第1.8讲 二次函数的应用-备战中考数学热点难点突破（学生版）

【备战2022年中考数学热点、难点突破】

考纲要求:

1. 会用描点法画出二次函数的图像，理解二次函数的性质。

2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。

基础知识回顾:  [来源:Z*X*X*K]

  一、 二次函数的概念及解析式

1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的2、2函数，叫做二次函数．

2、二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点

坐标是(h，k)．

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函数与

x轴的交点的横坐标，a≠0.[来源:Zxxk.Com]

二、 抛物线的平移

1．将抛物线解析式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为(h，k)．

2．保持y＝ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如

三、二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标．

 应用举例:

招数一、利用 二次函数的增减性有关的问题时，简便的方法是结合图象，利用数形结合的思想直观地得出结论．另外，解答本题也可以代入数值求出对应的函数值，从而进行大小比较．[来源:]

【例1】若二次函数y＝mx2-6mx＋1（m>0）的图像经过A(2，a)，B(-1，b)，C(3＋，c)三点，则a，b，c从小到大排列是____．

【例2】若二次函数y＝2x2﹣4kx+1．当x≤l时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____．

【例3】下列关于二次函数的说法正确的是(　　)

A．它的图象经过点

B．它的图象的对称轴是直线

C．当时，随的增大而减小

D．当时，有最大值为0

招数二、利用二次函数的图象判断系数的关系 利用图象判定字母系数的关系时，要先通过图象的开口方向确定出a的符号，根据对称轴的位置，确定b的符号或a与b的关系式，根据图象与y轴的交点确定出c的符号；然后通过a，b，c的符号确定有关a，b，c乘积式的符号，根据图象与x轴的交点个数确定b2－4ac的符号；最后结合图象上的特殊值点确定有关a，b，c的算式的符号．此类问题

【例3】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：

①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，正确的结论是_____（只填序号）

【例4】如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）

A．①②④    B．①②⑤    C．②③④    D．③④⑤

招数三、 设二次函数解析式的形式一般遵循以下方法：若已知二次函数上三个点的坐标，则选择一般式；若已知二次函数的顶点坐标，则选择顶点式；若已知二次函数与x轴的交点坐标，则选择交点式．需要注意的是，作为解答题，最后结果要化为一般式．

【例6】已知抛物线的顶点为（1，﹣3），且过点（2，1），求这个函数的表达式为________．

【例7】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），当x=2时，y的值为________ ．

【例8】经过（1，2.6），（4，5），（2，3）三点的二次函数的表达式是_____．

方法、规律归纳:

一、 当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式 来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出 ， ，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式.

二、当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大;当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值，判定其增减性时，常将二次函数的一般式 (为常数)配方，转化为顶点式求解.也可以利用顶点坐标公式来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二次函数的增减性完全相反.

实战演练:

1、已知抛物线，如图所示，下列命题：①；②对称轴为直线；③抛物线经过，两点，则；④顶点坐标是（，其中真命题的概率是（　　）

A．          B．    

 C．          D．1

2. 已知二次函数 y4x24x1，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取时的函数值为（   ）

A．-1    B．-2    C．2    D．1

3、抛物线 (是常数)的顶点在(    )

A.第一象限          B.第二象限              C.第三象限             D.第四象限

[来源:]

4、将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（　　）

A．（0，3）或（﹣2，3）    B．（﹣3，0）或（1，0）

C．（3，3）或（﹣1，3）    D．（﹣3，3）或（1，3）

5、某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是      元/时，才能在半月内获得最大利润．

6、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　）

A．m≥﹣4    B．m≥0    C．m≥5    D．m≥6

7、如图，在平面直角坐标系中，A（-2，-1），B（-1，-1），若抛物线与线段AB有交点，则的取值范围是______.

8、如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；

（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

9、如图，已知抛物线过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

10、如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（2,1），将此矩形绕点O逆时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x2+bx+c过B、E两点.[来源:Zxxk.Com]

（1）求此抛物线的函数解析式.

（2）将矩形DEFO向右平移，当点E的对应点E’在抛物线上时，求线段DF扫过的面积.

（3）若将矩形ABCO向上平移d个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求d的值.