初中数学3 反证法优秀学案及答案

3.反证法

学习目标：

1.了解反证法的意义及用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤（重点）；

2.学会运用反证法证明有关命题（难点）.

自主学习

一、知识链接

1.在证明一些命题是真命题时，一般采用__________法.

2.在证明与图形有关的命题时，一般有哪些步骤？

答：第一步：____________________；第二步：_______________；第三步：_________________.

二、新知预习

1. 除了直接证明的方法，还有_________证明的方法，_________法就是常用的间接证明方法.

2.在证明一个命题时,有时先假设______的反面是正确的；然后通过_________，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设___________，进而得出原结论正确.这种证明方法叫做_______法.

合作探究

一、探究过程

探究点：反证法

操作  画出如下三角形，计算较短两边的长的平方的和，与较长边的平方，它们是否相等？

（1）1，1.5，2.4；（2）1.5，2，2.5；（3）1.5，2.5，3.

猜想  当一个三角形的三边a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.

问题  你会如何证明这个猜想？

【要点归纳】反证法步骤：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.

例1求证：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.

已知：                                  .                                           

求证：                                  .

证明：假设                 ，则可设它们相交于点A.那么过点A 就有     条直线与直线c平行，这与“过直线外一点                                     ”矛盾.

∴假设不成立.

∴                             .

【归纳总结】在推理论证时，要把新增的已知条件（即假设的内容）加进去，然后逐步推出与已知公理或定理之间的矛盾.

【针对训练】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.

已知：                                  .                                             

求证：                                  .

证明：假设                       ，即_______________________．

∴∠A+∠B+∠C＞____________，这与三角形的　              　相矛盾．

∴假设不成立.

∴　                       　．

例2 求证：命题“三角形中最多有一个角是直角”.

【归纳总结】若结论的反面不止一种情况，必须把各种可能情况全部列举出来，并逐一加以否定，才能肯定原结论是正确的.

二、课堂小结

          反证法的意义

反证法    反证法的一般步骤

          用反证法证明有关命题

当堂检测

1.在证明“在△ABC中至少有一个角是锐角”时，第一步应假设（　　）

  A．三角形至少有一个角是锐角    B．三角形中至少有两个锐角

  C．三角形中没有锐角            D．三角形中三个角都是锐角

2.反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设                         .

3.写出下列各结论的反面：

（1）a//b：                        ；

（2）a≥0：                                   ；

（3）b是正数：                                      ；                         

（4）一个三角形中最多有一个钝角：                                      ．     

4.已知直线m、n是相交线，且直线l1⊥m，直线l2⊥n．求证：直线l1与l2必相交．

5.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.反证    2.画图，写出已知     写求证过程    写出结论

二、新知预习

1.间接    反证

2结论  演绎推理   基本事实   不成立   反证

合作探究     

一、探究过程

探究点： 

操作  解：各三角形如图①②③所示：

（1）12+1.52≠2.42；（2）1.52+22=2.52；（3）1.52+2.52≠32.所以（2）中相等，（1）（3）中不相等.

例1   在同一平面内，直线a∥c，b∥c   直线a∥b   直线a与直线b相交  2  有且只有一条直线与已知直线平行   直线a∥b

【针对训练】∠A，∠B，∠C是△ABC的内角     △ABC中至少有一个内角小于或等于60°    △ABC中没有一个内角小于或等于60°    ∠A，∠B，∠C都大于60°　  180°　  内角和为180°　   三角形三个内角中至少有一个内角小于或等于60°

例2  证明：假设三角形中有两个角为90°，则三角形三个内角之和大于180°，这与“三角形的内角和为180°”相悖，所以假设不正确.所以三角形中最多有一个角是直角.

当堂检测 

1. C     2.同旁内角不互补的两条直线平行 

3.（1）直线a与直线b不平行 （2）a＜0

（3）b是非正数 （4）一个三角形中最少有两个钝角

4.证明：假设直线l1与l2不相交，则两直线平行．∵l1∥l2，直线l1⊥m，直线l2⊥n．∴m∥n，这与直线m、n是相交线相矛盾．∴假设不正确，则直线l1与l2必相交．

5.解：假设AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB．∵AB＝AC，D、E分别是AC、AB上的中点，∴BE＝CD．在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE．∴BD＝CE，这与BD≠CE相矛盾．则AB≠AC．