2021年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）2021的倒数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（4分）数据720000用科学记数法表示为（　　）
A．0.72×104 B．7.2×105 C．72×105 D．7.2×106
3．（4分）下面计算正确的是（　　）
A．a3•a3＝2a3 B．2a2+a2＝3a4
C．a9÷a3＝a3 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6
4．（4分）如图，若AB∥DE，∠B＝130°，∠D＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．80° B．85° C．90° D．95°
5．（4分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（　　）
A．14，5 B．14，6 C．5，5 D．5，6
6．（4分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
7．（4分）一个不透明的盒子中装有1个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）化简﹣x+1，得（　　）
A．﹣ B．﹣ C．2﹣x2 D．
9．（4分）如图，把直角坐标系放置在边长为1的正方形网格中，O是坐标原点，点A、B、C均在格点上，将△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C′，则点A′的坐标是（　　）

A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣1，5） D．（1，﹣5）
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
11．（4分）保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（　　）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）

A．18.3米 B．19.3米 C．20米 D．21.2米
12．（4分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（　　）

A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，）
13．（4分）分解因式：x3﹣25x＝　 　．
14．（4分）如果实数x、y满足方程组，那么x2﹣y2的值为　 　．
15．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是　 　．
16．（4分）如图，已知扇形的圆心角为150°，半径为1，那么该扇形的弧长为　 　．（结果保留π）

17．（4分）如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则两车相遇时距离C地还有　 　千米．

18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，P为平面内任意一点，CP＝1，连接PD，将线段PD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DQ，连接CQ，则DQ+3CQ的最小值为　 　．

三、解答题：（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣2cos45°﹣．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
21．（6分）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．

22．（8分）2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
（1）本次调查人数有　 　人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率．

23．（8分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°；以斜边AB上的一点O为圆心作圆O，与AC、BC分别相切与点D、E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝8，AB＝10；求AD的长．

24．（10分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F，
①请求出点F的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点．连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，求AF与AE之间的数量关系；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明（用含k的式子表示）；
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
27．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠PAC＝45°时，求m的值．


2021年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）2021的倒数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：2021的倒数是．
故选：C．
2．（4分）数据720000用科学记数法表示为（　　）
A．0.72×104 B．7.2×105 C．72×105 D．7.2×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：720000＝7.2×105．
故选：B．
3．（4分）下面计算正确的是（　　）
A．a3•a3＝2a3 B．2a2+a2＝3a4
C．a9÷a3＝a3 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6
【分析】直接根据同度数幂的运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可判断．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，计算错误；
B、2a2+a2＝3a2，计算错误；
C、a9÷a3＝a6，计算错误；
D、（﹣3a2）3＝﹣27a6，正确．
故选：D．
4．（4分）如图，若AB∥DE，∠B＝130°，∠D＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．80° B．85° C．90° D．95°
【分析】过C作CM∥AB，进而可证出AB∥CM∥DE，根据平行线的性质可得∠1+∠B＝180°，∠2＝∠D＝35°，进而可得∠BCD的度数．
【解答】解：过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CM∥DE，
∴∠1+∠B＝180°，∠2＝∠D＝35°，
∵∠B＝130°，
∴∠1＝50°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝85°，
故选：B．

5．（4分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（　　）
A．14，5 B．14，6 C．5，5 D．5，6
【分析】根据中位数、众数的意义，分别求出这组数据的中位数、众数后，再进行选择即可．
【解答】解：一周锻炼5小时出现的次数最多，是14人次，因此众数是5小时；
将这40人的锻炼时间从小到大排列后，处在第20、21位的两个数都是5小时，因此中位数是5小时；
故选：C．
6．（4分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠DOA＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，
故选：B．
7．（4分）一个不透明的盒子中装有1个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为＝，
故选：C．
8．（4分）化简﹣x+1，得（　　）
A．﹣ B．﹣ C．2﹣x2 D．
【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
【解答】解：﹣x+1
＝﹣（x﹣1）
＝﹣
＝
故选：D．
9．（4分）如图，把直角坐标系放置在边长为1的正方形网格中，O是坐标原点，点A、B、C均在格点上，将△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C′，则点A′的坐标是（　　）

A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣1，5） D．（1，﹣5）
【分析】利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
【解答】解：观察图象可知，A′（5，﹣1）．

故选：B．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致位置．
【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＞0，
由对称轴x＝﹣＞0，可知b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过一、三、四象限，
反比例函数y＝的图象在一、三象限．
故选：B．
11．（4分）保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（　　）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）

A．18.3米 B．19.3米 C．20米 D．21.2米
【分析】连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝40+4x（m），由三角函数定义得出EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），得出0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），解得x＝，求出DF、EF，即可得出答案．
【解答】解：连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，如图：
则DF＝BG，BF＝DG＝AD+AG，
∵AB＝斜坡AB的坡度i＝0.75＝，
∴设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝20+4x+20＝40+4x（m），
由题意得：∠EBF＝37°，∠ECF＝22°，
∵tan∠BEF＝＝，tan∠ECF＝＝，
∴EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），
∴0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），
解得：x＝，
∴DF＝BG＝3x＝（m），
EF＝0.40（40+4x）＝（m），
∴DE＝DF+EF＝+≈19.3（m）；
故选：B．

12．（4分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（　　）

A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【分析】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，）
13．（4分）分解因式：x3﹣25x＝　x（x+5）（x﹣5）　．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣25x，
＝x（x2﹣25），
＝x（x+5）（x﹣5）．
14．（4分）如果实数x、y满足方程组，那么x2﹣y2的值为　﹣　．
【分析】方程组中第二个方程整理后求出x+y的值，原式利用平方差公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：方程组整理得：，
则原式＝（x+y）（x﹣y）＝﹣，
故答案为：﹣
15．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是　6　．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得，n＝6．
故答案为：6．
16．（4分）如图，已知扇形的圆心角为150°，半径为1，那么该扇形的弧长为　π　．（结果保留π）

【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【解答】解：由题意可得，该扇形的弧长为：
＝π．
故答案为：π．
17．（4分）如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则两车相遇时距离C地还有　120　千米．

【分析】根据函数图象的实际意义分别求出汽车和摩托车的速度，再列方程求出相遇是时间，然后再列式求解即可．
【解答】解：摩托车比汽车晚到4﹣3＝1小时，因为汽车和摩托车分别从A，B两地去同一城市，从y轴上可看出A，B两地的路程为20km，
故汽车的速度为180÷3＝60（km/h）；
摩托车的速度为（180﹣20）÷4＝40（km/h）；
设出发x小时后两车相遇，根据题意得：
20+40x＝60x，
解得x＝1，
即出发1小时后两车相遇，
180﹣60＝120（km），
即两车相遇时距离C地还有120千米．
故答案为：120．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，P为平面内任意一点，CP＝1，连接PD，将线段PD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DQ，连接CQ，则DQ+3CQ的最小值为　　．

【分析】根据正方形的性质证明△QDA＝△PDC（SAS），得出点Q在以点A为圆心，1为半径的圆上运动，根据题意判断计算即可．
【解答】解：由题意可知DQ＝DP，∠QDP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADC﹣∠ADP＝∠QDP﹣∠ADP，
即∠QDA＝∠PDC，
∴△QDA≌△PDC（SAS），
∴QC＝PC＝1，
∴点Q在以点A为圆心，1为半径的圆上运动，
如图所示，在AD上取一点E，使AE＝，则＝＝，

∴△QAE∽△DAQ，
∴QE＝QD，DQ+CQ＝CQ+QE＞CE，
当Q位于Q′的位置时，DQ+CQ取得最小值CE，
∴CE＝＝＝，
∴DQ+3CQ＝3（DQ+CQ）的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣2cos45°﹣．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣3﹣2×+2
＝﹣1﹣3﹣+2
＝﹣2．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
∴不等式组的所有整数解为﹣1，0．
21．（6分）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．

【分析】由AB∥CD、EC∥BF知四边形BFCE是平行四边形、∠A＝∠D，从而得出∠AEG＝∠DFH、BE＝CF，结合AB＝CD知AE＝DF，根据ASA可得△AEG≌△DFH，据此即可得证．
【解答】证明：∵AB∥CD、EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，∠A＝∠D，
∴∠BEC＝∠BFC，BE＝CF，
∴∠AEG＝∠DFH，
∵AB＝CD，
∴AE＝DF，
在△AEG和△DFH中，
∵，
∴△AEG≌△DFH（ASA），
∴AG＝DH．
22．（8分）2020年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计图如图，根据图中信息回答问题：
（1）本次调查人数有　100　人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是　72°　；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率．

【分析】（1）样本中“在线阅读”的人数有25人，占调查人数的25%，可求出调查人数；再求出“在线答疑”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）画出树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出甲、乙两个人选择同一种方式的概率．
【解答】解：（1）25÷25%＝100（人），即本次调查人数有100人，
“在线答疑”的人数为100﹣40﹣25﹣15＝20（人），在扇形图中的圆心角度数为360°×＝72°；
故答案为：100，72°；
（2）补全条形统计图如图所示：

（3）四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用A、B、C、D表示，画树状图如图：

共有16个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有4个，
∴甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为＝．
23．（8分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°；以斜边AB上的一点O为圆心作圆O，与AC、BC分别相切与点D、E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝8，AB＝10；求AD的长．

【分析】（1）连接OD、OE，根据切线的性质、正方形的判定定理得到四边形OECD为正方形，根据正方形的性质证明结论；
（2）根据勾股定理求出BC，证明△AOD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD、OE，
∵AC、BC都与圆O相切，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，又∠C＝90°，
∴四边形OECD为矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形OECD为正方形，
∴CD＝CE；
（2）解：设圆O的半径为r，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，
∵OD⊥AC，∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，r＝，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣＝．

24．（10分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：+＝1100，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，
依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F，
①请求出点F的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式中，求出k，进而求出反比例函数解析式，进而求出n的值；
（2）①先求出直线AB的解析式，进而判断出OC＝OD，再利用折叠求出点F的横坐标，即可得出结论；
②设出点P的坐标，表示出PF2＝（m﹣4）2+（）2，PD2＝m2+42，DF2＝42+（﹣4）2，最后用勾股定理的逆定理建立方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点B（3，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴3n＝3，
∴n＝1；

（2）①由（1）知，n＝1，
∴B（3，1），设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∵点A（1，3），B（3，1）在直线AB上，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
令x＝0，则y＝4，
∴D（0，4），
∴OD＝4，
令y＝0，则﹣x+4＝0，
∴x＝4，
∴C（4，0），
∴OC＝4，
∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
由折叠知，∠OCD＝∠ECD＝45°，
∴∠OCE＝90°，
∴CE⊥x轴，
∴点F的横坐标为4，
∴y＝，
∴F（4，）；

②存在，理由：
假设存在，设P（m，0），
由①知，F（4，），D（0，4），
∴PF2＝（m﹣4）2+（）2，PD2＝m2+42，DF2＝42+（﹣4）2，
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，
∴DF2＝PF2+PD2，
∴42+（﹣4）2＝（m﹣4）2+（）2+m2+42，
∴m2﹣4m+3＝0，
∴m＝1或m＝3，
即在x轴上是存在点P，点P（1，0）或（3，0），使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点．连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，求AF与AE之间的数量关系；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明（用含k的式子表示）；
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（ASA），由全等三角形的性质得出AF＝AE；
（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质则可得出结论；
（3）①当点F在线段DC上时，求出AG长．由△ABE∽△ADF可求出AE．则可得出答案；
②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，同理可求出EG的长．
【解答】解：（1）AE＝AF．
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（ASA），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE．
（2）AF＝kAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∵AD＝kAB，
∴，
∴，
∴AF＝kAE．
（3）解：①如图1，当点F在线段DC上时，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴，
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝＝．
∵△ABE∽△ADF，
∴＝＝，
∴AE＝AF＝．
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝．
②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝5，
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴，
∴AE＝AF＝＝，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝，
综上所述，EG的长为或．
27．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠PAC＝45°时，求m的值．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△CED∽△AOC，则，即＝，即可求解；
（3）①当点P在x轴的上方时，证明△ACM为等腰直角三角形，利用AC＝CM，即可求解；②当点P在x轴的下方时，同理可解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+x﹣3①；

（2）过点D作DE⊥y轴于点E，
而直线l⊥AC，AO⊥y轴，

∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠OCA＝90°，
∴∠CDE＝∠OCA，
∵∠AOC＝∠CED＝90°，
∴△CED∽△AOC，则，
而点A、C的坐标分别为（﹣6，0）、（0，﹣3），则AO＝6，OC＝3，设点D（x，x2+x﹣3），
则DE＝﹣x，CE＝﹣x2﹣x，
则＝，解得x＝0（舍去）或﹣1，
当x＝﹣1时，y＝x2+x﹣3＝﹣5，
故点D的坐标为（﹣1，﹣5）；

（3）①当点P在x轴的上方时，
由点C、D的坐标得，直线l的表达式为y＝2x﹣3，

延长AP交直线l于点M，设点M（t，2t﹣3），
∵∠PAC＝45°，直线l⊥AC，
∴△ACM为等腰直角三角形，则AC＝CM，
则62+32＝（t﹣0）2+（2t﹣3+3）2，解得t＝3，
故点M的坐标为（3，3），
由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为y＝x+2②，
联立①②并解得x＝﹣6（舍去）或，
故点P的横坐标m＝；
②当点P在x轴的下方时，
同理可得x＝﹣6（舍去）或x＝﹣5，
故m＝﹣5，
综上，m＝﹣5或．