高中数学5.2 三角函数的概念优秀教案设计

5.2.1 三角函数的概念

课程标准：1.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义

2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.

3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.

教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号.

教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.

核心概念掌握

【知识导学】

知识点一 三角函数的概念

（1）单位圆中三角函数的定义

（2）三角函数的定义域

知识点二 三角函数值的符号

规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

知识点三 诱导公式（一）

【新知拓展】

（1）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.

（2）终边相同的角的同名三角函数值相等.

评价自测

1.判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若，则（√）

（2）若，则（×）

（3）已知是三角形的内角，则必有（√）

2.做一做

（1）若，且，则在（   ）

A.第一象限      B.第二象限

C.第三象限      D.第四象限

（2）若角的终边经过点，则      ，      ，

      .

（3）      .

（4）的值的符号为      .

答案   （1）D （2）      （3） （4）负

核心素养形成

题型一 三角函数的定义

例1 已知角的终边经过点，求，，的值.

[解]，

若，则，角在第二象限，

，，

；

若，则，角在第四象限，

，，.

[条件探究]在本例中，若将题设条件改为：已知角的终边在直线

上，问题不变，怎样求解？

解 因为角的终边在直线上，

所以可设为角终边上任意一点.

则.

若，则为第一象限角，，，

，.

若，则为第三象限角，，，，.

利用三角函数的定义求值的策略

（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：

方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.

方法二：在的终边上任选一点，到原点的距离为.则，已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便.

（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理.

[跟踪训练1] （1）设，角的终边与单位圆的交点为，那么的值等于（   ）

A.      B.      C.      D.

（2）已知角终边上的点，且，求的值.

答案 （1）A （2）见解析

解析（1）∵点在单位圆上，则.

即，解得.

∵，∴，

∴点的坐标为，

∴，，

∴.

（2）∵，∴，

∴，

两边平方，得.

∴，∴或.

题型二 三角函数值的符号

例2 （1）若，且，则角是（   ）

A.第一象限角      B.第二象限角

C.第三象限角       D.第四象限角

（2）判断下列各式的符号：

①；②.

[解析]（1）由可知，异号，

从而为第二、三象限角.

由可知，异号，从而为第三、四象限角.

综上可知，为第三象限角.

（2）①∵是第二象限角，∴.

∵是第三象限角，∴，

∴.

②∵，∴弧度是第三象限角，∴.

∵，

∴是第一象限角，∴.

∴.

[答案] （1）C （2）见解析.

判断给定角的三角函数值正负的步骤

（1）确定的终边所在的象限；

（2）利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断.

[跟踪训练2]（1）若三角形的两内角，满足，则此三角形必为（   ）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.以上三种情况都有可能

（2）点在第三象限，则是第      象限角.

答案 （1）B （2）二

解析 （1）三角形内角的取值范围是，故.

因为，所以，所以是钝角，故三角形是钝角三角形.

（2）因为点在第三象限，所以，，则角的终边在第二象限.

题型三 与三角函数有关的定义域问题

例3 求下列函数的定义域：

（1）；

（2）.

[解]（1）要使函数有意义，需，

∴，且，.

∴，.

于是函数的定义域是.

（2）要使函数有意义，需，

即，

解得，

∴函数的定义域是.

求解函数定义域的解题策略

（1）求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于与三角函数有关的函数定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.

（2）要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.

[跟踪训练3]求下列函数的定义域：

（1）；

（2）.

解 （1）依题意，得，

∴函数的定义域是.

（2）当且有意义时，函数才有意义，

∴.

∴函数的定义域为或.

题型四 诱导公式（一）的应用

例4 计算：（1）；

（2）.

[解] （1）原式

.

（2）原式

.

利用诱导公式化简的步骤

（1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式.

（2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值.

（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的.

[跟踪训练4]求下列各式的值：

（1）；

（2）.

解 （1）原式

.

（2）原式

.

随堂水平达标

1.如果角的终边过点，则的值等于（   ）

A.      B.

C.      D.

答案   C

解析   由题意得，它与原点的距离，所以.

2.当为第二象限角时，的值是（   ）

A.      B.

C.      D.

答案   C

解析   ∵为第二象限角，∴，，

∴.

3.在中，若，则是（   ）

A.锐角三角形      B.直角三角形

C.钝角三角形      D.锐角或钝角三角形

答案   C

解析   因为，所以，中一定有一个小于，即，中有一个钝角.

4.若角的终边上有一点，则       .

答案  

解析   ，

解得.

5.计算.

解 原式

.