2020-2021学年北京市石景山区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市石景山区八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 3 的算术平方根是
A. 3B. 3C. ±3D. 9

2. 下面医院lg设计的图案中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列事件中，为必然事件的是
A. 明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起
B. 成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀
C. 从能被 8 整除的数中，随机抽取一个数能被 2 整除
D. 从 10 本图书中随机抽取一本是小说

4. 代数式 2x+1 在实数范围内有意义的条件是
A. x>−12B. x≠−12C. x<−12D. x≥−12

5. 如图所示在 △ABC 中，AB 边上的高线画法正确的是
A. B.
C. D.

6. 下列式子的变形正确的是
A. ba=b2a2B. a2+b2a+b=a+b
C. 2x−4y2x=x−2yxD. m−2nm=−2n

7. 下列说法正确的是
A. 无理数是开方开不尽的数B. 一个实数的绝对值总是正数
C. 不存在绝对值最小的实数D. 实数与数轴上的点一一对应

8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是 ．
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 一个均匀的正方体，6 个面中有 1 个面是黄色的、 2 个面是红色的、 3 个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是 ．

10. 如果三角形的三边长分别为 5，8，a，那么 a 的取值范围为 ．

11. 如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的 ∠1= ∘．

12. 将分式 2xy46x2y3 约分可得 ，依据为 ．

13. 若 x 表示实数 x 的整数部分，例如：3.5=3，则 17= ．

14. 如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，AB=AC，不添加新的线段和字母，要使 △ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．

15. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部 8 尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少?示意图如下图所示，设绳索 AC 的长为 x 尺，木柱 AB 的长用含 x 的代数式表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．

16. 有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
下面有四个推断：
①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是 40；
②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为 72∘；
③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的 10%；
④测试成绩为A或B等次的居民人数共 30 人．
所有合理推断的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图 1，直线 l 及直线 l 上一点 P．
求作：直线 PQ，使得 PQ⊥l．
作法：如图 2，
①以点 P 为圆心，任意长为半径作弧，交直线 l 于点 A，B；
②分别以点 A，B 为圆心，以大于 12AB 的同样长为半径作弧，两弧在直线 l 上方交于点 Q；
③作直线 PQ．
所以直线 PQ 就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：连接 QA，QB．
∵QA= ，PA= ，
∴PQ⊥l（ ）（填推理的依据）．

18. 计算：327−−42+1−π0．

19. 计算：312×32−8+232．

20. 解方程：xx+3=1+6x2−9．

21. 如图，△ABC 是等边三角形，D，E 分别是 BA，CB 延长线上的点，且 AD=BE．求证：AE=CD．

22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，请在图中画出 2 个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为 5，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．

23. 已知 a2+a=1，求代数式 a+1a+2−a2−3a2+4a+4÷a−1a+2 的值．

24. 关于 x 的分式方程 3x−mx+1=2 的解是负数，求满足条件的整数 m 的最大值．

25. 创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木 4800 棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多 20%，结果提前 4 天完成任务．求原计划每天植树的棵数．

26. 某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了 40 名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：
个数123456789101521人数1168114122112
请根据以上表格信息，解答如下问题：
（1）分析数据，补全表格信息．
平均数众数中位数6
（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．
（3）如果该区现有 8000 名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．

27. 如图，△ABC 中，AC=2AB=6，BC=33．AC 的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 D，E．
（1）求 BE 的长．
（2）延长 DE 交 AB 的延长线于点 F，连接 CF．若 M 是 DF 上一动点，N 是 CF 上一动点，请直接写出 CM+MN 的最小值为 ．

28. 如图 1，射线 AP∥BQ，分别作 ∠PAB，∠ABQ 的角平分线，这两条射线交于点 O，过点 O 作一条直线分别与射线 AP，直线 BQ 交于点 C，D（不与点 A，B 重合）．
（1）当 CD⊥AP 时．
①补全图 1．
②若 AC=a，BD=b，则 AB 的长为 （用含 a，b 的式子表示）．
（2）当 CD 与 AP 不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段 AB，AC，BD 之间的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. C【解析】A选项：太阳东升西落，但明天早上不一定能看到太阳，可能会阴天，故是随机事件，A错误．
B选项：成绩一直优秀的小华后天测试成绩不一定也优秀，是随机事件，故B错误．
C选项：能被 8 整除的数昰 8 的倍数，故一定是偶数，一定能被 2 整除，是必然事件，故C正确．
D选项：10 本书中随机抽取一本书是小说是随机事件，故D错误．
故选C．
4. D【解析】2x+1 在实数范围内有意义，
2x+1≥0，
∴x≥−12．
5. B
【解析】在 △ABC 中，AB 边上的高线画法正确的是B，故选：B．
6. C【解析】A选项：ba 的分母扩大 a 倍，分子扩大 b 倍，a 和 b 不一定相等，故A错误；
B选项：a2+b2a+b≠a+b，故B错误；
C选项：2x−4y2x=2x−2y2x=x−2yx，故C正确；
D选项：m−2nm≠−2n，故D错误．
7. D【解析】A选项：无理数包括无限循环小数，π，开方开不尽的数等，故A错误；
B选项：0 也是实数，0=0，故B错误；
C选项：绝对值最小的实数是 0，故C错误；
D选项：实数与数轴上的点一一对应，D正确．
8. B【解析】
还原后可得B正确，故选B．
第二部分
9. 12
【解析】骰子一共 6 个面，其中绿色的有 3 面，故绿色朝上的可能性是 36=12．
10. 3【解析】根据三角形三边可得 8−5 ∴311. 105
【解析】过 D 作 DG∥AB，
∴∠CDG=∠A=90∘，
∠CGD=∠B=60∘，
∵∠EDF=45∘，
∴∠FDG=45∘，
∴∠1=∠FDG+∠CGD=45∘+60∘=105∘ .
12. y3x，分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变
【解析】2xy46x2y3=26⋅xx2⋅y4y3=y3x；
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变．
13. 4
【解析】4<17<5，
故 17 的整数部分是 4，
∴17=4．
14. AE=AD，∠C=∠B，∠ADC=∠AEB，EC=BD，∠BDC=∠CEB 其中的一个
【解析】添加条件：AE=AD，
在 △ABE 和 △ACD 中，
AD=AE,∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABE≌△ACDSAS．
15. x−3，x−32+82=x2
【解析】x−3；
由题意可知 AB⊥BC，
由勾股定理可得 x−32+82=x2．
16. ①②④
【解析】①根据A等次可得 12÷30%=40（人），故样本容量是 40，故①正确；
② 8÷40=15，15×360∘=72∘，故②正确；
③B等次人数：40×45%=18（人），
D等次人数：40−12−18−8=2（人），
D等次人数占比：2÷40=120=5%，故③错误；
④ 12+18=30（人），故④正确；
∴ 所有合理推断的序号是①②④．
第三部分
17. （1） 补全的图形如下图所示．
（2） ∵QA=QB，PA=PB，
∴PQ⊥l（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．
18. 原式=3−4+1=0.
19. 原式=3×12×32−22+2×42=3×18−22+82=92−22+82=152.
20.
xx+3=1+6x+3x−3.
方程两边同乘 x+3x−3，
xx−3=x+3x−3+6x2−3x=x2−9+6−3x=−3x=1.
经检验，x=1 是原分式方程的解，
∴x=1．
21. ∵ 等边三角形 ABC，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60∘，
∴∠EBA=∠DAC=120∘．
在 △EBA 和 △DAC 中，
EB=DA,∠EBA=∠DAC,BA=AC,
∴△EBA≌△DACSAS，
∴AE=CD．
22. 4；
23. 原式=a+1a+2−a2−3a+22⋅a+2a−1=a+1a+2−a2−3a+2a−1=a+1a−1a+2a−1−a2−3a+2a−1=a2−1−a2−3a+2a−1=2a+2a−1=2a2+a−2.
∵a2+a=1，
∴原式=21−2=−2．
24. x+1≠0，即 x≠−1 时，
3x−m=2x+1，
3x−m=2x+2
x=m+2，
∵ 解是负数且 x≠−1，
∴m+2<0 且 m+2≠−1，
∴m<−2 且 x≠−3，
∵m 是整数，
∴m 最大值取 −4．
25. 设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树 1+20%x 棵，
4800x−48001+20%x=44800x−4000x=4800=4xx=200.
经检验，x=200 是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴ 原计划每天植树 200 棵．
26. （1） 5；5
【解析】在这组数据中，能做 5 个“引体向上”的人数最多，
所以众数为 5，
共随机抽取了 40 名学生，
所以中位数是排序后第 20 和第 21 个数据的平均数，
这两个数据均为 5，
所以中位数是 5．
（2） 用中位数或众数（5 个）作为合格标准较为合适，因为大部分同学都能达到 5 个．
（3） 该样本中合格人数共有：
2+1+1+2+2+1+4+11=24（人），
故可估计出该区八年级男生的合格人数为：
8000×2440=4800（人）．
27. （1） ∵AC=2AB=6，
∴AB=3，
∵BC=33，
∴ 在 △ABC 中，AB2+BC2=AC2，
∴△ABC 为直角三角形，且 ∠B=90∘，
连接 AE，
设 BE=x，
∴CE=33−x，
∵DE 是 AC 的垂直平分线，
∴AE=CE=33−x，
在 Rt△ABE 中，AB2+BE2=AE2，
∴32+x2=33−x2，
∴x=3 即 BE=3．
（2） 33
【解析】在 Rt△ABC 中，AC=2AB，
∴∠ACB=30∘，∠A=60∘，
∵DE 所在直线是 AC 的垂直平分线，
∴AD=CD，DF⊥AC，
在 △ADF 和 △CDF 中
AD=CD,∠ADF=∠CDF,DF=DF,
∴△ADF≌△CDFSAS，
∴∠FCD=60∘，
∴△ACF 是等边三角形，
∵∠ABC=90∘，
∴BC 是 AF 边的中线，
∵DE 是 AC 的垂直平分线，
∴AM=CM，
∴CM+MN=AM+MN，
当且仅当 A，M，N 三点共线，且 AN⊥CF 时，CM+MN 取得最小值，
当 AN⊥CF 时，AN=BC=33，
∴CM+MN 最小值为 33．
故答案为：33．
28. （1） ①如图所示．
② a+b
【解析】② ∵AO 平分 ∠PAB，BO 平分 ∠ABQ，
∴∠PAO=∠BAO=12∠PAB，∠QBO=∠ABO=12∠ABQ，
∵AP∥BQ，
∴∠PAB+∠ABQ=180∘，
∴∠BAO+∠ABO=12×180∘=90∘，
∴ 在 △AOB 中 ∠AOB=90∘，∠BOQ=90∘，
在 △BOA 和 △BOQ 中，
∠ABO=∠QBO,BO=BO,∠AOB=∠BOQ=90∘,
∴△BOA≌△BOQASA，
∴AB=QB，AO=QO，
∵AP∥BQ，CD⊥AP，
∴∠PAO=∠BQO，∠ACO=∠QDO，
在 △ACO 和 △QDO 中，
∠ACO=∠QDO,∠PAO=∠BQO,AO=QO,
∴△ACO≌△QDOAAS，
∴AC=QD=a，
∴AB=BQ=a+b．
（2） ∵AO 平分 ∠PAB，BO 平分 ∠ABQ，
∴∠PAO=∠BAO=12∠PAB，∠QBO=∠ABO=12∠ABQ，
∵AP∥BQ，
∴∠PAB+∠ABQ=180∘，
∴∠BAO+∠ABO=12×180∘=90∘，
∴ 在 △AOB 中 ∠AOB=90∘，∠BOQ=90∘，
在 △BOA 和 △BOQ 中，
∠ABO=∠QBO,BO=BO,∠AOB=∠BOQ=90∘,
∴△BOA≌△BOQASA，
∴AB=QB，AO=QO，
∵AP∥BQ，CD⊥AP，
∴∠PAO=∠BQO，∠ACO=∠QDO，
在 △ACO 和 △QDO 中，
∠ACO=∠QDO,∠PAO=∠BQO,AO=QO,
∴△ACO≌△QDOAAS，
∴AC=QD，
∴AB=BQ=AC+BD．