−2m+3 有意义的 m 的取值范围是
A. m≠0B. m≠2C. m≠−3D. m>−3

5. 下列各式中，运算正确的是
A. x6x2=x3B. x+ay+a=xyC. −x+yy−x=−1D. x−22x2−4x=12x

6. 若最简二次根式 x+4 与最简二次根式 3x 是同类二次根式，则 x 的值为
A. x=0B. x=1C. x=2D. x=−2

7. 如图，△ABC 中，AB=AC，过点 A 作 DA⊥AC 交 BC 于点 D，若 ∠B=2∠BAD，则 ∠BAD 的度数为
A. 18∘B. 20∘C. 30∘D. 36∘

8. 【例 8 】如图，已知 ∠O，点 P 为其内一定点，分别在 ∠O 的两边上找点 A，B，使 △PAB 周长最小的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 写出一个满足 2
10. 下面是小军同学计算 1x2−2x−1x2+2x 的过程．
1x2−2x−1x2+2x=1xx−2−1xx+2 ⋯⋯1=x+2xx+2x−2−x−2xx+2x−2 ⋯⋯2=x+2−x−2xx+2x−2 ⋯⋯3=x+2−x+2xx+2x−2 ⋯⋯4=4xx+2x−2. ⋯⋯5
其中运算步骤 2 为： ，该步骤的依据是 ．

11. 如果等腰三角形的一个角比另一个角大 30∘，那么它的顶角是 ∘．

12. 用一组 a，b 的值说明式子“4a4b2=2a2b”是错误的，这组值可以是 a= ，b= ．

13. 桌子上有 6 杯同样型号的杯子，其中 1 杯白糖水，2 杯矿泉水，3 杯凉白开，从 6 个杯子中随机取出 1 杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： （填序号即可）．
①取到凉白开；②取到白糖水；③取到矿泉水；④没有取到矿泉水．

14. 如图，三角形纸片 ABC 中，∠ACB=90∘，BC=6，AB=10，在 AC 边上取一点 E，以 BE 为折痕，使 AB 的一部分与 BC 重合，A 与 BC 延长线上的点 D 重合，则 CE 的长为 ．

15. 对于任意不相等的两个实数 a，b，定义运算 ⊗ 如下：
a⊗b=aba−b，如：3⊗2=3×23−2=6，那么 8⊗12 的运算结果为 ．

16. 如图，△OAB 是腰长为 1 的等腰直角三角形，∠OAB=90∘，延长 OA 至 B1，使 AB1=OA，以 OB1 为底，在 △OAB 外侧作等腰直角三角形 OA1B1，再延长 OA1 至 B2，使 A1B2=OA1，以 OB2 为底，在 △OA1B1．外侧作等腰直角三角形 OA2B2，⋯⋯，按此规律作等腰直角三角形 OAnBn（n≥1，n 为正整数），回答下列问题：
（1）A3B3 的长是 ．
（2）△OA2020B2020 的面积是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：23−27−13．

18. 计算：x−15x2−9−23−x．

19. 解方程：3x−1=2−2xx+1．

20. 已知：x2+3x=1，求代数式 1x−1⋅x2−2x+1x+2−x−2x+1 的值．

21. 如图，在 4×4 的正方形网格中，有 5 个黑色小正方形．
（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的 4×4 的正方形网格图形是轴对称图形，如：将 8 号小正方形移动至 14 号；你的另一种做法是将 号小正方形移至 号（填写标号即可）．
（2）请你移动 2 个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将 号小正方形移至 号、将 号小正方形移至 号（填写标号即可）．

22. 已知：如图，AB=AE . ∠C=∠F，∠EAC=∠BAF，求证：AC=AF．

23. 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图 1，线段 a 和线段 b．
求作：△ABC，使得 AB=AC，BC=a，BC 边上的中线为 b．
作法：如图 2，
①作射线 BM，并在射线 BM 上截取 BC=a；
②作线段 BC 的垂直平分线 PQ，PQ 交 BC 于 D；
③以 D 为圆心，b 为半径作弧，交 PQ 于 A；
④连接 AB 和 AC，则 △ABC 为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形．
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知 BC=a，AD=b．
∵PQ 为线段 BC 的垂直平分线，点 A 在 PQ 上，
∴AB=AC（ ）（填依据）．
又 ∵ 线段 BC 的垂直平分线 PQ 交 BC 于 D，
∴BD=CD（ ）（填依据）
∴AD 为 BC 边上的中线，且 AD=b．

24. 甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做 3 天后，再由两队合作 7 天完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 2 倍，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天．

25. 如图，△ABC 中，AB=42，∠ABC=45∘，D 是 BC 边上一点，且 AD=AC．若 BD−DC=1．求 DC 的长．

26. 已知：如图 △ABC，直线 l．
求作：点 P．使得点 P 在直线 l 上，且点 P 、点 A 、点 B 构成的三角形为等腰三角形（保留作图痕迹，不必写出作法）．
（1）满足条件的点共有 个．
（2）在图中用尺规作图作出满足条件的点 P（保留作图痕迹，不必写出作法）．

27. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像 x+1x−2，x2x+2，⋯，这样的分式是假分式，像 1x−2，xx2−1，⋯，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：x+1x−2=x−2+3x−2=1+3x−2；x2x+2=x+2x−2+4x+2=x−2+4x+2．
解决下列问题：
（1）将分式 x−2x+3 化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可）．
（2）如果分式 x2+2xx+3 的值为整数，求 x 的整数值．

28. 如图，在等边 △ABC 中，点 D 是线段 BC 上一点，作射线 AD，点 B 关于射线 AD 的对称点为 E，连接 EC 并延长，交射线 AD 于点 F．
（1）补全图形．
（2）求 ∠AFE 的度数．
（3）用等式表示线段 AF，CF，EF 之间的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. C【解析】2 的平方根是 ±2．
2. D【解析】A．是轴对称图形，本选项不合题意；
B．是轴对称图形，本选项不合题意；
C．是轴对称图形，本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
3. B【解析】A选项：可能性很大的事件在一次试验中发生的可能性比较大，也可能不发生，故A错误；
B选项：可能性很大的事件在一次试验中不一定会发生，故B正确；
C选项：必然事件在一次试验中一定会发生，故C错误；
D选项：不可能事件在一次试验中一定不会发生，故D错误．
4. C【解析】使得分式 m−2m+3 有意义的 m 的取值范围是 m+3≠0，即 m≠−3．
故选C．
5. D
【解析】A选项：x6x2=x6−2=x4，故A错误；
B选项：x+ay+a 不能化简，故B错误；
C选项：−x+yy−x=y−xy−x=1，故C错误；
D选项：x−22x2−4x=x−22x2−2x=x−22xx−2=12x，故D正确．
6. C【解析】由题意得 x+4=3x，解得 x=2．
7. A【解析】设 ∠BAD=α，
∵∠B=2∠BAD，
∴∠B=2α，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=3α，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=2α，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90∘，
∴∠ADC+∠C=90∘，
∴3α+2α=90∘，
∴α=18∘，
∴∠BAD=18∘．
8. D【解析】分别在 ∠O 的两边上找点 A，B，使 △PAB 周长最小的是D选项，故选：D．
第二部分
9. 答案不唯一，如：2
【解析】∵2 ∴ 整数 a 可以取 2，3，4．
10. 通分，分式的基本性质
【解析】由题意得：步骤 2 为通分，该步骤依据为：分式的基本性质．
11. 80 或 40
【解析】设顶角为 α，则底角为 180∘−α2，
由题意得 α−180∘−α2=30∘ 或 180∘−α2−α=30∘，
解得 α=80∘ 或 α=40∘，
∴ 顶角为 80∘ 或 40∘．
故答案为：80∘ 或 40∘．
12. 1（答案不唯一），−1（答案不唯一）
【解析】用一组 a，b 的值说明式子“4a4b2=2a2b”是错误的，这组值可以是 a=1，b=−1．
故答案为：1（答案不唯一）；−1（答案不唯一）．
13. ④①③②
【解析】桌子上有 6 杯同样型号的杯子，其中 1 杯白糖水，2 矿泉水，3 杯凉白开，
①取到凉白开的概率是 36=12，
②取到白糖水的概率是 16，
③取到矿泉水的概率是 26=13，
④没取到矿泉水的概率是 46=23，
∴ 发生的可能性从大到小排列是：④①③②，
故答案为④①③②．
14. 3
【解析】△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=6，AB=10，
∴ AC=AB2−BC2=102−62=8，
根据折叠性质可知，BD=BA=10，EA=ED，
设 CE=x，
则 EA=ED=8−x，
∵ CD=BD−BC=10−6=4，∠DCE=180∘−∠ACB=90∘，
∴ 在 Rt△CDE 中，CD2+CE2=DE2，
∴ 42+x2=8−x2，
解得 x=3，
∴ CE=3．
15. −6
【解析】∵a⊗b=aba−b，
∴8⊗12=8×128−12=46−4=−6．
16. 22，22019
【解析】（1）依题意可知：OA=AB=1，
∵OA=AB1=1，
∴OB1=2，
∴OA1=A1B1=2，
∴OA1=A1B2=2，
∴OA1=A1B1=2
∴OB2=22，
∴OA2=A2B2=A2B3=2，
∴OB3=4，
∴OA3=A3B3=22．
（2）△OA1B1 的边长为 2，面积为 12222=1，
△OA2B2 的边长为 22，面积为 12222=2，
△OA3B3 的边长为 23，面积为 12232=4，
⋯
△OAnBn 的边长为 2n，面积为 122n2=2n−1，
∴△OA2020B2020 的面积为 22019．
第三部分
17. 原式=23−33+33=−233.
18. x−15x2−9−23−x=x−15x+3x−3+2x+6x+3x−3=3x−9x+3x−3=3x+3.
19. 去分母，得
3x+1=2x−1x+1−2xx−1.
去括号，得
3x+3=2x2−2−2x2+2x.
解得
x=−5.
经检验 x=−5 是原方程的解．
∴ 原方程的解是 x=−5．
20. 原式=1x−1⋅x−12x+2−x−2x+1=x−1x+2−x−2x+1=x2−1−x2−4x+1x+2=3x2+3x+2.
∵x2+3x=1，
∴原式=1．
21. （1） 9；3
【解析】正方形的对称轴只有两条对角线和两条中位线，观察阴影小正方形的位置可移动 8 号至 14 号，或 9 号至 3 号位置时，形成对称图形．
（2） 9；6；8；11（答案不唯一）
【解析】答案不唯一，如：9，6；8，11，或 9，3；10，4 等等．
同（1）中解析，分别观察正方形的四条对称轴，可移动 9 号至 6 号，8 号至 11 号或 9 号至 3 号，10 号至 4 号或 10 号至 3 号，8 号至 1，6，16，11 号等．
22. 在 △ABC 和 △AEF 中，
∵∠EAC=∠BAF，
∴∠BAC=∠EAF ，
∵∠BAC=∠EAF,∠C=∠F,AB=AE,
∴△ABC≌△AEFAAS，
∴AC=AF（全等三角形对应边相等）．
23. （1） 如图所示：
（2） 垂直平分线上一点到线段两端点距离相等；垂直平分线与线段交点为线段中点
24. 设甲施工队单独完成此项工程需 x 天，
则乙施工队单独完成此项工程需 2x 天，
根据题意，得
7x+102x=1.
解这个方程，得
x=12.
经检验，x=12 是原方程的根，并且符合实际问题的意义．
2x=24．
答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需 12 天、 24 天．
25. 过点 A 作 AE⊥BC 于 E．
∵AD=AC，
∴∠AEB=90∘，DE=EC．（等腰三角形底边上高线与底边上中线重合）
又 ∠ABC=45∘，
∴∠BAE=45∘．
∴AE=BE．（等角对等边）
在 Rt△ABE 中，AB=42，
∴AE2+BE2=AB2．（勾股定理）
即：BE2+BE2=422，
∴BE=4．
即 BD+12DC=4．
又 ∵BD−DC=1，
∴DC=2．
26. （1） 5
（2） 作图如下：
则点 P1，P2，P3，P4，P5 为所求点．
27. （1） 1−5x+3
【解析】x−2x+3=x+3−5x+3=1−5x+3．
（2） x2+2xx+3=x+3x−1+3x+3=x−1+3x+3，
∴x+3=±1 或 x+3=±3，
∴x 的取值可以是：−4，−2，0，−6．
28. （1） 补全图形（如图 1）．
（2） 连接 AE（如图 2）．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠BCA=60∘，
∵ 点 B 关于射线 AD 的对称点为 E，
∴AE=AB，∠FAB=∠FAE，
设 ∠FAC=α，则 ∠FAB=∠FAE=60∘−α，
∴∠EAC=60∘−α−α=60∘−2α，
又 AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=12180∘−60∘−2α=60∘+α，
∴∠AFE=180∘−∠FAE−∠FEA=60∘．
（3） AF=EF+CF．
如图 3，作 ∠FCG=60∘ 交 AD 于点 G，连接 BF，
∴△FCG 是等边三角形，
∴GF=CF=GC，∠CGF=∠GFC=∠FCG=60∘，
∠ACG=60∘−∠GCD=∠BCF，
在 △ACG 和 △BCF 中，
CA=CB,∠ACG=∠BCF,CG=CF,
∴△ACG≌△BCF，
∴AG=BF，
∵ 点 B 关于射线 AD 的对称点为 E，
∴BF=EF，
∵AF=AG+GF，
∴AF=EF+CF．