数学1.4 空间向量的应用第1课时教学设计及反思

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)

一、教学目标

1.能用向量表示空间中的点、直线和平面；

2.理解平面的法向量的概念，会求法向量；

3.经历用代数运算解决几何问题的过程，提升直观想象、数学运算素养．

二、教学重难点

1. 理解用位置向量与空间中的点建立对应关系，理解一个点和一个定方向唯一确定一条直线，一个定点和两个定方向确定一个平面，能推导出直线和平面向量表示式．

2. 理解与平面垂直的直线的方向向量是平面的法向量，从而法向量不是唯一的，清楚在用待定系数法求法向量的坐标时，为什么只需要两个方程．

3. 重点难点：空间中的点、直线和平面的向量表示.

三、教学过程

引言：我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．

1.思考空间中点、直线和平面的向量表示

问题1：如何用向量表示空间中的一个点？

追问:取空间中一个定点O为起点,空间中的向量与向量的终点间有怎样的关系？

师生活动：教师引导学生类比平面中用向量表示点．

设计意图：引发学生思考起点确定时，空间中任意一个点作为终点都可以得到一个空间向量，这种一一对应关系决定能用向量表示点P．

问题2：我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．如何用向量表示直线l？

师生活动：教师在课件中给出图形，即点A和直线l的方向向量a，并向学生阐明，用向量表示直线l，就是用点A和向量a表示直线l上的任意一点．学生观察图形，进行思考．

追问：（1）P是直线l上的任意一点，由方向向量的定义可知，怎样用a来表示？

（2）假设O是空间任意一点，运用问题1中用位置向量表示点的方法，又可以怎样表示？

师生活动：教师引导学生观察、讨论、分析．

设计意图：教材第1节就给出了直线的方向向量的概念，根据空间向量数乘运算的意义，=ta（t∈R）．通过追问2，让学生得到，从而得出直线的向量表示式，进一步深化理解点的向量表示．同时应指出，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使．

问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？

追问：（1）我们知道，经过两条相交直线可以确定一个平面α，设这两条直线的交点为A，方向向量为a和b，P为平面α内任意一点，根据平面向量基本定理，如何表示？   

（2）取定空间任意一点O，类似于问题2，你能得到平面ABC的向量表示式吗？       

师生活动：教师展示图形，引导学生思考并进行演算．

设计意图：根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（x，y），使得．类比问题2的推导过程，学生容易得到平面的向量表示式，由学生自行推导，强调前后知识的联系，形成解决同类问题的思想方法．

2.平面的法向量的概念及求法

问题4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？

师生活动：教师展示图形，经过定点A且垂直于l的平面是唯一确定的，给出平面法向量的概念，即l⊥α，l的方向向量a叫做α的法向量．对于第二个问题可进行如下追问．

追问：（1）对于平面内任意一点P，与a有怎样的关系？可以用哪种运算来表示这种关系？

（2）如果另有一条直线m⊥α，在m上取向量b，则b与a有什么关系？

设计意图：让学生在思考中理解垂直关系可以用向量数量积为0来表示，为后面求平面的法向量提供依据．教师给出集合表示平面，加强知识间的联系，用集合的观点表示图形．

例 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB中点，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）求平面BCC1B1的法向量．

（2）求平面MCA1的法向量．

设计意图：第（1）问是通过定义法求法向量，第（2）问是用待定系数法求法向量，加深学生对法向量的概念理解，熟练空间直角坐标系和空间向量的坐标表示．

问题5：如果设平面MCA1的法向量为n=（x，y，z），如何得到x、y、z满足的方程？

师生活动：学生通过观察结合本节课所学，可知平面MCA1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算列出方程．

追问：为什么只需用n与两个不共线的向量数量积为0列方程组就可以？

设计意图：让学生通过线面垂直的判定定理理解用待定系数法求法向量的过程．同时教师应指出方程组有无数个解，我们只需求出平面的一个法向量，求直线的方向向量也是如此．

3.归纳总结、布置作业

教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：

（1）如何用向量表示空间中的点、直线和平面？

（2）什么是平面的法向量，如何求平面法向量？

（3）通过本节课对你今后解决立体几何问题有哪些启发？

设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．

布置作业：教科书习题1.4第1，2题．

思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系？

4.当堂检测

1．如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF=2FA．设，，，求直线AE、BF的方向向量．                                       

设计意图：考查学生用基底法求直线的方向向量.

    2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC1B1的法向量；（2）求平面A1BC的法向量．           

设计意图：考查学生用空间向量坐标运算求法向量.