2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷，共27页。
2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷
一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑．
1．（3分）下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围为（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠±1
3．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
4．（3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．x2+3x﹣4＝x（x+3）﹣4 D．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3•a3＝2a3 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣3）﹣2＝﹣9 D．（3a3）2＝9a6
6．（3分）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．五边形 C．四边形 D．六边形
7．（3分）下列各式与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（　　）

A．74° B．69° C．65° D．60°
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为（　　）

A．4 B．13 C．6.5 D．7
10．（3分）对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（3）＝＝，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2019）+f（2020）的值为（　　）
A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．
11．（3分）当分式的值为0时，x的值为　 　．
12．（3分）把0.00002用科学记数法表示为　 　．
13．（3分）计算：＝　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为　 　cm．

15．（3分）贾老师用四个大小、形状完全相同的小长方形围成了一个大正方形，如果大正方形的面积为3，且m＝3n，那么图中阴影部分的面积是　 　．

16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，点E为对角线AC与BD的交点，∠AEB＝70°，若∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD，则∠ACD＝　 　°．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）计算：（1）（a﹣4）（a+1）；
因式分解：（2）ax2+2axy+ay2．
18．（8分）分解因式：
（1）x2﹣9；
（2）ax2+2axy+ay2．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝5．
20．（8分）如图，在7×5的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（2，3）、B（2，﹣1）、C（5，3）都是格点，且BC＝5，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）①画△ABC的角平分线AE；
②画△ABC的中线AD；
（2）画△ABC的角平分线CF；
（3）画到直线AB，BC，AC的距离相等的格点P，并写出点P坐标　 　．

21．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F．
（1）如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝4，求BC的长．

22．（10分）某工厂制作A、B两种产品，已知用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60%的原材料．
（1）求制作每个A种产品、B种产品各用多少千克原材料？
（2）如果制作A、B两种产品的原材料共270千克，要求制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍，求应最多安排多少千克原材料制作A种产品？（不计材料损耗）．
23．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝5，D为直线BC上一动点，以AD为边作等边△ADE（A，D，E三点逆时针排列），连接CE．
（1）如图1，若D为BC中点，求证：AE＝CE；
（2）如图2，试探究AE与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接BE，在D点运动的过程中，当BE最小时，则线段CD的长为　 　．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：a2﹣12a+36+|b﹣6|＝0．

（1）求∠ABO的度数；
（2）点M为AB的中点，等腰Rt△ODC的腰CD经过点M，∠OCD＝90°，连接AD．
①如图1，求证：AD⊥OD；
②如图2，取BO的中点N，延长AD交NC的延长线于点P，若点P的横坐标为t，请用含t的代数式表示四边形ADCO的面积．

2020-2021学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑．
1．（3分）下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）使分式有意义的x的取值范围为（　　）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x≠±1
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0．
解得：x≠﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于零是解题的关键．
3．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
【分析】利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣3，2）关于x轴的对称点为A′，
∴A′点的坐标为：（﹣3，﹣2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
4．（3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．x2+3x﹣4＝x（x+3）﹣4 D．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，即可作出判断．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是因式分解，故此选项符合题意；
C、没把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、没把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3•a3＝2a3 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣3）﹣2＝﹣9 D．（3a3）2＝9a6
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，故此选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
C、（﹣3）﹣2＝，故此选项错误；
D、（3a3）2＝9a6，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．五边形 C．四边形 D．六边形
【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°，
解得：n＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．
7．（3分）下列各式与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（　　）

A．74° B．69° C．65° D．60°
【分析】连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而可得∠DAC＝∠C，由等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝74°，由外角的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：如图，连接AD，

∵边AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，
∴CD＝AB，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝74°，
∴∠C＝37°，
∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠BAD＝∠ADE＝60°，DE＝3，AB＝10，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则AD的长为（　　）

A．4 B．13 C．6.5 D．7
【分析】由∠BAD＝∠D＝60，延长DE交AB于F，作出等边三角形，由CA＝CB，CE平分∠ACB，结合等腰三角形“三线合一”，延长CE交AB于G，然后解直角三角形GEF．
【解答】
解：延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，
∵∠BAD＝∠D＝60，
∴AF＝DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，∠AFD＝60°，
∵CA＝CB，CE平分∠ACB，
∴CG⊥AB，即∠CGB＝90°，AG＝，
设AD＝AF＝DF＝a，
在Rt△GEF中，∠AFD＝60°，EF＝DF﹣DE＝a﹣3，
∴GF＝EF•cos∠AFD＝（a﹣3）•cos60°＝（a﹣3），
由AF﹣GF＝AG得，
a﹣（a﹣3）＝5，
∴a＝7，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，补出等边三角形和等腰三角形的“三线合一”．
10．（3分）对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（3）＝＝，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2019）+f（2020）的值为（　　）
A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5
【分析】根据已知规定，可得f（x）+f（）＝1；进而可以解决问题．
【解答】解：∵f（3）＝＝，f（）＝＝，
∴f（3）+f（）＝1；
f（4）＝＝，f（）＝＝，
∴f（4）+f（）＝1；
…，
∴f（x）+f（）＝1；
则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2019）+f（2020）
＝1+1+1+…+1+0.5
＝2019.5．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．
11．（3分）当分式的值为0时，x的值为　2　．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣2＝0且2x+1≠0．
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
12．（3分）把0.00002用科学记数法表示为　2×10﹣5　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00002＝2×10﹣5，
故答案为2×10﹣5：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（3分）计算：＝　1　．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为　15　cm．

【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【解答】解：∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，
∴AB＝2AC＝10（cm），
∵AP+CP＝AP+BP＝AB＝10cm，
∴△ACP的周长最小值＝AC+AB＝15（cm），
故答案为：15；

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
15．（3分）贾老师用四个大小、形状完全相同的小长方形围成了一个大正方形，如果大正方形的面积为3，且m＝3n，那么图中阴影部分的面积是　　．

【分析】由大正方形的面积为3，可得（m+n）2＝3，再根据m＝3n，求出m、n的值，最后由拼图可得阴影部分的正方形的边长为（m﹣n），进而求出面积．
【解答】解：由题意得，（m+n）2＝3，m＝3n，
解得，m＝，n＝（取正值），
阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，其面积为（m﹣n）2＝（﹣）2＝，
故答案为：．
【点评】考查完全平方公式的几何背景，正确表示大小正方形的面积是解决问题的关键．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，点E为对角线AC与BD的交点，∠AEB＝70°，若∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD，则∠ACD＝　80　°．

【分析】设∠CBD＝x，由题意得：∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD＝4x，由等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x，求得∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°，在BD上取一点F使BF＝BA，延长AF交BC的延长线于点G，连接DG，推出△ABF是等边三角形，根据全等三角形的选择得到FD＝FG，连接CF，根据等腰三角形的性质得到∠BFC＝，于是得到结论．
【解答】解：设∠CBD＝x，
由题意得：∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD＝4x，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°，
∴3x+90°﹣2x+70°＝180°
∴x＝20°，
∴∠CBD＝20°，∠ADB＝40°，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°，
在BD上取一点F使BF＝BA，延长AF交BC的延长线于点G，连接DG，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠BAF＝∠AFB＝60°，
∵∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝80°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝20°，
∴∠DAF＝∠CBD＝∠CBF，
在△ADF和△BGF中，
，
∴△ADF≌△BGF（ASA），
∴FD＝FG，
∵∠DFG＝∠AFB＝60°，
∴△DFG是等边三角形，
∴DF＝DG，
连接CF，
∴△BCF为等腰三角形，
∴∠BFC＝，
∴∠CFG＝180°﹣∠AFB﹣∠BFC＝40°，
∵∠CGF＝∠BFA﹣∠DBC＝40°，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴CF＝CG，
∵DF＝DG，DC＝DC，
∴△DFC≌△DGC，
∴∠FDC＝∠GDC＝＝30°，
∵∠DEC＝∠AEB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DEC﹣∠FDC＝80°，
故答案为：80．

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据三角形的内角和和等腰三角形的性质解答．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）计算：（1）（a﹣4）（a+1）；
因式分解：（2）ax2+2axy+ay2．
【分析】（1）直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接提取公因式a，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4a+a﹣4
＝a2﹣3a﹣4；

（2）原式＝a（x2+2xy+y2）
＝a（x+y）2．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式、提取公因式法、公式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）分解因式：
（1）x2﹣9；
（2）ax2+2axy+ay2．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝a（x2+2xy+y2）
＝a（x+y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝5．
【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝﹣2（3+x）
＝﹣6﹣2x，
当x＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8分）如图，在7×5的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，如A（2，3）、B（2，﹣1）、C（5，3）都是格点，且BC＝5，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）①画△ABC的角平分线AE；
②画△ABC的中线AD；
（2）画△ABC的角平分线CF；
（3）画到直线AB，BC，AC的距离相等的格点P，并写出点P坐标　（3，2）和（﹣1，0）　．

【分析】（1）①利用网格特点作∠BAC的平分线得到AE；
②利用网格特点确定BC的中点D，从而得到中线AD；
（2）以C为顶点作腰为5的等腰三角形，通过作出底边上的中线得到角平分线CF；
（3）CF和AE的交点为P点或射线CF与∠BAC的邻补角的平分线的交点为P点．
【解答】解：（1）①如图，AE为所求；
②如图，AD为所求；
（2）如图，CF为所求；
（3）如图，到直线AB，BC，AC的距离相等的格点P有两个，是P1 和 P2，其坐标分别是
P1 （3，2）和P2 （﹣1，0）．

故答案为（3，2）和（﹣1，0）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
21．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F．
（1）如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝4，求BC的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD，得到∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，推出∠BCA＝90°，于是得到△ABC为直角三角形；
（2）如图2，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．于是得到∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，求得∠BCG＝∠G，根据等式的性质得到AG＝BC，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AE＝AC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CDF＝90°，
∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD，
又∵∠BAC＝2∠B，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B，
∵∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，
∴∠BAF＝∠B＝∠CAD＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCA＝90°，
即△ABC为直角三角形；

（2）如图2，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．

则：∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，
又∵∠BAF＝∠B，
∴∠BCG＝∠G，
∴CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，
∴AG＝BC，
在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，
∴AG＝2AD＝2DG，
∴BC＝2AD，
∵AD＝4，
∴BC＝2AD＝8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）某工厂制作A、B两种产品，已知用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60%的原材料．
（1）求制作每个A种产品、B种产品各用多少千克原材料？
（2）如果制作A、B两种产品的原材料共270千克，要求制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍，求应最多安排多少千克原材料制作A种产品？（不计材料损耗）．
【分析】（1）设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料，由题意：用8千克原材料制成A种产品的个数比制成B种产品的个数少1个，列出分式方程，解方程即可；
（2）设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）克原材料制作B种产品，由题意：要求制作B种产品的数量不少于A种产品数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设制作1个B种产品需要x千克原材料，则制作1个A种产品需要（1+60%）x千克原材料，
依题意有：，
解得：x＝3，
经检验，x＝3为原方程的解，
制作1个A种产品需要千克原材料为：（1+60%）x＝4.8，
答：制作1个B种产品需要3千克原材料，则制作1个A种产品需要4.8千克原材料；
（2）设应安排y千克原材料制作A种产品，安排（270﹣y）克原材料制作B种产品，
由题意得：，
解得：y≤120，
答：应最多安排120千克原材料制作A种产品，安排150克原材料制作B种产品．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
23．（10分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝5，D为直线BC上一动点，以AD为边作等边△ADE（A，D，E三点逆时针排列），连接CE．
（1）如图1，若D为BC中点，求证：AE＝CE；
（2）如图2，试探究AE与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接BE，在D点运动的过程中，当BE最小时，则线段CD的长为　　．

【分析】（1）先证△ABD是等边三角形，得∠ADB＝60°，再证△CDE是等边三角形，得CE＝DE，即可得出结论；
（2）取BC中点为O，连接AO、EO，先证△ABO是等边三角形，得AB＝AO，∠BAO＝∠AOB＝60°，再证△BAD≌△OAE（SAS），得∠AEO＝∠ADO，则A、O、D、E四点共圆，然后由圆周角定理得∠AOE＝∠ADE＝60°，则∠EOD＝60°，得∠EOD＝∠ABO，证出AB∥OE，进而得出结论；
（3）由（2）得：点E的轨迹是AC的垂直平分线OE，当BE最小时，BE⊥OE，证出∠OBE＝30°，则OE＝OB＝BC＝，在直线OE的左侧取点F，使EF＝OA，连接DF，再证△DAO≌△DEF（SAS），得∠DFO＝∠DOA＝60°，则△ODF是等边三角形，得OF＝OD，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，D为BC中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠BCA＝30°，
∴∠ABD＝∠DAB＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AE＝AD＝DE，
∴CD＝DE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∴AE＝CE；
（2）解：AE与CE的数量关系为：AE＝CE，理由如下：
取BC中点为O，连接AO、EO，如图2所示：
∵∠BAC＝90°，O为BC中点，
∴AO＝BO，
∵∠BCA＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝AO，∠BAO＝∠AOB＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°，
∴∠BAO＝∠DAE，
∴∠BAO+∠OAD＝∠DAE+∠OAD，
即：∠BAD＝∠OAE，
在△BAD和△OAE中，
，
∴△BAD≌△OAE（SAS），
∴∠AEO＝∠ADO，
∴A、O、D、E四点共圆，
∴∠AOE＝∠ADE＝60°，
∴∠EOD＝180°﹣∠AOE﹣∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EOD＝∠ABO，
∴AB∥OE，
∵∠BAC＝90°，
∴OE⊥AC，
∵O是BC的中点，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE；
（3）解：取BC中点为O，
∵∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝5，
∴AO＝OC＝5，BC＝2AB＝10，
由（2）得：点E的轨迹是AC的垂直平分线OE，如图3所示：
当BE最小时，BE⊥OE，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，OE⊥AC，
∴∠BOE＝∠AOC＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OE＝OB＝BC＝，
在直线OE的左侧取点F，使EF＝OA，连接DF，
∵∠DAO＝∠DAE+∠EAO＝60°+∠EAO，∠DEF＝180°﹣∠DEA﹣∠AEO＝180°﹣60°﹣（60°﹣∠EAO）＝60°+∠EAO，
∴∠DAO＝∠DEF，
在△DAO和△DEF中，
，
∴△DAO≌△DEF（SAS），
∴∠DFO＝∠DOA＝60°，
∴△ODF是等边三角形，
∴OF＝OD，
即：OD＝OF＝OE+EF＝OE+OA＝+5＝，
∴CD＝OD+OC＝+5＝，
故答案为：．


【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、四点共圆和直角三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：a2﹣12a+36+|b﹣6|＝0．

（1）求∠ABO的度数；
（2）点M为AB的中点，等腰Rt△ODC的腰CD经过点M，∠OCD＝90°，连接AD．
①如图1，求证：AD⊥OD；
②如图2，取BO的中点N，延长AD交NC的延长线于点P，若点P的横坐标为t，请用含t的代数式表示四边形ADCO的面积．
【分析】（1）由非负数的性质求出a＝6，b＝6，由等腰直角三角形的性质可得出答案；
（2）①连接OM，过点M作MH⊥CD交OD于点H．证明△ADM≌△OHM（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADM＝∠OHM＝135°，可得出∠ADO＝90°，则可得出结论；
②在OC上截取OQ＝CM，连接QN，OM，MN，OP．证明△ONQ≌△MNC（SAS），由全等三角形的性质得出QN＝CN，∠ONQ＝∠MNC，证得OD∥NP，由此得出S△DCO＝S△DPO，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵a2﹣12a+36+|b﹣6|＝0．
∴（a﹣6）2+|b﹣6|＝0，
又∵（a﹣6）2≥0，|b﹣6|≥0，
∴a＝6，b＝6，
∴AO＝OB＝6，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°；

（2）①证明：如图1，连接OM，过点M作MH⊥CD交OD于点H．

∵△AOB为等腰直角三角形，M为AB的中点，
∴OM⊥AB，OM＝AM＝BM，
∵△ODC为等腰直角三角形，∠OCD＝90°，
又∵MH⊥CD，
∴∠DMH＝90°，
则∠MDH＝∠MHD＝45°，
∴MD＝MH，∠MHO＝135°，
∴∠DMA＝∠HMO，
在△ADM和△OHM中，
，
∴△ADM≌△OHM（SAS），
∴∠ADM＝∠OHM＝135°，
又∵∠MDH＝45°，
∴∠ADO＝90°，
∴AD⊥OD；

②如图2，在OC上截取OQ＝CM，连接QN，OM，MN，OP．

在等腰Rt△OMB中，
∵N为BO的中点，
∴MN⊥OB，MN＝ON＝BN，
∴∠MNO＝∠DCO＝90°，
∴∠NOQ＝∠NMC，
在△NOQ和△NMC中，
，
∴△ONQ≌△MNC（SAS），
∴QN＝CN，∠ONQ＝∠MNC，
∴∠ONM＝∠QNC＝90°，
∴∠NQC＝∠NCQ＝45°，∠OQN＝∠MCN＝∠ADM＝135°，
∴∠NQC＝∠CDP＝∠DCP＝45°，
∴∠NPA＝∠ODA＝90°，
∴OD∥NP，
∴S△DCO＝S△DPO，
∴S四边形ADCO＝S△ADO+S△ODC＝S△ADO+S△DOP＝S△APO，
又∵点P的横坐标为t，OA＝6，
∴S四边形ADCO＝×6×t＝3t．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形判定与性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，坐标与图形的性质，四边形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
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