第1.5讲 根与系数的关系问题-备战中考数学热点难点突破（学生版）

这是一份第1.5讲 根与系数的关系问题-备战中考数学热点难点突破（学生版），共3页。试卷主要包含了一元二次方程的概念及一般形式，一元二次方程的四种解法，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系， 已知关于x的一元二次方程．等内容，欢迎下载使用。

考纲要求:
通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；
能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.
基础知识回顾:
1.一元二次方程的概念及一般形式
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式：
2.一元二次方程的四种解法
直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.
3.一元二次方程的根的判别式
判别式与方程的根的关系：
Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
Δ＜0⇔方程没有实数根；
4.一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理：对于一元二次方程 如果方程有两个实数根
则
应用举例:
招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..
直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.
【例1】已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【例2】．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（ ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
招数二、已知关于两根关系式的值，求参数
利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.
【例3】 已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【例4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【例5】关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
招数三、最值问题
先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题.
【例6】若t为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16
方法、规律归纳:
1. 韦达定理：对于一元二次方程 如果方程有两个实数根
则
2.常考的变形：
实战演练:
1、已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 ．
2. 已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________．
3. 设、是方程的两个实数根，则的值为 SHAPE \* MERGEFORMAT ．
4. 已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
5. 若t为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16
6. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两实根，满足，求的值。
8.已知x1，x2 是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1-1）（x2 -1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
9. 已知关于x的一元二次方程．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
10. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
求m的取值范围；
当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．