湘教版九年级上册第3章 图形的相似综合与测试一课一练

这是一份湘教版九年级上册第3章 图形的相似综合与测试一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

姓名：________ 班级：________ 分数：________
第Ⅰ卷 (选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．如果eq \f(a,b)＝eq \f(3,2)，那么eq \f(a,a＋b)等于( C )
A．3 ∶2 B．2 ∶3 C．3 ∶5 D．5 ∶3
2．如果用线段a，b，c，求作线段x，使a ∶b＝c ∶x，那么下列作图正确的是( B )
3．如图，已知AB∥CD∥EF，AD ∶AF＝3 ∶5，BC＝6，CE的长为( B )
A．2 B．4 C．3 D．5
第3题图 第4题图
4．如图，某同学拿着一把12 cm长的尺子，站在距电线杆30 m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60 cm，则电线杆的高度是( D )
A．2.4 m B．24 m C．0.6 m D．6 m
5．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( C )
A.eq \f(ED,EA)＝eq \f(DF,AB) B.eq \f(DE,BC)＝eq \f(EF,FB) C.eq \f(BC,DE)＝eq \f(BF,BE) D.eq \f(BF,BE)＝eq \f(BC,AE)
第5题图 第6题图 第7题图
6．(易错题)如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有( D )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，需添加一个条件，其中不正确的是( D )
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C.eq \f(AP,AB)＝eq \f(AB,AC) D.eq \f(AB,BP)＝eq \f(AC,CB)
8．△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD ∶A′D′＝5 ∶3，下面给出的四个结论中，其中正确的结论有( B )
①eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(5,3)；②eq \f(△ABC的周长,△A′B′C′的周长)＝eq \f(5,3)；③eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq \f(5,3)；④eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(25,9).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为点C(1，2)，点D(2，0)，以原点为位似中心，将线段放大得到线段AB.若点B的坐标为(6，0)，则点A的坐标为( A )
A．(3，6) B．(2，6)
C．(3，5) D．(2.5，5)
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，△ABC中，DF∥EG∥BC，且AD＝DE＝EB，则△ABC被分成的三部分的面积比SⅠ ∶SⅡ ∶SⅢ为( B )
A．1 ∶1 ∶1 B．1 ∶3 ∶5
C．1 ∶2 ∶3 D．1 ∶4 ∶9
11．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD，AB及CB的延长线于点E，M，F，且AE ∶FB＝1 ∶2，则AH ∶AC的值为( B )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,6) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( C )
A．6 B．8 C．10 D．12
第12题图 第15题图
第Ⅱ卷 (非选择题 共84分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．清华同学有一张80 cm×60 cm的长沙市地图，他想绘制一幅较小的新地图，若新地图长为40 cm，则宽为 30cm ．
14．已知两个相似三角形对应角平分线的比为4 ∶5，周长和为18 cm，则这两个三角形的周长分别是 8cm，10cm .
15．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为 10 米．
16．(北海期末)如图，P为▱ABCD边AD上一点，E，F分别是PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝2，则S1＋S2＝ 8 ．
第16题图 第17题图 第18题图
17．(襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF.若AC＝8，AB＝10，则CD的长为 eq \f(25,8) .
18．如图，△ABC的面积为36 cm2，边BC＝12 cm，矩形DEFG的顶点D，G分别在AB，AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，则DG＝ 6 cm.
三、解答题(本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(本题满分10分)如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且AB ∶AC＝AE ∶AD.判断BE与BD的数量关系并证明．
解：BE＝BD.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB.
∵AB ∶AC＝AE ∶AD，∴△EAB∽△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC，∴∠BED＝∠BDE，
∴BE＝BD.
20．(本题满分5分)如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1 ∶2；
(2)连接(1)中的CC′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)
解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形．
(2)根据勾股定理得AC＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，
A′C′＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，所以，四边形AA′C′C的周长为1＋eq \r(5)＋2＋2eq \r(5)＝3＋3eq \r(5).
21.(本题满分6分)如图，在▱ABCD中，E是BA延长线上的一点，CE交对角线DB于点G，交AD于点F.求证：CG2＝GF·GE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，DC∥AB，
∴eq \f(CG,GF)＝eq \f(BG,DG)，eq \f(BG,DG)＝eq \f(GE,CG)，∴eq \f(CG,GF)＝eq \f(GE,CG)，
∴CG2＝GF·GE.
22．(本题满分8分)如图，等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝2，CE＝eq \f(4,3)，求等边△ABC的边长．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＋∠CDE＝180°－60°＝120°，
∠ADB＋∠DAB＝180°－60°＝120°，
∴∠CDE＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE.
(2)解：设等边△ABC的边长为x.
∵BD＝2，CE＝eq \f(4,3)，
∴BC＝AB＝x，DC＝x－2.
∵△ABD∽△DCE，
∴eq \f(DC,AB)＝eq \f(EC,BD)，∴eq \f(x－2,x)＝eq \f(\f(4,3),2)，解得x＝6，
∴等边△ABC的边长为6.
23．(本题满分8分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝6eq \r(3)，AF＝4eq \r(3)，求AE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，
∠ADE＝∠DEC.
∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.
(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8.
由(1)知△ADF∽△DEC，∴eq \f(AD,DE)＝eq \f(AF,CD)，
∴DE＝eq \f(AD·CD,AF)＝eq \f(6\r(3)×8,4\r(3))＝12.
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝eq \r(DE2－AD2)＝eq \r(122－（6\r(3)）2)＝6.
24．(本题满分8分)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求eq \f(AC,AF)的值．
(1)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB.
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD ∶AC＝AC ∶AB，∴AC2＝AB·AD.
(2)证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝eq \f(1,2)AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA.
∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD.
(3)解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD ∶CE＝AF ∶CF.
∵CE＝eq \f(1,2)AB，∴CE＝eq \f(1,2)× 6＝3.∵AD＝4，∴eq \f(4,3)＝eq \f(AF,CF)，∴eq \f(AC,AF)＝eq \f(7,4).
25．(本题满分11分)如图，点E是正方形ABCD边BC上的一点(不与点B，C重合)，点F在CD边的延长线上，连接EF交AC，AD于点G，H.
(1)请写出两对相似三角形(不添加任何辅助线)；
(2)当DF＝BE时，求证：AF2＝AG·AC.
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△DHF∽△CEF，△AHG∽△CEG.
(2)证明：连接AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴∠ADF＝∠BAD＝90°.
在△ABE与△ADF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,∠B＝∠ADF，,BE＝DF，))
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠EAD＋∠DAF＝∠EAD＋∠BAE＝∠BAD＝90°，
∴∠AFE＝45°.
∵∠ACD＝45°＝∠AFE，
∴△AFG∽△ACF，
∴eq \f(AF,AC)＝eq \f(AG,AF)，
∴AF2＝AG·AC.
26．(本题满分10分)在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，将三角尺的直角顶点放在点P处，三角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF(如图①)．
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图②)，求PC的长；
(2)将三角尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转．当点E和点A重合时停止．在这个过程中，PE＝x，PF＝y，写出y关于x的函数表达式，并说明理由．
① ②
解：(1)如图②中，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AP＝1，
CD＝AB＝2，则PB＝eq \r(5)，
∴∠ABP＋∠APB＝90°，
∵∠BPC＝90°，∴∠APB＋∠DPC＝90°，
∴∠ABP＝∠DPC，∴△APB∽△DCP，
∴eq \f(AP,CD)＝eq \f(PB,PC)，即eq \f(1,2)＝eq \f(\r(5),PC)，
∴PC＝2eq \r(5).
(2)结论：y＝2x(1≤x≤eq \r(5))．
理由：如图①中，过点F作FG⊥AD，垂足为G.
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A＝∠PGF＝90°，GF＝AB＝2，
∴∠AEP＋∠APE＝90°.
∵∠EPF＝90°，
∴∠APE＋∠GPF＝90°，
∴∠AEP＝∠GPF，
∴△APE∽△GFP，
∴eq \f(PF,PE)＝eq \f(GF,AP)＝eq \f(2,1)＝2，
∴eq \f(y,x)＝2，
∴y＝2x(1≤x≤eq \r(5))．