第2章 2.7.2　抛物线的几何性质-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．
1．抛物线的几何性质
思考1：抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？
[提示] 有一条对称轴．
思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？
[提示] 抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．
思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？
[提示] 参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．
2．焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是中心对称图形．( )
(2)抛物线的范围为x∈R．( )
(3)抛物线关于顶点对称．( )
(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
[提示] (1)× 在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．
(2)× 抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．
(3)×
(4)√ 离心率都为1，正确．
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
A [∵抛物线的方程为y2＝8x，
∴其准线l的方程为x＝－2，
设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，
则d＝|PF|，
即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，
∵点P到y轴的距离是6，
∴x0＝6，
∴|PF|＝6＋2＝8．]
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝ ．
8 [∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2．
∵由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]
4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是 ．
y2＝24x或y2＝－24x [∵顶点与焦点距离为6，即eq \f(p,2)＝6，∴2p＝24，又对称轴为x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x．]
【例1】 (1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是 ．
(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
(1)y2＝5x [线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，0))，
∴抛物线的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，0))，∴其标准方程是y2＝5x．]
(2)解：椭圆的方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3．
用待定系数法求抛物线方程的步骤
提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．
eq \([跟进训练])
1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．
[解] 设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．
因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6，
因为点P到准线距离为10，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(a,2)))＝10．①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0．②
由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,x0＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝18，,x0＝1))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－18，,x0＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,x0＝－9.))
所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x．
【例2】 (1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 ．
(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长．
(1)4eq \r(3) [如图，设A(x0，y0)，
过A作AH⊥x轴于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
由∠AFO＝120°，得∠AFH＝60°，
故y0＝|AH|＝eq \r(3)(x0－1)，
所以A点的坐标为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\r(3)x0－1))，
将点A坐标代入抛物线方程可得3xeq \\al(2,0)－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝eq \f(1,3)(舍)，故S△AKF＝eq \f(1,2)×(3＋1)×2eq \r(3)＝4eq \r(3)．]
(2)解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2．
又|OA|＝|OB|，所以xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)，
即xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．
∵x1＞0，x2＞0,2p＞0，
∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称．
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝eq \f(\r(3),3)x1，与yeq \\al(2,1)＝2px1联立，
解得y1＝2eq \r(3)p．∴|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p．
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点：解决焦点弦问题．
提醒：解答本题时易忽略A，B关于x轴对称而出错．
eq \([跟进训练])
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，求抛物线的标准方程．
[解] 由已知得eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq \f(b,a)＝eq \r(3)．
即渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，而抛物线准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，－\f(\r(3),2)p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，\f(\r(3),2)p))，从而△AOB的面积为eq \f(1,2)·eq \r(3)p·eq \f(p,2)＝eq \r(3)．
可得p＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y2＝4x．
[探究问题]
以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：
(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？
[提示] ①|AB|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(p,2)))(焦点弦长与中点关系)．
②|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)．
③A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2．
④S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)．
⑤eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)(定值)．
(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？
[提示] 如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l．
所以以AB为直径的圆必与准线l相切．
(3)解决焦点弦问题需注意什么？
[提示] 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
【例3】 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在直线的方程．
[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．
[解] ∵过焦点的弦长|AB|＝eq \f(5,2)p，
∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，
设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵y2＝2px的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))．
∴直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))整理得
k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(1,4)k2p2＝0(k≠0)，
∴x1＋x2＝eq \f(k2p＋2p,k2)，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(k2p＋2p,k2)＋p，
又|AB|＝eq \f(5,2)p，
∴eq \f(k2p＋2p,k2)＋p＝eq \f(5,2)p，∴k＝±2．
∴所求直线方程为y＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))．
1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
[解] 设AB中点为M(x0，y0)，
由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝eq \f(3,2)p，
所以AB的中点M到y轴的距离为eq \f(3,4)p．
2．(变换条件)本例中，若A、B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1．
[解] 由例题解析可知AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
即x＝eq \f(1,k)y＋eq \f(p,2)，
代入y2＝2px消x可得y2＝eq \f(2p,k)y＋p2，即y2－eq \f(2p,k)y－p2＝0，∴y1y2＝－p2，
由A1点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，y1))，B1点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，y2))，得kA1F＝－eq \f(y1,p)，kB1F＝－eq \f(y2,p)．
∴kA1F·kB1F＝eq \f(y1y2,p2)＝－1，
∴∠A1FB1＝90°．
解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义．
3．抛物线y2＝±2px(p＞0)的过焦点的弦长|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x2＝±2py(p＞0)的过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值．
4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．
1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8)
A [线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)．]
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4eq \r(2)，±2) B．(±4eq \r(2)，2)
C．(±2,4eq \r(2)) D．(2，±4eq \r(2))
D [抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝16x，,x2＋y2＝x－42＋y2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝16x，,x＝2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝±4\r(2).))
所以符合题意的点为(2，±4eq \r(2))．]
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up14(→))·eq \(AF,\s\up14(→))＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2eq \r(2)) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2eq \r(2))
B [由题意知F(1,0)，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，则eq \(OA,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，eq \(AF,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),4)，－y0))，由eq \(OA,\s\up14(→))·eq \(AF,\s\up14(→))＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B．]
4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是 ．
eq \f(15,8) [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线2x2＝y，可得p＝eq \f(1,4)．
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，
∴y1＋y2＝4－eq \f(1,4)＝eq \f(15,4)，故AB的中点的纵坐标是eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(15,8)．]
5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
[解] (1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)，
由|PF|＝2得：1＋eq \f(p,2)＝2，得p＝2．
所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))
可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)．
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2k2＋4,k2)＋2＝8，
解得k＝±1，
所以k的值为1或－1．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)
2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)
3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．
通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
y2＝2px(p＞0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p＞0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p＞0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p＞0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
由抛物线的几何性质求标准方程
抛物线性质的应用
焦点弦问题