初中数学华师大版八年级上册3 反证法第四课时教学设计

课  题：14.1 勾股定理

第四课时 反证法

＆.教学目标：

1.知道什么是反证法，了解用反证法证题的步骤。

2.会用反证法证不易直接证法证明的简单问题。

3.通过利用反证法推证命题，体会逆向思维，培养学生的逆向思维能力及思考问题的全面性。

＆.教学重点、难点：

重点：反证法推证命题的步骤。

难点：反证法的逻辑推理过程。

＆.教学过程：

一、情景导入

古时候有一个卖矛和盾的商人，卖矛的时候说他的矛是世界上最锐利的矛，什么样的盾都能戳破；卖盾的时候说他的盾是世界上最坚固的盾，什么样的矛都戳不破。于是，就有人问他：“假设你说的都是真的，那么用你的矛戳你的盾，会如何呢？”这个商人无言以对。提出疑问的人用的是一种什么样的逻辑方法呢？本节我们学习逻辑推理的另一种方法——反证法。

二、探究新知

我们知道：在中，若，，，且，则.

问题：在中，若，，，且，请问结论成立吗？为什么？

解析：如果我们从条件出发证明结论是很困难的，我们可采用下面的方法证明：

假设，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且，这与已知条件矛盾.假设不成立，从而说明原结论成立。

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成力，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，说明假设不成立，从而得到原结论正确，像这样的证明方法叫做反证法。

＆.反证法的定义：

首先假设结论的反面成力，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，说明假设不成立，从而得到原结论正确，像这样的证明方法叫做反证法。

探究1：通过例题，你能归纳出反证法证明的一般步骤吗？

步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的；

（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾的结论；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而得出原结论正确。

∵

∴（等式的基本性质）

探究2：反证法适合证明哪几类问题？

可以证明以下几类问题：

（1）结论以否定的形式出现的命题；

（2）以“至多”“至少”或者“不多于”等形式陈述的命题；

（3）关于“唯一性”或者“存在性”结论的命题；

（4）某一系统的起始命题。

思考：运用反证法需要注意什么问题？

归纳：反证法需要注意的问题有：

（1）反证法否定的是结论，而不是已知条件；

（2）周密考查原命题结论的反面，如果不只是一种情况，必须把各种情况列举出来并逐一否定后，才能证明原命题结论正确；

（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。

三、讲解例题，巩固新知

§.例1、求证：两条直线相交只有一个交点。

已知：两条相交直线、.

求证：与只有一个交点.

解析：想从已知条件“两条相交直线、”出发，经过推理，得出结论“它们只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法。

证明：假设与不止一个交点，不妨假设有两个交点、.

∵两点确定一条直线，即经过点和的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立

∴两条直线相交只有一个交点。

归纳：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾.反证法的首要一步要找到结论的反面，如果第一步错误，后面所给予的前提都不成立。

同步练习：写出下列各结论的反面：

（1）是实数；（2）大于；（3）小于；（4）两条直线平行

§.例2、已知：有、、三条直线，且，

求证：

证明：假设与不平行，则可设它们的交点为.

那么过点就有两条直线、与直线平行

这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立.

故

§.例3、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于.

已知：

求证：中至少有一个内角小于或等于.

证明：假设中没有一个内角小于或等于

即，，

∴

这与三角形内角和为矛盾，假设不成立。

∴中至少有一个内角小于或等于.

归纳：“至少有一个”包括一个和一个以上，它的反面是“没有”，要特别引起大家的重视。

§.例4、用反证法证明：等腰三角形的底角必定为锐角。

已知：在中，.

求证：、为锐角.

解析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论。

证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：

第一种情况：两个底角是直角；

由

则

这与三角形的内角和定理矛盾

∴这个假设不成立.

第二种情况：两个底角是钝角.

由，

则

这与三角形的内角和定理矛盾

∴“两个底角是钝角”这个假设不成立.

故原命题正确。

注意：本例中“是锐角（小于）”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解。

§.例5、已知：如图，中，、两点分别在、上.

求证：、不能互相平分.

证明：假设、互相平分.连结

∴四边形是平行四边形

∴（平行四边形的对边互相平行）

这与、相交于点矛盾.

故假设错误，即、不能互相平分.

§.例6、已知：如图，中，，.

求证：.

证明：假设

在和中

（已知），（公共边），（已知）

∴（）

∴（全等三角形的对应角相等）

这与已知条件矛盾，假设不成立.

∴

四、巩固练习

教材  练习

五、课堂小结

通过本节课的学习，要求同学们

1.理解掌握反证法是证明问题的又一方法，它体现了逆向思维方式，当一个命题的证明从正面很难解决时，我们应该有用反证法解决问题的意识。

2.掌握用反证法证明的一般思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论。

3.用反证法证题时，需注意以下事项：（1）周密考查原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。

六、课外作业

1.教材  习题 

2.补充题：

Ⅰ.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？

Ⅱ.求证：在同一平面上，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交。

Ⅲ.三角形内角中至多有一个角是钝角。

Ⅲ.请举出几个反证法的生活案例。

参考案例：（1）路边苦李

王戎岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”

王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？

假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？

那么，树上的李子还会这么多吗？

这与事实矛盾，说明李子是甜的这个假设是错的，所以，李子是苦的.

（2）古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来时，彼此相看时都笑了.一会儿其中一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？自己的前额也被涂黑了.假设自己的前额没有涂黑，那么另一个哲学家也不会有异常行为，这与另一个哲学家笑个不停矛盾，所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确，于是自己的前额也被涂黑了。