2022版高考数学大一轮复习作业本50《曲线与方程》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本50《曲线与方程》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
方程(x2＋y2－2x)eq \r(x＋y－3)=0表示的曲线是( )
A.一个圆和一条直线
B.一个圆和一条射线
C.一个圆
D.一条直线
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3).若点C满足eq \(OC,\s\up15(→))=λ1eq \(OA,\s\up15(→))＋λ2eq \(OB,\s\up15(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B.若△ABP为正三角形，
则点P的轨迹为( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足eq \(OC,\s\up15(→))=λ1eq \(OA,\s\up15(→))＋λ2eq \(OB,\s\up15(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
动点P(x，y)满足 SKIPIF 1 < 0 =|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1(x＞3) D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1(x＞4)
已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且|OD|=|BE|，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是( )
A.y=x(1－x)(0≤x≤1) B.x=y(1－y)(0≤y≤1)
C.y=x2(0≤x≤1) D.y=1－x2(0≤x≤1)
已知圆M：(x＋eq \r(5))2＋y2=36，定点N(eq \r(5)，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足Neq \(P,\s\up15(→))=2 Neq \(Q,\s\up15(→))，Geq \(Q,\s\up15(→))·Neq \(P,\s\up15(→))=0，则点G的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,31)=1 C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)=1 D.eq \f(x2,36)－eq \f(y2,31)=1
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A－B－C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是( )

已知点F(0,1)，直线l：y=－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，
且eq \(QP,\s\up15(→))·eq \(QF,\s\up15(→))=eq \(FP,\s\up15(→))·eq \(FQ,\s\up15(→))，则动点P的轨迹C的方程为( )
A.x2=4y B.y2=3x C.x2=2y D.y2=4x
过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是( )
A.y=－1 B.y=－2 C.y=x－1 D.y=－x－1
二、填空题
已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)，
则动点P的轨迹C的方程为__________.
已知圆的方程为x2＋y2=4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________.
P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，eq \(OQ,\s\up15(→))=eq \(PF1,\s\up15(→))＋eq \(PF2,\s\up15(→))，
则动点Q的轨迹方程是 .
在△ABC中，A为动点，B，C为定点，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0))(a＞0)，且满足条件sin C－sin B=eq \f(1,2)sin A，则动点A的轨迹方程是________.
\s 0 参考答案
答案为：D
解析：题中的方程等价于①x＋y－3=0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,x2＋y2－2x＝0.))
注意到圆x2＋y2－2x=0上的点均位于直线x＋y－3=0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x=0上的点均不满足x＋y－3≥0，故②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3=0.
答案为：B
解析：设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|=2a＞2c，
所以|PF1|＋|PO|=eq \f(1,2)(|MF1|＋|MF2|)=a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.
答案为：A
解析：设C(x，y)，因为eq \(OC,\s\up15(→))=λ1eq \(OA,\s\up15(→))＋λ2eq \(OB,\s\up15(→))，
所以(x，y)=λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(y＋3x,10).,λ2＝\f(3y－x,10)，))
又λ1＋λ2=1，所以eq \f(y＋3x,10)＋eq \f(3y－x,10)=1，即x＋2y=5.所以点C的轨迹为直线.故选A.
答案为：D
解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，
∵△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d=eq \f(\r(3),2)R，即|x|=eq \f(\r(3),2)R.
而R=|PF|=eq \r(x－a2＋y2)，∴|x|=eq \f(\r(3),2)·eq \r(x－a2＋y2)，
整理得(x＋3a)2－3y2=12a2，即eq \f(x＋3a2,12a2)－eq \f(y2,4a2)=1，
∴点P的轨迹为双曲线.故选D.
答案为：A.
解析：设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up15(→))=(x，y)，eq \(OA,\s\up15(→))=(3,1)，eq \(OB,\s\up15(→))=(－1,3).
∵eq \(OC,\s\up15(→))=λ1eq \(OA,\s\up15(→))＋λ2eq \(OB,\s\up15(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(3x＋y,10)，,λ2＝\f(3y－x,10)，))
又λ1＋λ2=1，∴x＋2y－5=0，表示一条直线.
答案为：B.
解析：设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11=0，则|PF|= SKIPIF 1 < 0 ，
点P到直线l的距离d=eq \f(|3x＋4y－11|,5).由已知得eq \f(|PF|,d)=1，
但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线.选D.
答案为：C；
解析：如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，
所以|CA|－|CB|=8－2=6＜10=|AB|.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1(x＞3).
答案为：A；
解析：设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋eq \f(y,λ)=1(0≤x≤1)，
线段OE的方程为y=(1－λ)x(0≤x≤1)，联方方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,λ)＝1，0≤x≤1，,y＝1－λx，0≤x≤1))
(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y=x(1－x)(0≤x≤1).
答案为：A；
解析：由Neq \(P,\s\up15(→))=2 Neq \(Q,\s\up15(→))，Geq \(Q,\s\up15(→))·Neq \(P,\s\up15(→))=0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，
∴|GN|=|GP|，∴|GM|＋|GN|=|MP|=6＞2eq \r(5)，
∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a=6,2c=2eq \r(5)，∴b2=4，
∴点G的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1，故选A.
答案为：D；
解析：当P沿AB运动时，x=1，设P′(x′，y′)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2y，,y′＝1－y2))(0≤y≤1)，
故y′=1－eq \f(x′2,4)(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时，y=1，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝x2－1))(0≤x≤1)，所以y′=eq \f(x′2,4)－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，
由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.
答案为：A
解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1).
∵eq \(QP,\s\up15(→))·eq \(QF,\s\up15(→))=eq \(FP,\s\up15(→))·eq \(FQ,\s\up15(→))，∴(0，y＋1)·(－x,2)=(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)=x2－2(y－1)，整理得x2=4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
答案为：A.
解析：抛物线的焦点为F(0,1)，设l：y=kx＋1，代入x2=4y得x2=4kx＋4，
即x2－4kx－4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=4k，x1x2=－4.
将y=eq \f(1,4)x2求导得y′=eq \f(1,2)x，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l1：y－y1＝\f(1,2)x1x－x1，,l2：y－y2＝\f(1,2)x2x－x2，))
由x2=4y得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l1：y＋y1＝\f(1,2)x1x，,l2：y＋y2＝\f(1,2)x2x，))两方程相除得eq \f(y＋y1,y＋y2)=eq \f(x1,x2)，
变形整理得y=eq \f(x1y2－x2y1,x2－x1)=eq \f(x1x2x2－x1,4x2－x1)=－1，所以交点P的轨迹方程是y=－1.
答案为：x2－eq \f(y2,λ)=1(λ≠0，x≠±1).
解析：由题意知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，
所以kPM·kPN=eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)=λ，整理得x2－eq \f(y2,λ)=1(λ≠0，x≠±1)，
即动点P的轨迹C的方程为x2－eq \f(y2,λ)=1(λ≠0，x≠±1).
答案为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1(y≠0).
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，
则|AA1|＋|BB1|=2|OO1|=4.由抛物线定义，得|AA1|＋|BB1|=|FA|＋|FB|，
∴|FA|＋|FB|=4.
故点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，
所以抛物线的焦点的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1(y≠0).
答案为：eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)=1.
解析：如图，由eq \(OQ,\s\up15(→))=eq \(PF1,\s\up15(→))＋eq \(PF2,\s\up15(→))，又eq \(PF1,\s\up15(→))＋eq \(PF2,\s\up15(→))=eq \(PM,\s\up15(→))=2eq \(PO,\s\up15(→))=－2eq \(OP,\s\up15(→))，
设Q(x，y)，则eq \(OP,\s\up15(→))=－eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up15(→))=－eq \f(1,2)(x，y)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)，－\f(y,2)))，
即P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)，－\f(y,2)))，又P在椭圆上，则有eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))2,b2)=1，即eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)=1.
答案为：eq \f(16x2,a2)－eq \f(16y2,3a2)=1(x＞0且y≠0).
解析：由正弦定理得eq \f(|AB|,2R)－eq \f(|AC|,2R)=eq \f(1,2)×eq \f(|BC|,2R)，即|AB|－|AC|=eq \f(1,2)|BC|，
故动点A是以B，C为焦点，eq \f(a,2)为实轴长的双曲线的右支，
即动点A的轨迹方程为eq \f(16x2,a2)－eq \f(16y2,3a2)=1(x＞0且y≠0).