高中第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用教案及反思

课程基本信息

课题

用空间向量研究直线、平面的位置关系

教科书

书名：  《数学》选择性必修第一册                              

出版社：  人教社              出版日期：    年  月

教学目标

教学目标：能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．会求直线的方向向量和平面的法向量.

教学重点：空间图形基本要素(点、直线和平面)及其关系的向量表示.

教学难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，求平面的法向量.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

今天，我们一起学习空间向量的应用. 首先，我们一起探讨如何用空间向量研究直线、平面的位置关系. 前面几节课，我们已经把向量从平面推广到了空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置和度量的立体几何问题.

问题1：通过前几节课的学习，同学们有没有初步体会运用空间向量解决立体几何问题呢？利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？

生：关键是要建立空间向量与几何元素，如线段、角的对应关系.

师：本节课，我们进一步运用空间向量研究立体几何中直线、平面的位置关系和度量问题. 点、直线和平面是空间的基本图形，是组成空间几何体的基本几何元素. 因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.

问题2：如何用向量表示空间中的一个点P？

在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.

问题3：如何用向量表示空间中的直线l？

生：平面内一点和一个方向可以确定平面内的一条直线，同样，空间中一点和一个方向也可以确定空间中的一条直线.

师：如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的意义可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即.

师：进一步，取定空间中的任意一点O，有可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使

.         ①      

将代入①式，得

.       ②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.

由此可知，空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定. 你能证明这个结论吗？

生：当t变化时，ta表示与a共线的所有向量，因此向量表示以O为起点的，直线上任意点P为终点的向量. 这样，点A和向量a不仅能确定直线l的位置，还可以具体表示直线l上的任意一点.

问题4：如何用向量表示空间中的平面？

生：平面可以由内两条相交直线确定.

设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x, y)，使得.

点O与向量a，b不仅可以确定平面，还可以具体表示内的任意一点. 这种表示在解决几何问题时有重要作用.

师：进一步，我们来讨论空间一点P位于平面ABC内的充要条件.

生：取定空间任意一点O，取，由上面的讨论可知，存在唯一的有序实数对(x, y)，使得，同样地，将上式中的向量分解为以O为起点的向量 即

.

师：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使.      ③

我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.

从这个式子，我们可以看出，当x，y变化时，表示平面ABC内的所有向量，因此向量表示以O为起点的，平面ABC内任意点P为终点的向量. 即，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

追问：以上是我们用空间中一点和两个不共线向量确定一个平面. 现在我们考虑，能不能用一点和一个向量确定一个平面？

师：如图，直线. 取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面的法向量(normal vector).

这样，给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，通过向量，可以将平面表示为集合.

追问：如果另有一条直线，在直线m上任取向量b，b与a有什么关系？

生：因为，所以l // m. 所以a // b . 所以存在实数，使得.

所以.

所以，平面可以由平面上一点A和任意法向量唯一确定.

例题：如图，在长方体中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点. 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）求直线CD的方向向量；

（2）求平面BCC1B1的法向量；

（3）求平面MCA1的法向量.

分析：本题实际上是求解两类问题：一类是求直线的方向向量，另一类是求平面的法向量.

求直线的方向向量，就是找到一个向量，满足它所在的直线与已知直线平行或重合；求平面的法向量，就是要找到一个向量，满足它所在的直线与已知平面垂直.

解：（1）依题意可知，D(0, 0, 0),  C(0, 4, 0), 所以直线CD的方向向量是.

追问：直线CD还有其他的方向向量吗？

可以看出，以C为起点，D为终点的向量CD也是直线的方向向量.

而(0,1,0)是与(0,4,0)共线的向量，所以也是直线CD的方向向量. 实际上，与(0,4,0)共线的非零向量(0,a,0)都是直线CD的方向向量.

（2）因为在长方体中，有DC⊥面BCC1B1，所以直线DC的方向向量就是面BCC1B1的法向量，即是平面BCC1B1的一个法向量.

追问：平面BCC1B1还有其他的法向量吗？

有D1C1⊥面BCC1B1，所以直线D1C1的方向向量就是面BCC1B1的法向量，即是平面BCC1B1的一个法向量.

所有与(0,4,0)共线的向量都是平面BCC1B1的法向量.

（3）因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M(3,2,0),  C(0,4,0),  A1(3,0,2). 因此.

设是平面MCA1的法向量. 则有. 所以

所以

取z=3，则x=2，y=3.

于是是平面MCA1的一个法向量.

例题小结：

（一）同一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行；

同一个平面的法向量也有无穷多个，它们也互相平行.

所以，求直线的方向向量和平面的法向量时，只需求出一个即可.

（二）求直线的方向向量和平面的法向量的方法.

（三）用向量法求平面的法向量的步骤：

（1）设平面的法向量n=(x,y,z)；

（2）找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标

；

（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

（4）解方程组，取其中一组解，即得法向量.

通过这个例题，我们发现，利用空间向量，可以将几何直观与逻辑推理数学运算联系起来. 为我们研究立体几何问题带来方便.

课堂小结：

问题5：本节课主要学习了哪些知识内容？

本节课我们学习了用空间向量表示空间中的点、直线和平面.

问题6：本节课主要学习了哪些思想方法？

通过例题，实际体验了求直线方向向量和平面法向量的方法，

总结了求平面法向量的步骤，

问题7：本节课的地位和作用？

通过本节课的学习，我们完成了将几何对象（点、直线、平面）向量化的过程，这是用向量方法解决立体几何问题的基础，为后续研究空间中的位置关系和度量问题提供向量工具.

课后作业：

1. 在平行六面体中，O是BD1与B1D的交点. 以为空间的一个基底. 求直线OA的一个方向向量.

2. 在长方体中，AB=4，BC=3，CC1=2. 以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1的法向量.