2022届高三新高考开学数学摸底考试卷11含答案

这是一份2022届高三新高考开学数学摸底考试卷11含答案，共21页。试卷主要包含了 若，则， D等内容，欢迎下载使用。

2022届新高考开学数学摸底考试卷11

一、 单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1. 设i为虚数单位,,“复数m(m-1)+i是纯虚数”是“m=1”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
3.已知集合A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，则A∩B等于(　　)
A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0}
4.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数f(x)＝若存在实数k，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
8．对于数列,定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010

二、多选题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。
9.设是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则以下结论恒成立的结论是（ ）
A. B.直线过定点（1，0）
C. 到直线的距离不大于1. D.(-1,2)在抛物线上

10．气象意义上从春季入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．①②③ B．② C．③ D．①

11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）
A. 若n=1，则H(X)=0
B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C. 若，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
12.若存在m,使得f(x) ≥m对任意x ∈ D恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x ∈ D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论中所有正确结论的编号为
A.1不是函数的一个下界;
B.函数f(x)= xlnx有下界，无上界;
C.函数有上界,无下界;
D.函数有界.
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 .
14.已知函数, 则的值为
15.已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为______ ．
16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为__________．

四、 简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，
满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.
18．已知等比数列的前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值.












19．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点．
（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；
（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．










20．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立方米）



从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．

21．已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．


22．已知函数，
（Ⅰ）若直线与曲线相切于点，证明：；
（Ⅱ）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.



2022届新高考开学数学摸底考试卷11
答案解析

二、 单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1. 设i为虚数单位,,“复数m(m-1)+i是纯虚数”是“m=1”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】B
解：复数m(m-1)+i是纯虚数,则m=0或m=1,
所以“复数m(m-1)+i是纯虚数”不是“m=1”的充分条件；
当m=1时,复数为i,是纯虚数,“复数m(m-1)+i是纯虚数”是“m=1”的必要条件,
所以“复数m(m-1)+i是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．故选B．
2.若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】利用向量垂直的充要条件有： ,向量在方向上的投影为.
3.已知集合A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，则A∩B等于(　　)
A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0}
【答案】　C
【解析】　A＝{x∈R|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，
则x＝2t＋1∈(－1，5)，所以B＝{0，1，2，3，4}，
所以A∩B＝{0，1}，故选C.
4.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：



,,

,
,

故答案选B

5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于0，则，在原二项展开式中令，可得.故选A
6．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出可行域，

当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得．故选C
7.已知函数f(x)＝若存在实数k，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】由于y＝log2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数，
当x＝0时，y＝1，
当x＝时，y＝－1，所以0＜k≤.
令g(x)＝x3－3x2＋3，则g′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2，当x＝2时，函数取得极小值－1，
当x3－3x2＋3＝1时，解得x1＝1，x2＝1＋，x3＝1－＜0(舍)，
所以2≤a≤1＋，故选B.


8．对于数列,定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
【答案】B
【解析】由，得……①,
……②,
①-②得，即，，所以
.故选B.

二、多选题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。
9.设是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则以下结论恒成立的结论是（ ）
B. B.直线过定点（1，0）
C. 到直线的距离不大于1. D.(-1,2)在抛物线上
【解析】设A(),B(),==0，，A正确；直线AB的斜== 方程为y-=()(x-),过定点（0，1），B错误；原点到直线AB：()x-y+1=0的距离d=≤1，C正确.故选：ABC．



10．气象意义上从春季入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．①②③ B．② C．③ D．①
【答案】CD
【解析】 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若有某一天的气温低于22℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意，故选CD.
11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）
A. 若n=1，则H(X)=0
B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C. 若，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】 AC
【解析】
对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性.对于B选项，利用特殊值进行排除.对于C选项，计算出，由此判断出C选项的正确性.对于D选项，计算出，由此判断出D选项的正确性.
【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，所以
，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.
.
由于，所以，所以，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于难题.
12.若存在m,使得f(x) ≥m对任意x ∈ D恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x ∈ D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论中所有正确结论的编号为
A.1不是函数的一个下界;
B.函数f(x)= xlnx有下界，无上界;
C.函数有上界,无下界;
D.函数有界.
【答案】ABD
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 .
【答案】1
【解析】由，得.
14.已知函数, 则的值为
【答案】
【解析】
15.已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为______ ．
【答案】
【解析】由题意可知：M，Q关于原点对称，∴kMN • kQN=，
∵kMN=，kQN=，∴，渐近线方程为．
16．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为__________．

【答案】9
【解析】

根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即，，则球心到底面等边的中心的距离，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积．即答案为9．

五、 简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，
满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（），．
【解析】
试题分析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得，化简后可得；（2）由正弦定理得，，所以，最大值为.
试题解析：
（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得

，又
所以
（2）由（1）知，△ABC的内角和，又得
由正弦定理，知，

所以



当，即时，取得最大值
考点：解三角形．

18．已知等比数列的前项和为，满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值.
【解析】（Ⅰ）设的公比为，由得，,所以， 所以. …………………2分
又因为， 所以， 所以.
所以. ………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，…6分
，则

所以，………………………………………..10分
由，得，即则，
所以的最小值是6…………………………………………..12分

19．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点．
（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；
（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．





【解析】（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连结、，
由题意，且，
且，
故且．
所以，四边形为平行四边形．…………3分
所以，，又平面，平面，
所以，平面．…………5分
（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，所以，且面面，面面，
所以面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，…………7分
设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，，
所以取，显然可取平面的法向量，
由题意：，所以．…………10分
由于面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，从而，
所以直线与平面所成的角为．…………12分

20．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立方米）



从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．
【解析】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，…………4分
所以的分布列为

0
1
2
3





的数学期望．…………6分

（2）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，
， ………9分
由,
解得， 又，所以当时概率最大.
即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大. ………12分

21．已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．
【解析】(Ⅰ) 椭圆右焦点的坐标为， ………(1分)
．，
由，得． ………… (3分)
设点的坐标为，由，有，
代入，得．
即点的轨迹的方程为 ……… (5分)
（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，、，
则，． ………… (6分)
由，得， 同理得． ………… (8分)
，，则． ……(9分)
由，得，． ……… (10分)
则．
因此，以线段为直径的圆经过点． ……… (12分)
解法二：①当时， 、，则， ．
由 得点的坐标为，则．
由 得点的坐标为，则．
． …………… (7分)
②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． … (8分)
由，得，． …………(9分)
则． ………… (11分)
因此，以线段为直径的圆经过点 ………… (12分)

22．已知函数，
（Ⅰ）若直线与曲线相切于点，证明：；
（Ⅱ）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ），
由导数的几何意义可知， ①……………1分
又直线的图像过定点（1，0），因此，
即 ②……………2分
联立①②消去有.……………3分
设，则，所以在R上单调递增.
而，，
由函数零点存在性定理知 . ……………5分
（Ⅱ）由得，
令，则……………6分
由（Ⅰ）知在R上单调递增，
且时，；在，
故在上单调递减，在上单调递增.
.
易证，……………8分
当时，；当时，.
（1）若，则，
此时有无穷多个整数解，不合题意；……………9分
（2）若，即，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以无整数解，不合题意；……………10分
（3）若，即，此时，故是的两个整数解，又只有两个整数解，因此，
解得，所以……………12分