2019-2020学年北京东城区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京东城区八上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在国庆 70 周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009 m 微间距显示屏就是其中之一，数字 0.0009 用科学记数法表示应为
A. 9×10−4B. 9×10−3C. 0.9×10−3D. 0.9×10−4

2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. ma+b=ma+mbB. 3x2−3x+1=3xx−1+1
C. x2+3x+2=x+1x+2D. a+22=a2+4a+4

3. 如图是 3×3 的正方形网格，其中已有 2 个小方格涂成了黑色．现在要从编号为① − ④的小方格中选出 1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是
A. ①B. ②C. ③D. ④

4. 下列各式计算正确的是
A. 3a2⋅a−1=3aB. ab23=ab6
C. x−22=x2−4D. 6x8÷2x2=3x4

5. 对于任意的实数 x，总有意义的分式是
A. x−5x2−1B. x−3x2+1C. x2+18xD. 2x−1

6. 如图，△ABC 中，∠A=40∘，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则 ∠BEC 的大小为
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘

7. 若分式 2x−1x2+3 值为正数，则 x 需满足的条件是
A. x 为任意实数B. x12D. x>−12

8. 已知 △ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在 AB，AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点 M，点 M 一定在
A. ∠A 的平分线上B. AC 边的高上
C. BC 边的垂直平分线上D. AB 边的中线上

9. 如图，已知 ∠MON 及其边上一点 A．以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交 OM，ON 于点 B 和 C，再以点 C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点 B．错误的结论是
A. S△AOC=S△ABCB. ∠OCB=90∘C. ∠MON=30∘D. OC=2BC

10. 已知 OP 平分 ∠AOB，点 Q 在 OP 上，点 M 在 OA 上，且点 Q，M 均不与点 O 重合．在 OB 上确定点 N，使 QN=QM，则满足条件的点 N 的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 1 或 2 个D. 无数个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：a3−9a= ．

12. 已知 −2 是关于 x 的分式方程 x−kx+3=2x 的根，则实数 k 的为 ．

13. 如图，BE 与 CD 交于点 A，且 ∠C=∠D．添加一个条件： ，使得 △ABC≌△AED．

14. 如图，将长方形纸片，ABCD 折叠，使顶点 A，C 重合，折痕为 EF．若 ∠BAE=28∘，则 ∠AEF 的大小为 ∘．

15. 如图，等边 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，且 AD=4，E，P 分别是 AC，AD 上的动点，则 CP+EP 的最小值等于 ．

16. 我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了 a+bn （ n=1,2,3,4,5,6 ）的展开式（按 a 的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 a+b2=a2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第五行的五个数 1，4，6，4，1，恰好对应着 a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 展开式中各项的系数．
（1）a+b5 展开式中 a4b 的系数为 ；
（2）a+b7 展开式中各项系数的和 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：xx+2+3x−3．

18. 下面是小明设计的已知两线段及一角作三角形的尺规作图过程．
已知：线段 m，n 及 ∠O．
求作：△ABC，使得线段 m，n 及 ∠O 分别是它的两边和一角．
作法：如图，
①以点 O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交 ∠O 的两边于点 M，N；
②画一条射线 AP，以点 A 为圆心，m 长为半径画弧，交 AP 于点 B；
③以点 B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 D；
④画射线 AD；
⑤以点 A 为圆心，n 长为半径画弧，交 AD 于点 C；
⑥连接 BC，则 △ABC 即为所求作的三角形．
请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ．
（2）∠A=∠O 的作图依据是 ．
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 ．

19. 13−2−16+π−50+5−3．

20. 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAC=∠DAE，AD=AE，连接 BD，CE，∠ABD=∠ACE，求证：AB=AC．

21. 计算：m+nm−n+m−n2−4mm−n÷2m．

22. 解方程：x+1x−2−1=5x2−4．

23. 在三角形纸片 ABC 中，∠B=90∘，∠A=30∘，AC=4，点 E 在 AC 上，AE=3．将三角形制片按图 1 方式折叠，使点 A 的对应点 Aʹ 落在 AB 的延长线上，折痕为 ED，AʹE 交 BC 于点 F．
（1）求 ∠CFE 的度数．
（2）如图 2，继续将制片沿 BF 折叠，点 Aʹ 的对应点为 Aʺ，点 AʺF 交 DE 于点 G．求线段 DG 的长．

24. 如图，△ABC．
（1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O．不写作法，保留作图痕迹．
（2）分别以直线 AB，OC 为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上．若 AB=7.5，OC=4.5，∠A=45∘，写出点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标．
（3）在（2）的条件下，求 △ACD 的面积．

25. 先化简，再求值 a−2a2+2a−a−1a2+4a+4÷a−4a+2，其中 a 是满足 ∣a−3∣=3−a 的最大整数．

26. 列方程，解应用题：
第二届中国国际进口博览会于 2019 年 11 月 5 日至 10 日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的 270000 平方米增加到 330000 平方米．参展企业比首届多了约 300 家，参展企业平均展览面积增加了 12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．
（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．
设首届进博会企业平均展览面积为 x 平方米，把下表补充完整：
（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．

27. 在 ABC 中，AB>BC，直线 l 垂直平分 AC．
（1）如图 1，作 ∠ABC 的平分线交直线 l 于点 D，连接 AD，CD．
①补全图形．
②判断 ∠BAD 和 ∠BCD 的数量关系，并证明．
（2）如图 2，直线 l 与 ABC 的外角 ∠ABE 的平分线交于点 D，连接 AD，CD．
求证：∠BAD=∠BCD．

28. 对于 △ABC 及其边上的点 P，给出如下定义，如果点 M1，M2，M3，⋯⋯，Mn 都在 △ABC 的边上，且 PM1=PM2=PM3=⋯⋯=PMn，那么称点 M1，M2，M3，⋯⋯，Mn 为 △ABC 关于点 P 的等距点，线段 PM1，PM2，PM3，⋯⋯，PMn 为 △ABC 关于点 P 的等距线段．
（1）如图 1，△ABC 中，∠A0，
∴2x−1>0，
∴x>12．
故选C．
8. A【解析】连接 AM．
∵△MEF 和 △MPQ 是完全一样的直角三角板，
∴∠MEF=∠MPQ=90∘，ME=MP，
∴AM 平分 ∠BAC，
∴ 点 M 一定在 ∠BAC 的角平分线上．
9. D【解析】由题意，得：
AO=AC=AB=BC，
∴△ABC 为等边三角形，
∠O=∠OCA，
∴∠ACB=∠CAB=60∘，
又 ∠O+∠OCA=∠CAB，
∴∠MON=30∘，故C正确；
∠OCA=30∘，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=30∘+60∘=90∘，故B正确；
∵AO=AB，
∴S△AOC=S△ABC，故A正确；
不能判定 OC=2BC，故D错误．
10. C
【解析】①如图所示，当 QM⊥OA 时，
使 QM=QN，则只能有 1 个 N 点，且 QN⊥OB．
②如图所示，当 QM 与 OA 不垂直时，
QM>QD，则使 QM=QN 的有 2 个 N 点．
综上所述，满足条件的 N 有 1 个或 2 个点．
第二部分
11. aa+3a−3
【解析】原式=aa2−9=aa+3a−3.
12. 2
【解析】∵−2 是关于 x 的分式方程 x−kx+3=2x 的根，
∴−2−k−2+3=−4，
∴−2−k=−4，
∴k=2．
13. AC=AD 或 AB=AE 或 BC=DE
【解析】可以添加：AC=AD，
在 △ABC 和 △AED 中，
∠C=∠D,AC=AD,∠BAC=∠EAD,
∴△ABC≌△AEDASA，
也可以添加 AB=AE 或 BC=DE，
利用“AAS”证明 △ABC≌△AED．
14. 59
【解析】∵ 长方形 ABCD，
∴∠B=90∘，
∵∠BAE=28∘，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=90∘+28∘=118∘，
∵ 折叠，
∴∠AEF=∠FEC，
又 ∠AEF+∠FEC=∠AEC，
∴∠AEF=12∠AEC=12×118∘=59∘．
故答案为 59∘．
15. 4
【解析】连接 PB，
∵△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边的中线，
∴AD 垂直平分 BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
当且仅当 P，B，E 三点共线，且 BE⊥AC 时，PC+PE 取得最小值．
当 BE⊥AC 时，BE=AD=4，
∴PC+EP 的最小值为 4．
16. 5，128
第三部分
17. 原式=xx−3+3x+2x+2x−3=x2−3x+3x+6x+2x−3=x2+6x+2x−3.
18. （1） BD；MN
（2） 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
（3） 小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
19. 13−2−16+π−50+5−3=9−4+1+3−5=9−5.
20. ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，即 ∠BAD=∠CAE，
在 △BAD 和 △CAE 中，
∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAEAAS，
∴AB=AC．
21. m+nm−n+m−n2−4mm−n÷2m=m2−n2+m2−2mn+n2−4m2+4mn÷2m=−2m2+2mn÷2m=−m+n.
22.
x+1x+2−x2−4=5.x2+3x+2−x2+4=5.3x=−1.x=−13.
经检验：x=−13 是原方程的解．
∴x=−13．
23. （1） ∵∠A=30∘，
∴∠Aʹ=30∘．
∵∠AʹBF=90∘，
∴∠AʹFB=60∘．
∵∠CFE=∠AʹFB，
∴∠CFE=60∘．
（2） ∵ 点 A 于点 Aʹ 关于直线 DE 对称，
∴DE⊥AAʹ．
∵∠A=30∘，AE=3，
∴DE=12AE=32．
由（1）知，∠CFE=60∘．∠C=60∘，
∴△CFE 是等边三角形．
∴EF=CE=AC−AE=1．
同理，△EFG 也是等边三角形，
∴DG=DE−EG=12．
24. （1） 如图：
（2） 如图：
∵AB=7.5，OC=4.5，∠A=45∘，
又 ∵∠AOC=90∘，
∴∠OAC=∠OCA=45∘，
∴OA=OC=4.5，
∴OB=AB−OA=3，
∴B3,0，
∴ 点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标为 −3,0．
（3） ∵AD=AB−BD=7.5−2×3=1.5，
∴S△ADC=12AD⋅OC=12×32×92=278.
25. 原式=a−2aa+2−a−1a+22⋅a+2a−4=a2−4aa+22−aa−1aa+22⋅a+2a−4=a−4aa+22⋅a+2a−4=1a2+2a,
∵a 是满足 ∣a−3∣=3−a 的最大整数，
∴3−a≥0，
∴a≤3，
∴a=3，
∴ 原式 =115．
26. （1） 设首届进博会企业平均展览面积为 x 平方米，参展企业数量为 270000x，
则第二届进博会企业平均展览面积为 1+12.8%x，参展企业数量为 3300001+12.8%x．
表格如图所示：
（2） 依题意列方程为：270000x+300=3300001+12.8%x．
27. （1） ①补全图形：
②
过点 D 作 DE⊥AB 于 E，作 DF⊥BC 交 BC 的延长线于 F，
则 ∠AED=∠CFD=90∘．
∵BD 平分 ∠ABC，
∴DE=DF．
∵ 直线 l 垂直平分 AC，
∴DA=DC．
在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，
DA=DC,DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠BAD=∠FCD．
∵∠FCD+∠BCD=180∘，
∴∠BAD+∠BCD=180∘．
（2） 过点 D 作 DN⊥AB 于 N，作 DM⊥BE 于 M，
则 ∠AND=∠CMD=90∘．
∵BD 平分 ∠ABE，
∴DM=DN．
∵ 直线 l 垂直平分 AC，
∴DA=DC．
在 Rt△ADN 和 Rt△CDM 中，
DA=DC,DN=DM,
∴Rt△ADN≌Rt△CDM．
∴∠BAD=∠BCD．
28. （1） ①是；不是
②连接 AP，
∵AB=AC，P 为 BC 中点，
∴AP 平分 ∠BAC，
过 P 作 PM1⊥AB，
PM2⊥AC，
PM1，PM2 即所求．
【解析】①
∵P 是 BC 中点，
∴BP=CP，
∴B，C 是 △ABC 关于点 P 的等距点，
∵AB=AC，P 是 BC 中点，∠A