初中数学华师大版九年级上册22.3 实践与探索第三课时教案

课  题：22.3 实践与探索

第三课时 实践与探索（三）

＆.教学目标：

1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的应用。

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。

3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。

＆.教学重点、难点：

重点：经历根与系数关系的探索和发现过程，运用发现的结论解决问题。

难点：灵活应用根与系数的关系解决综合问题。

＆.教学过程：

一、情境导入

解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？

（1）；（2）；（3）.

二、探究新知

§.探究一元二次方程根与系数的关系。

问题1：完成上题的表格：

问题2：猜想一元二次方程的两个根的和与积，它们和原方程的系数有什么联系？

活动：小组交流，同学们各抒己见，教师可给学生适当的点拨。

结果：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。

问题3：猜想一般地，对于关于的一元二次方程（、为已知常数，），试用求根公式求出它的两个根、，算一算、的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？

解析：原方程的解为，，可得：，，故与上面的猜想的结论一致。

问题4：对于关于的一元二次方程（），当时，若方程的两个根为、，算一算、的值，你能得出什么结论？

解析：由求根公式得：，，可得：，，故与上面的猜想的结论一致。

§.概括：一元二次方程根与系数的关系（又名韦达定理）.

如果（）的两个根是、，那么，.

注意：

（1）利用一元二次方程根与系数的关系可以直接求出两根之和、之积，不必解方程，直接代入即可。

（2）利用根与系数的关系必须首先把一元二次方程化成一般形式。

（3）利用根与系数的关系前提是一元二次方程必须有根，即.

（4）二次项系数.

三、讲解例题，巩固新知

题型一：不解方程，求方程的两根之和和两根之积。

§.例1、不解方程，判断下列方程实数根的情况，若方程有解，求出方程的两根之和与根之积。

（1）          （2）         （3）

解：（1）有两个不相等的实数根，，；

（2）有两个不相等的实数根，，；

（3）该方程没有实数根。

同步练习：不解方程，判断下列方程实数根的情况，若方程有解，求出方程的两根之和与根之积。

（1）          （2）            （3）

题型二：已知方程的一根，不解方程求另一个根及待定系数.

§.例2、已知方程的一个根是，求另一个根及的值。

解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得：

，解得：

思考：是否存在另外的解法？

同步练习：已知方程的一个根是，求它的另一个根及的值。

四、巩固练习

1、已知方程的一个根是，求另一个根及的值。

2、已知方程的一个根是，求另一个根及的值。

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1、掌握一元二次方程根与系数的关系。

2、能灵活地利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题。

六、课外作业

1、教材  习题 

2、选用课时作业：

（）写出下列方程的两根之和与两根之积。

（1）              （2）         （3）

（）已知程的一个根是，求另一个根及的值。