数学人教A版 (2019)2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计

课程目标

学科素养

1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；

2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

a.数学抽象： 一元二次不等式的定义及解法；

b.逻辑推理：理解三个二次的关系；

c.数学运算：按步骤解决一元二次不等式；

d.直观想象：运用二次函数图像解一元二次不等式；

e.数学建模：将生中的不等关系转化为一元二次不等式解决；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

（一）、情境导学

问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？

设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．

由题意，得:（１２－x）x＞２０，

其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝． 整理得

x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝． ①

求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．

一元二次不等式的定义：

     我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)

或ax2+bx+c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.

（二）、探索新知

问题：二次函数y=x2-5x的函数图像如下，

思考：当x为何值时，y=0，函数图像与x轴有什么关系？

当x为何值时，y＜0，函数图像与x轴有和关系？

当x为何值时，y＞0，函数图像与x轴有什么关系？

思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格。

归纳小结：华罗庚教授说过：

数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非

（三）典例解析  

例1：解不等式:  x2－2x－15≥0

解：原不等式变形为（x+3）(x-5) ≥  0

方程(x+3)(x-5)＝0的

两根为: x＝－3，或x＝5

∴  不等式的解集

为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。

例2：解不等式- x2 + 2x – 3 >0

解：整理，得   x2 - 2x + 3 < 0

因为△= 4 - 12 = - 8 < 0

方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根

所以原不等式的解集为ф

解：

结合以上例题总结：

1、求解一元二次不等式的步骤是什么？

2、解一元二次不等式中常见的错误是什么？应如何避免？

解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0)的步骤：

(1)二次项的系数变为正 (a>0)

(2)  看能否因式分解，不能分解的计算△，

 (3) 求出方程ax2+bx+c=0 的实根;（画出函数图像）

 (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.

通过具体的生活情境，导入本节课题，让学生了解学习的必要性，建立一元二次不等式的概念，培养学生数学抽象和数建模的核心素养。

通过具体的一元二次不等式解法得探究，让学生体会数形结合的思想方法。

培养和发展数学抽象和数学直观的核心素养。

小组活动：

1、仿照上述过程讨论填写“三个二次”之间的关系表格。

2、讨论总结在这个过程中用到了哪些数学思想和数学方法？

通过典型例题解析，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。

；

通过典型例题的解析，让学生总结归纳，解一元二次不等式的基本步骤。

三、当堂达标

1.不等式2x2－x－1>0的解集是

解析：∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，

∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，

解得x>1或x<－，∴不等式的解集为.选D

2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是

解析：∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，

∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴ .选B

3.解下列一元二次不等式：

（1）x 2-2x-3＞0.

解：因为Δ＞0，x2-2x-3=0的解是x1=-1,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜-1或x＞3}.

（2）4x 2+4x+1＞0.

解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是{x|x≠}.

（3）-x 2+2x-6＞0.

 解：整理化简，得x2-2x+6＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+6=0无实数解，所以不等式的解集是.

4.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，求a的值。

解析：由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.

∴－7×(－1)＝     ，故a＝3.

5.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.

当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，

所以a＝2时解集为R.

当a－2≠0时，由题意得

综上所述，a的取值范围为(－2,2].

通过练习巩固本节所学知识，提高解决一元二次不等式的的能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。

四、小结

一、知识上我收获了什么？

二、方法上我收获了什么？

1.“三个二次”的关系

2.一元二次不等式解法的步骤：

3.数学思想方法：

五、作业

1. 课时练   2. 预习下节课内容

生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；