2022版高考数学大一轮复习作业本49《抛物线》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本49《抛物线》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是( )
A.2 B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A.(0，a) B.(a,0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16a))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
直线l过抛物线y2=－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A.y2=－12x B.y2=－8x C.y2=－6x D.y2=－4x
设抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若△QAF的面积为2，则点P的坐标为( )
A.(1,2)或(1，－2) B.(1,4)或(1，－4) C.(1,2) D.(1,4)
如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，
若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为( )
A.y2=eq \f(3,2)x B.y2=3x C.y2=eq \f(9,2)x D.y2=9x
设F为抛物线y2=2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点.若F为△ABC的重心，
则|eq \(FA,\s\up15(→))|＋|eq \(FB,\s\up15(→))|＋|eq \(FC,\s\up15(→))|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=eq \f(1,2)|AB|，
则点A到抛物线C的焦点的距离为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(7,5) C.eq \f(9,7) D.2
已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,0) D.(2,0)
已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于( )
A.eq \f(7π,12) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
已知抛物线y2=2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A.y2=4x B.y2=－4x C.y2=8x D.y2=－8x
已知圆C：(x－5)2＋(y－eq \f(1,2))2=8，抛物线E：x2=2py(p>0)上两点A(－2，y1)与B(4，y2)，
若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的准线方程为( )
A.x=－eq \f(1,2) B.y=－1 C.y=－eq \f(1,2) D.x=－1
已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A.2eq \r(5)－1 B.2eq \r(5)－2 C.eq \r(17)－1 D.eq \r(17)－2
二、填空题
已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，
当∠AFO=30°(O为坐标原点)时，|PF|=________.
已知抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，圆M的方程为x2＋y2＋8x＋12=0，如果抛物线C的准线与圆M相切，那么p的值为__________.
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k=－eq \r(3)，则线段PF的长为 .
如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2=2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10=5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|= .
\s 0 参考答案
答案为：C
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1＋x2＋p=4.又p=1，所以x1＋x2=3.
所以点C的横坐标是eq \f(x1＋x2,2)=eq \f(3,2).
答案为：C
解析：将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=eq \f(1,4a)y(a≠0)，所以焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16a))).故选C.
答案为：B.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|=－(x1＋x2)＋p=8.
又AB的中点到y轴的距离为2，∴－eq \f(x1＋x2,2)=2，∴x1＋x2=－4，∴p=4，
∴所求抛物线的方程为y2=－8x.故选B.
答案为：A.
解析：设点P的坐标为(x0，y0).因为△QAF的面积为2，
所以eq \f(1,2)×2×|y0|=2，即|y0|=2，所以x0=1，所以点P的坐标为(1,2)或(1，－2).
答案为：B.
解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|=a，则|BC|=2a，由抛物线的定义得，|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，因为|AE|=|AF|=3，|AC|=3＋3a，2|AE|=|AC|，
所以6=3＋3a，从而得a=1，
因为BD∥FG，所以eq \f(|DB|,|FG|)=eq \f(|BC|,|FC|).即eq \f(1,p)=eq \f(2,3)，解得p=eq \f(3,2)，因此抛物线方程为y2=3x.
答案为：C
解析：由题意可设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
x1＋x2＋x3=3×eq \f(1,2)=eq \f(3,2)，
则|eq \(FA,\s\up15(→))|＋|eq \(FB,\s\up15(→))|＋|eq \(FC,\s\up15(→))|=(x1＋eq \f(1,2))＋(x2＋eq \f(1,2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,2)))=(x1＋x2＋x3)＋eq \f(3,2)=eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)=3.故选C.
答案为：A
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x=－2的垂线，
垂足分别为点D，E.∵|PA|=eq \f(1,2)|AB|，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x1＋2＝x2＋2，,3y1＝y2.))
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))解得x1=eq \f(2,3)，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋eq \f(2,3)=eq \f(5,3).
答案为：A.
解析：由抛物线x2=2py(p>0)的准线为y=－eq \f(p,2)=－1，得p=2，
故所求抛物线的焦点坐标为(0,1).
答案为：B；
解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=－1，
由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4，所以点P的坐标为(3,2eq \r(3))，
因此点A的坐标为(－1,2eq \r(3))，所以kAF=eq \f(2\r(3)－0,－1－1)=－eq \r(3)，
所以直线AF的倾斜角等于eq \f(2π,3)，故选B.
答案为：D；
解析：因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|=2p，
所以S△CAB=eq \f(1,2)×2p×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋4))=24，解得p=4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2=8x，
所以直线AB的方程为x=2，
所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=－8x，故选D.
答案为：C.
解析：由题意知，A(－2，eq \f(2,p))，B(4，eq \f(8,p))，∴kAB=eq \f(\f(8,p)－\f(2,p),4－－2)=eq \f(1,p)，
设抛物线E上的切点为(x0，y0)，
由y=eq \f(x2,2p)，得y′=eq \f(x,p)，∴eq \f(x0,p)=eq \f(1,p)，∴x0=1，∴切点为(1，eq \f(1,2p))，
∴切线方程为y－eq \f(1,2p)=eq \f(1,p)(x－1)，即2x－2py－1=0，
∵切线2x－2py－1=0与圆C相切，
∴圆心C(5，eq \f(1,2))到切线的距离为2eq \r(2)，即eq \f(|9－p|,\r(4＋4p2))=2eq \r(2)，
∴31p2＋18p－49=0，∴(p－1)(31p＋49)=0，
∵p>0，∴p=1.∴抛物线x2=2y的准线方程为y=－eq \f(1,2)，故选C.
答案为：C
解析：由题意得圆x2＋(y－4)2=1的圆心A(0,4)，半径r=1，抛物线的焦点F(1,0).
由抛物线的几何性质可得：
点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是
|AF|－r=eq \r(1＋16)－1=eq \r(17)－1.故选C.
答案为：eq \f(4,3).
解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB=30°，|BF|=2，
所以|AB|=eq \f(2 \r(3),3)，设P(x0，y0)，则x0=±eq \f(2 \r(3),3)，代入x2=4y中，得y0=eq \f(1,3)，
从而|PF|=|PA|=y0＋1=eq \f(4,3).
答案为：12或4.
解析：将圆M的方程化为标准方程为(x＋4)2＋y2=4，圆心的坐标为(－4,0)，半径r=2.
又抛物线的准线方程为x=－eq \f(p,2)，∴|4－eq \f(p,2)|=2，解得p=12或4.
答案为：6；
解析：由抛物线方程为y2=6x，所以焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，准线方程为x=－eq \f(3,2)，
因为直线AF的斜率为－eq \r(3)，
所以直线AF的方程为y=－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，画图象如图.
当x=－eq \f(3,2)时，y=3eq \r(3)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3)))，
因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3eq \r(3)，可得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，
根据抛物线的定义可知|PF|=|PA|=eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))=6.
答案为：10.
解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2=2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离
|PF|=x0＋eq \f(p,2)，在y2=2x中，p=1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|=x1＋x2＋…＋x10＋5p=10.