人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用教案

1.4.1用空间向量研究直线.平面的位置关系

一．知识梳理

直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

(2)平面的法向量

①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．

②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

空间位置关系的向量表示

二．每日一练

一、单选题

1．设a，b是两条直线，，是两个平面，且，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　）

A．(1，－1,1) B．(1,3，)

C．(1，－3，) D．(－1,3，－)

3．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（    ）

A． B．

C． D．

4．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（    ）

A． B． C．5 D．7

5．平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交且不垂直 C．相交且垂直 D．不确定

6．设直线、的方向向量分别为，，若，则等于（    ）

A．－2 B．2 C．6 D．10

7．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A．           B．           C．            D．与斜交

8．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（    ）

A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直

二、多选题

9．已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（    ）

A． B． C． D．

10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：① ；② ；③ 是平面的法向量；④ ．其中正确的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

11．(多选)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ）

A．(1，2，3) B．(1，3，2)

C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2)

12．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（    ）

A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥β

C．∥⇔l∥α D．⊥⇔l∥α

三、填空题

13．在棱长为9的正方体中，点，分别在棱，上，满足，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为______.

14．已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为___________.

15．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.

16．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．

四、解答题

17．如图在正方体中，E、F分别是棱，的中点.求证：为平面的一个法向量.

18．如图所示，垂直于正方形所在的平面，，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面.

19．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.

证明：（1）；

（2）平面；

（3）平面平面.

20．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

21．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥．

（1）求剩余部分的体积；

（2）证明平面．

22．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，E为PB的中点．求：

（1）求证：平面ADP；

（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；

参考答案

1．C，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，则由得，必要性满足，反之若，则法向量，充分性满足，应是充要条件．

2．B对于选项A，，则，故排除A；

对于选项B，，则

对于选项C，，则，故排除C；

对于选项D，，则，故排除D；

3．B设平面的法向量为，则有取，则.所以．因为，所以平面的一个单位法向量可以是.

4．D，可得，，

5．C因为，所以平面平面，

6．D直线、的方向向量分别为，，且，，解得．

7．B解：∵，，∴，即，∴.

8．C平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，

，平面与平面的关系是平行或重合．

9．BCD由平面过点，其法向量，对于A，，，点在内，故A错误；对于B，，，

点不在内，故B正确；对于C，，

，点不在内，故C正确；对于D，，，点不在平面内，故D正确.

10．ABC

，所以，所以，故① 正确；

，所以，所以，故②正确；

因为与不平行，，所以是平面

所以是平面的法向量，故③正确．因为，

因为，所以与不平行，故④错误．

11．AC故直线l的一个方向向量为(1，2，3)或(－1，－2，－3)．

12．AB解：为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），

则∥⇔α∥β，⊥⇔α⊥β，∥⇔l⊥α，⊥⇔l∥α或l⊂α.

13．以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，

，由，则，，，设，

， ，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，

得，因为平面，所以，即，解得，

所以，由平面，且底面是正方形，所以四棱锥外接球的直径就是，由，得，

所以外接球的表面积.

14．平行因为，且直线l在平面外，所以直线l与平面平行.

15．－9因为l⊥α，所以⊥，所以(1，－3，z)·(3，－2，1)＝0，即3＋6＋z＝0，所以z＝－9.

16．0因为，，.所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．

17．证明见解析由题意，以点D为原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，可得，，，

所以，，所以，，且平面，平面，，所以平面，

所以为平面的一个法向量.

18．证明见解析

证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

由与平面所成的角为，得，则，

则，，，，，，

，，.

设平面PFB的法向量为，则，即.

令，则，，故平面的一个法向量为.

，，

又平面PFB，则平面PFB.

19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

可得、、、，由为的中点，得.

（1）向量，，故，所以，；

（2）因为平面，平面，，

，，平面，

所以向量为平面的一个法向量，

而，所以，

又因为平面，所以平面；

（3）由（2）知平面的一个法向量为，向量，，设平面的一个法向量为，则，取，可得平面的一个法向量为，，，所以，平面平面.

20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，所以、，，，，，，，.

（1）因为，所以，即.又平面，平面，所以平面;

（2）因为，所以，同理可得，

即，.又，所以平面.

平面，所以平面平面.

21．（1）；（2）见解析.

（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，

又三棱锥的体积，

所以剩余部分的体积；

（2）如图建立空间直角坐标系，则，

，有，

所以，且，面A1DB，面，

所以面

22．（1）证明见详解；（2）证明见详解；

（1）取的中点，连接，则，且，又且,所以且，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面ADP，平面ADP，所以CE∥平面ADP.

（2）取的中点，连接，为等边三角形，即,

∵平面底面，为交线， 平面,

底面.

以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，

过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，如图所示.

，，则.

，，，，

∴，，

, 即, 即

又 , 平面,平面.平面,

∴平面平面.