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初中数学华师大版八年级上册3 反证法同步达标检测题
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这是一份初中数学华师大版八年级上册3 反证法同步达标检测题,共10页。试卷主要包含了写出下列各结论的反面,用反证法证明命题,已知,用反证法证明等内容,欢迎下载使用。
14.1.3 反证法知识点:反证法. 重 点:掌握反证法的三个步骤的运用方法.难 点:反证法证题中在推理过程中发现矛盾.基础巩固:1.写出下列各结论的反面:(1)a∥b; ;(2)a≥0; ;(3)b是正数; ;(4)a⊥b. .2.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步应假设 3.用反证法证明命题:“垂直于同一条直线的两条直线平行”时,第一步应假设 .4.用反证法证明:“三角形中至少有两个锐角”时,首先应假设这个三角形中 .5.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时,假设“ ”,则与“ ”矛盾,所以原命题正确.6.为说明命题“如果a>b,那么”是假命题,你举出的反例是 .7.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为 .8.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( ) A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角9.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为( ) A.a,b,c都是奇数 B. a,b,c都是偶数 C. a,b,c中至少有两个偶数 D. a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数10.用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,第一步应先假设命题不成立,则下列各备选项中,第一步假设正确的是( )A.假设四边形中没有一个角是钝角或直角 B.假设四边形中有一个角是钝角或直角 C.假设四边形中每一个角均为钝角 D.假设四边形中每一个角均为直角11.已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立.∴∠B<90°③假设在△ABC中,∠B≥90°④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②12.在下列命题中,真命题的个数有( )①若x>0,则 ②若﹣2x>4则x>③如果一个三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形④在用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角“时,首先应假设“这个三角形中有两个直角”A.4 B.3 C.2 D.113.用反证法证明命题:“若a,b是整数,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )A.a,b都能被3整除 B.a不能被3整除 C.a,b不都能被3整除 D.a,b都不能被3整除14.用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补(填空).已知:如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.求证:∠1+∠2=180°.证明:假设∠1+∠2 180°.∵l1∥l2,∴∠1 ∠3.∵∠1+∠2 180°,∴∠3+∠2≠180°,这和 矛盾,∴假设∠1+∠2 180°不成立,即∠1+∠2=180°. 14题图 15.已知:a是整数,2能整除a2. 求证:2能整除a. 16.用反证法证明:三角形的三个内角中,总有一个角不大于60°. 17.用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角. 18.用反证法证明:一条线段只有一个中点.已知:一条线段AB,M为AB的中点.求证:线段AB只有一个中点M. 19.阅读下列文字,回答问题.题目:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC.证明:假设AC=BC,因为∠A≠45°,∠C=90°,所以∠A≠∠B.所以AC≠BC,这与假设矛盾,所以AC≠BC.上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正. 强化提高:1.公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数,导致了第一次数学危机,是无理数的证明如下:假设是有理数,那么它可以表示成(p与q是互质的两个正整数).于是()2=()2=2,所以,q2=2p2.于是q2是偶数,进而q是偶数,从而可设q=2m,所以(2m)2=2p2,p2=2m2,于是可得p也是偶数.这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾.从而可知“是有理数”的假设不成立,所以,是无理数.这种证明“是无理数”的方法是( )A.综合法 B.反证法 C.举反例法 D.数学归纳法2. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题.举例:如果ab<0,那么a+b<0. 反例:设a=4,b=-3, ab=4×(-3)=-12<0,而a+b=4+(-3)=1>0, 所以, 这个命题是假命题.(1)如果a+b>0,那么ab>0.(2)如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数.(3)两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等,则这两个三角形全等.(画出图形,并加以说明) 3.如图所示,在△ABC中, AB>AC, AD是内角平分线, AM是BC边上的中线, 求证:点M不在线段CD上. 3题图 14.1.3 反证法答案基础巩固:1.(1)a不平行于b;(2)b是0或负数;(3)b是0或负数;(4)a不垂直于b. 2. 这个三角形是等腰三角形3. 垂直于同一条直线的两条直线相交.4.三角形三个内角中最多有一个锐角. 解析:∵至少有两个”的反面为“最多有一个”,而反证法的假设即原命题的逆命题正确;∴应假设:三角形三个内角中最多有一个锐角.故答案为:三角形三个内角中最多有一个锐角5.解析:用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时,假设“三角形的三个内角都小于60°”,则与“三角形的内角和是180°”矛盾,所以原命题正确.6.解析:当a=2,b=1时,满足命题的题设a>b的要求,而=,=1,显然,不支持原命题的结论,故填当a=2,b=1时,a>b,但.7.③①②.解析:反证法的步骤是先假设结论成立,然后推出矛盾,最后推出假设不成立,结论成立.所以再确定步骤是③①②.故答案为③①②.8. C. 9. D. 10.A. 解析:反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,第一步假设四边形中没有一个角是钝角或直角,故选:A.11.D. 解析:运用反证法证明这个命题的四个步骤:1、假设在△ABC中,∠B≥90°,2、由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°,3、∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,4、因此假设不成立.∴∠B<90°,故选:D.12.D. 解析:①若x=1,a=1,b=2时,=≠.故错误.②若﹣2x>4则x<﹣2,故错误.③若一个三角形一边的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形,故正确.④因为“最多有一个”的反面是“至少有两个”,反证即假设原命题的逆命题正确,所以在用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角“时,首先应假设“这个三角形中至少有两个直角”,故错误.综上所述,正确的命题有1个.故选:D.13.D. 解析:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b中至少有一个能被3整除”的反面是:“a,b都不能被3整除”,故应假设 a,b都不能被3整除.故选:D.14.证明:假设∠1+∠2≠180°.∵l1∥l2,∴∠1=∠3.∵∠1+∠2≠180°,∴∠3+∠2≠180°,这与平角为180°矛盾,∴假设∠1+∠2≠180°不成立,即∠1+∠2=180°.故答案为:≠;=;≠;平角为180°;≠.15. 证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”,因为a是整数,故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数,则2不能整除a2,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故2能整除a. 16.证明:假设三角形的三个内角都大于60°.∵三角形的内角都大于60°,∴三个内角之和大于180°.这与三角形内角和等于180°相矛盾,所以原命题正确.17.已知:在△ABC中,AB=AC,求证:∠B、∠C是锐角.证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,∵AB=AC,∴∠B=∠C. 不妨设∠B、∠C是直角或钝角, ∴∠A+∠B+∠C≥180° 这与三角形内角和等于180°矛盾,所以原命题正确.18. 证明:假设线段AB有两个中点M,N,不妨设M在N的左边,则AM<AN,又因为AM=AB,AN=AB, 所以AM=AN, 这与AM<AN矛盾,所以线段AB只有一个中点M.19.解:有错误.改正:假设AC=BC,则∠A=∠B,又∠C=90°,所以∠B=∠A=45°,这与∠A≠45°矛盾,所以AC=BC不成立,所以AC≠BC. 强化提高:1. B. 解析:由题意可得:这种证明“是无理数”的方法是反证法.故选:B.2. 解:(1)反例:取a=2,b=-1,则a+b=1>0,但ab=-2<0.所以此命题是假命题.(2)反例:取a=1+,b=1-,a,b均为无理数.但a+b=2是有理数,所以此命题是假命题.(3)反例:如图所示,在△ABC与△ABD中,AB=AB,AD=AC,∠ABD=∠ABC,但△ABC与△ABD显然不全等.所以此命题是假命题.2题图3. 证明:假设点M不在线段CD上不成立,则点M在线段CD上.延长AM到N,使AM=MN, 连结BN,在△AMC和△NMB中,BM=CM,∠AMC=∠BMN,AM=MN,∴△AMC≌△NMB(S.A.S.),∴∠MAC=∠MNB,BN=AC.根据M在线段CD上,则∠BAM>∠MAC,∴∠MNB<∠BAM,∴BN>AB,即AC>AB,与AB>AC相矛盾.因而M在线段CD上是错误的.所以点M不在线段CD上.3题图
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