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安徽省合肥市2020-2021学年八年级下学期期末数学模拟试卷（word版 含答案）
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这是一份安徽省合肥市2020-2021学年八年级下学期期末数学模拟试卷（word版 含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥2021B．x≤2021C．x＞2021D．x＜2021
2．下列计算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x（x﹣3）﹣x2＝0B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣3x﹣2＝0D．2x2﹣y﹣1＝0
4．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+2＝0B．4x2﹣4x﹣1＝0C．3x2+4x+4＝0D．4x2﹣5x+2＝0
5．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣2+B．﹣1C．﹣1﹣D．2﹣
6．由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（ ）
A．490（1﹣2x）＝1000B．1000（1﹣x2）＝490
C．1000•（）2＝490D．1000＝490
7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝2aB．a2+b2＝c2C．a：b＝1：D．b2＝2a2
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′的最小值是（ ）
A．﹣2B．+2C．﹣3D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若＝m，＝n，则＝ （用含m、n的代数式表示）．
12．（5分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2m2﹣4m+2021的值为 ．
13．（5分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长 ．
14．（5分）已知平行四边形ABCD的四个顶点都在某一个矩形上，其中BD为这个矩形的对角线，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则这个矩形的周长是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）化简：．
16．（8分）解方程：2（x﹣3）＝x（3﹣x）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）根据以下提供的n边形信息，求n边形的内角和．
（1）n边形的对角线总条数为（n≥3）
（2）n边形的对角线总条数与边数相等．
18．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
20．（10分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为选拔优秀选手参加瑶海区第八届德育文化艺术节“诵经典”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示
（1）根据图示填写下表
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班五名选手的成绩较稳定．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响，汽车销售行业处于不景气状态，2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车，于2020年10月份销售该型号汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．
（1）求11月份和12月份的平均增长率；
（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．
（3）如图3，若G为DC中点，AB＝2，求EF的长．
2020-2021学年安徽省合肥市八年级（下）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥2021B．x≤2021C．x＞2021D．x＜2021
【分析】直接利用二次根式有意义被开方数是非负数，再结合分式有意义分母不等于零即可得出答案．
【解答】解：要使有意义，则2021﹣x＞0，
解得：x＜2021．
故选：D．
2．下列计算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法和二次根式的除法以及二次根式的性质进行化简计算，然后作出判断．
【解答】解：A.，故此选项不符合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x（x﹣3）﹣x2＝0B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣3x﹣2＝0D．2x2﹣y﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项，原方程化简得：﹣3x＝0，不符合题意；
B选项，没有强调a≠0，不符合题意；
C选项，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，符合题意；
D选项，含有2个未知数，不符合题意；
故选：C．
4．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+2＝0B．4x2﹣4x﹣1＝0C．3x2+4x+4＝0D．4x2﹣5x+2＝0
【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【解答】解：A．此选项方程根的判别式△＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式△＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝32＞0，此方程有两个不相等的实数根；
C．此选项方程根的判别式△＝42﹣4×3×4＝﹣32＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式△＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，此方程没有实数根；
故选：B．
5．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣2+B．﹣1C．﹣1﹣D．2﹣
【分析】利用勾股定理求出线段的长度，再用该值加﹣2即可得出a的值．
【解答】解：∵＝，
∴a＝﹣2+．
故选：A．
6．由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（ ）
A．490（1﹣2x）＝1000B．1000（1﹣x2）＝490
C．1000•（）2＝490D．1000＝490
【分析】设该店冬装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该店冬装原本打x折，
依题意，得：1000•（）2＝490．
故选：C．
7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差依次为0.60、0.62、0.50、0.44，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝2aB．a2+b2＝c2C．a：b＝1：D．b2＝2a2
【分析】根据直角三角形的性质得到c＝2a，根据勾股定理计算，判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴c＝2a，A正确，不符合题意；
由勾股定理得，a2+b2＝c2，B正确，不符合题意；
b＝＝a，即a：b＝1：，C正确，不符合题意；
b2＝3a2，D错误，符合题意，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．
B、∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．
C、因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．
D、如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′的最小值是（ ）
A．﹣2B．+2C．﹣3D．1
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，由勾股定理得出AC＝＝，得出CB'＝AC﹣AB'＝﹣2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，
由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，
当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，
此时AC＝＝＝，
∴CB'＝AC﹣AB'＝﹣2；
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若＝m，＝n，则＝ 10mn （用含m、n的代数式表示）．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则将原式变形计算得出答案．
【解答】解：∵＝m，＝n，
∴＝10•＝10mn．
故答案为：10mn．
12．（5分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2m2﹣4m+2021的值为 2023 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m＝1，再把2m2﹣4m+2021表示为2（m2﹣2m）+2021，然后整体代入计算即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2021＝2（m2﹣2m）+2021＝2×1+2021＝2023．
故答案为：2023．
13．（5分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长 3 ．
【分析】证明△ABQ≌△EBQ，则AQ＝EQ，AB＝BE，同理AQ＝DP，AP＝DP，则PQ是△ADE的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，
∴AB+AC＝26﹣10＝16，
∵∠ABC的平分线垂直于AE，
∴在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ，
∴AQ＝EQ，AB＝BE，
同理，AP＝DP，AC＝CD，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝16﹣10＝6，
∵AQ＝DP，AP＝DP，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴PQ＝DE＝3．
故答案是：3．
14．（5分）已知平行四边形ABCD的四个顶点都在某一个矩形上，其中BD为这个矩形的对角线，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则这个矩形的周长是 7+或8+ ．
【分析】分为两种情况，画出图形，①解直角三角形求出AG和DG，再求出矩形的候车即可；②解直角三角形求出BE和AE，再求出矩形的周长即可．
【解答】解：分为两种情况：①如图，分别过D、B作DG⊥BA，BH⊥DC，垂足分别为G、H；
则四边形BHDG为矩形，
所以BH＝DG，HC＝AG，∠HBA＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠HBC＝30°，
则HC＝，由勾股定理得：BH＝＝；
∴矩形BHDG的周长＝2（++2）＝7+；
②如图，分别过B、D作BE⊥DA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；
则四边形BEDF为矩形；
所以BE＝DF，AE＝CF，∠E＝∠EBF＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
则AE＝1；BE＝＝；
∴矩形BEDF的周长＝2（+1+3）＝8+，
故答案为：7+或8+．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）化简：．
【分析】先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：原式＝（6﹣+4）÷2
＝3﹣+2
＝．
16．（8分）解方程：2（x﹣3）＝x（3﹣x）．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）＝x（3﹣x），
2（x﹣3）+x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x﹣3＝0，x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）根据以下提供的n边形信息，求n边形的内角和．
（1）n边形的对角线总条数为（n≥3）
（2）n边形的对角线总条数与边数相等．
【分析】根据n边形的对角线总条数与边数相等，可得多边形，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：由题意，得
＝n，即n2﹣5n＝0，
解得n＝5，n＝0舍，
由内角和公式，得
（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝540°．
18．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
【分析】（1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为；
（2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为，再根据面积为3确定△DEF．
【解答】解：（1）如图所示：线段AB即为所求；
（2）△DEF即为所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（4m﹣4）＝（m﹣5）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（4m﹣4）＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
20．（10分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）利用矩形的性质以及折叠的性质，判定△ANF≌△CME，即可得出AF＝CE；
（2）设CE＝x，则EM＝BE＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，利用勾股定理即可得到CE的长，进而得出四边形AECF的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，
由折叠性质知，AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，
∴∠ANF＝∠CME＝90°，
∴AM＝CN，
∴AM﹣MN＝CN﹣MN，即AN＝CM，
∵AD∥BC，
∴∠FAN＝∠ECM，
在△ANF和△CME中，
，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF＝CE；
（2）∵AB＝6，AC＝10，
∴BC＝8，
设CE＝x，则EM＝BE＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，
在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
由（1）可得AF＝CE，
∵AB∥CD，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的面积为：EC•AB＝5×6＝30．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为选拔优秀选手参加瑶海区第八届德育文化艺术节“诵经典”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示
（1）根据图示填写下表
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班五名选手的成绩较稳定．
【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；
（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
（3）根据方差公式计算即可：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“等于差方的平均数”）．
【解答】解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
∴九（1）的中位数为85，
把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，
∴九（2）的平均数为（70+75+80+100+100）÷5＝85，
九（2）班的众数是100；
（2）九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．
（3）＝[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．
∵＜，
∴九（1）班五名选手的成绩较稳定．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响，汽车销售行业处于不景气状态，2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车，于2020年10月份销售该型号汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．
（1）求11月份和12月份的平均增长率；
（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）
【分析】（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，利用12月份该公司销售该型号汽车的数量＝10月份该公司销售该型号汽车的数量×（1+增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据每辆车的利润＝售价﹣进价+每辆车的返利，结合2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其中的最小整数值，再利用总利润＝每辆车的利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，
依题意得：20（1+x）²＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：11月份和12月份的平均增长率为50%．
（2）依题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，
解得：a≥53．
又∵a为整数，
∴a可取的最小值为54，
∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．
答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．
（3）如图3，若G为DC中点，AB＝2，求EF的长．
【分析】（1）由ASA证得△BCG≌△DCE，即可得出结论；
（2）由等腰三角形三线合一得出DF＝EF，由CF是Rt△DCE的中线，得出CF＝EF，则∠E＝∠FCE，由角平分线的性质得出∠FBE＝∠DBE＝22.5°，推出∠E＝67.5°，则∠FCE＝67.5°，∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝67.5°，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得出∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD＝AB＝2，由G为DC中点，得CG＝1，在Rt△BCG中，由勾股定理得BG＝，设GF＝x，在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得（2）2﹣（+x）2＝12﹣x2，解得x＝，求出DF＝，由（1）知△BCG≌△DCE，得BG＝DE＝，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠DGF＝∠BGC，
∴∠GBC＝∠EDC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG＝CE；
（2）证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，
∴DF＝EF，
∴CF是Rt△DCE的中线，
∴CF＝EF，
∴∠E＝∠FCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
∵BF平分∠DBE，
∴∠FBE＝∠DBE＝22.5°，
∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠FCE＝67.5°，
∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ACF＝∠FEC，
∴CF平分∠ACE；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD＝AB＝2，
∵G为DC中点，
∴CG＝GD＝CD＝1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝＝＝，
设GF＝x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2，
∴（2）2﹣（+x）2＝12﹣x2，
解得：x＝，
∴DF2＝12﹣（）2＝，
∴DF＝，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE＝，
∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．
方法2：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD＝AB＝2，
∵G为DC中点，
∴CG＝GD＝CD＝1，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE＝，
∵△BGD面积＝BC×DG＝DF×BG，
∴DF＝＝＝，
∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．
统计量
甲
乙
丙
丁
平均数
9.2
9.2
9.2
9.2
方差
0.60
0.62
0.50
0.44
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
九（2）
80
统计量
甲
乙
丙
丁
平均数
9.2
9.2
9.2
9.2
方差
0.60
0.62
0.50
0.44
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
85
九（2）
85
80
100
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
85
九（2）
85
80
100
1．要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥2021B．x≤2021C．x＞2021D．x＜2021
2．下列计算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x（x﹣3）﹣x2＝0B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣3x﹣2＝0D．2x2﹣y﹣1＝0
4．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+2＝0B．4x2﹣4x﹣1＝0C．3x2+4x+4＝0D．4x2﹣5x+2＝0
5．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣2+B．﹣1C．﹣1﹣D．2﹣
6．由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（ ）
A．490（1﹣2x）＝1000B．1000（1﹣x2）＝490
C．1000•（）2＝490D．1000＝490
7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝2aB．a2+b2＝c2C．a：b＝1：D．b2＝2a2
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′的最小值是（ ）
A．﹣2B．+2C．﹣3D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若＝m，＝n，则＝ （用含m、n的代数式表示）．
12．（5分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2m2﹣4m+2021的值为 ．
13．（5分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长 ．
14．（5分）已知平行四边形ABCD的四个顶点都在某一个矩形上，其中BD为这个矩形的对角线，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则这个矩形的周长是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）化简：．
16．（8分）解方程：2（x﹣3）＝x（3﹣x）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）根据以下提供的n边形信息，求n边形的内角和．
（1）n边形的对角线总条数为（n≥3）
（2）n边形的对角线总条数与边数相等．
18．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
20．（10分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为选拔优秀选手参加瑶海区第八届德育文化艺术节“诵经典”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示
（1）根据图示填写下表
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班五名选手的成绩较稳定．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响，汽车销售行业处于不景气状态，2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车，于2020年10月份销售该型号汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．
（1）求11月份和12月份的平均增长率；
（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．
（3）如图3，若G为DC中点，AB＝2，求EF的长．
2020-2021学年安徽省合肥市八年级（下）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥2021B．x≤2021C．x＞2021D．x＜2021
【分析】直接利用二次根式有意义被开方数是非负数，再结合分式有意义分母不等于零即可得出答案．
【解答】解：要使有意义，则2021﹣x＞0，
解得：x＜2021．
故选：D．
2．下列计算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法和二次根式的除法以及二次根式的性质进行化简计算，然后作出判断．
【解答】解：A.，故此选项不符合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x（x﹣3）﹣x2＝0B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣3x﹣2＝0D．2x2﹣y﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项，原方程化简得：﹣3x＝0，不符合题意；
B选项，没有强调a≠0，不符合题意；
C选项，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，符合题意；
D选项，含有2个未知数，不符合题意；
故选：C．
4．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+2＝0B．4x2﹣4x﹣1＝0C．3x2+4x+4＝0D．4x2﹣5x+2＝0
【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【解答】解：A．此选项方程根的判别式△＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式△＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝32＞0，此方程有两个不相等的实数根；
C．此选项方程根的判别式△＝42﹣4×3×4＝﹣32＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式△＝（﹣5）2﹣4×4×2＝﹣7＜0，此方程没有实数根；
故选：B．
5．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣2+B．﹣1C．﹣1﹣D．2﹣
【分析】利用勾股定理求出线段的长度，再用该值加﹣2即可得出a的值．
【解答】解：∵＝，
∴a＝﹣2+．
故选：A．
6．由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（ ）
A．490（1﹣2x）＝1000B．1000（1﹣x2）＝490
C．1000•（）2＝490D．1000＝490
【分析】设该店冬装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该店冬装原本打x折，
依题意，得：1000•（）2＝490．
故选：C．
7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差依次为0.60、0.62、0.50、0.44，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁；
故选：D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝2aB．a2+b2＝c2C．a：b＝1：D．b2＝2a2
【分析】根据直角三角形的性质得到c＝2a，根据勾股定理计算，判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴c＝2a，A正确，不符合题意；
由勾股定理得，a2+b2＝c2，B正确，不符合题意；
b＝＝a，即a：b＝1：，C正确，不符合题意；
b2＝3a2，D错误，符合题意，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．
B、∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．
C、因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．
D、如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．
故选：D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处，连接CB′，则CB′的最小值是（ ）
A．﹣2B．+2C．﹣3D．1
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，BC＝AD＝3，由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，由勾股定理得出AC＝＝，得出CB'＝AC﹣AB'＝﹣2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝AD＝3，
由折叠的性质得：AB'＝AB＝2，
当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，
此时AC＝＝＝，
∴CB'＝AC﹣AB'＝﹣2；
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若＝m，＝n，则＝ 10mn （用含m、n的代数式表示）．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则将原式变形计算得出答案．
【解答】解：∵＝m，＝n，
∴＝10•＝10mn．
故答案为：10mn．
12．（5分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2m2﹣4m+2021的值为 2023 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m＝1，再把2m2﹣4m+2021表示为2（m2﹣2m）+2021，然后整体代入计算即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2021＝2（m2﹣2m）+2021＝2×1+2021＝2023．
故答案为：2023．
13．（5分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长 3 ．
【分析】证明△ABQ≌△EBQ，则AQ＝EQ，AB＝BE，同理AQ＝DP，AP＝DP，则PQ是△ADE的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC的周长是26，BC＝10，
∴AB+AC＝26﹣10＝16，
∵∠ABC的平分线垂直于AE，
∴在△ABQ和△EBQ中，
，
∴△ABQ≌△EBQ，
∴AQ＝EQ，AB＝BE，
同理，AP＝DP，AC＝CD，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝16﹣10＝6，
∵AQ＝DP，AP＝DP，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴PQ＝DE＝3．
故答案是：3．
14．（5分）已知平行四边形ABCD的四个顶点都在某一个矩形上，其中BD为这个矩形的对角线，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则这个矩形的周长是 7+或8+ ．
【分析】分为两种情况，画出图形，①解直角三角形求出AG和DG，再求出矩形的候车即可；②解直角三角形求出BE和AE，再求出矩形的周长即可．
【解答】解：分为两种情况：①如图，分别过D、B作DG⊥BA，BH⊥DC，垂足分别为G、H；
则四边形BHDG为矩形，
所以BH＝DG，HC＝AG，∠HBA＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠HBC＝30°，
则HC＝，由勾股定理得：BH＝＝；
∴矩形BHDG的周长＝2（++2）＝7+；
②如图，分别过B、D作BE⊥DA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；
则四边形BEDF为矩形；
所以BE＝DF，AE＝CF，∠E＝∠EBF＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
则AE＝1；BE＝＝；
∴矩形BEDF的周长＝2（+1+3）＝8+，
故答案为：7+或8+．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）化简：．
【分析】先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：原式＝（6﹣+4）÷2
＝3﹣+2
＝．
16．（8分）解方程：2（x﹣3）＝x（3﹣x）．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）＝x（3﹣x），
2（x﹣3）+x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x﹣3＝0，x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）根据以下提供的n边形信息，求n边形的内角和．
（1）n边形的对角线总条数为（n≥3）
（2）n边形的对角线总条数与边数相等．
【分析】根据n边形的对角线总条数与边数相等，可得多边形，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：由题意，得
＝n，即n2﹣5n＝0，
解得n＝5，n＝0舍，
由内角和公式，得
（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝540°．
18．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
【分析】（1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为；
（2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为，再根据面积为3确定△DEF．
【解答】解：（1）如图所示：线段AB即为所求；
（2）△DEF即为所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0；
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（4m﹣4）＝（m﹣5）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（4m﹣4）＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
20．（10分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）利用矩形的性质以及折叠的性质，判定△ANF≌△CME，即可得出AF＝CE；
（2）设CE＝x，则EM＝BE＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，利用勾股定理即可得到CE的长，进而得出四边形AECF的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，
由折叠性质知，AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，
∴∠ANF＝∠CME＝90°，
∴AM＝CN，
∴AM﹣MN＝CN﹣MN，即AN＝CM，
∵AD∥BC，
∴∠FAN＝∠ECM，
在△ANF和△CME中，
，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF＝CE；
（2）∵AB＝6，AC＝10，
∴BC＝8，
设CE＝x，则EM＝BE＝8﹣x，CM＝10﹣6＝4，
在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
由（1）可得AF＝CE，
∵AB∥CD，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的面积为：EC•AB＝5×6＝30．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为选拔优秀选手参加瑶海区第八届德育文化艺术节“诵经典”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示
（1）根据图示填写下表
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班五名选手的成绩较稳定．
【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；
（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
（3）根据方差公式计算即可：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“等于差方的平均数”）．
【解答】解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
∴九（1）的中位数为85，
把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，
∴九（2）的平均数为（70+75+80+100+100）÷5＝85，
九（2）班的众数是100；
（2）九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．
（3）＝[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．
∵＜，
∴九（1）班五名选手的成绩较稳定．
七、（本题满分12分）
22．（12分）2020年上半年受到新冠状肺炎疫情的影响，汽车销售行业处于不景气状态，2020年下半年合肥某汽车销售公司推行了一种新型低能耗汽车，于2020年10月份销售该型号汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．
（1）求11月份和12月份的平均增长率；
（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）
【分析】（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，利用12月份该公司销售该型号汽车的数量＝10月份该公司销售该型号汽车的数量×（1+增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据每辆车的利润＝售价﹣进价+每辆车的返利，结合2021年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其中的最小整数值，再利用总利润＝每辆车的利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x，
依题意得：20（1+x）²＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：11月份和12月份的平均增长率为50%．
（2）依题意得：11﹣10+0.03a≥2.6，
解得：a≥53．
又∵a为整数，
∴a可取的最小值为54，
∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．
答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）如图2，连接FC、AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE．
（3）如图3，若G为DC中点，AB＝2，求EF的长．
【分析】（1）由ASA证得△BCG≌△DCE，即可得出结论；
（2）由等腰三角形三线合一得出DF＝EF，由CF是Rt△DCE的中线，得出CF＝EF，则∠E＝∠FCE，由角平分线的性质得出∠FBE＝∠DBE＝22.5°，推出∠E＝67.5°，则∠FCE＝67.5°，∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝67.5°，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得出∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD＝AB＝2，由G为DC中点，得CG＝1，在Rt△BCG中，由勾股定理得BG＝，设GF＝x，在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得（2）2﹣（+x）2＝12﹣x2，解得x＝，求出DF＝，由（1）知△BCG≌△DCE，得BG＝DE＝，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG＝∠BCG＝90°，
∵∠DGF＝∠BGC，
∴∠GBC＝∠EDC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG＝CE；
（2）证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，
∴DF＝EF，
∴CF是Rt△DCE的中线，
∴CF＝EF，
∴∠E＝∠FCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
∵BF平分∠DBE，
∴∠FBE＝∠DBE＝22.5°，
∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠FCE＝67.5°，
∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ACF＝∠FEC，
∴CF平分∠ACE；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD＝AB＝2，
∵G为DC中点，
∴CG＝GD＝CD＝1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG＝＝＝，
设GF＝x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2，
∴（2）2﹣（+x）2＝12﹣x2，
解得：x＝，
∴DF2＝12﹣（）2＝，
∴DF＝，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE＝，
∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．
方法2：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD＝AB＝2，
∵G为DC中点，
∴CG＝GD＝CD＝1，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG＝DE＝，
∵△BGD面积＝BC×DG＝DF×BG，
∴DF＝＝＝，
∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．
统计量
甲
乙
丙
丁
平均数
9.2
9.2
9.2
9.2
方差
0.60
0.62
0.50
0.44
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
九（2）
80
统计量
甲
乙
丙
丁
平均数
9.2
9.2
9.2
9.2
方差
0.60
0.62
0.50
0.44
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
85
九（2）
85
80
100
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
85
九（2）
85
80
100
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