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数学人教版第十五章 分式综合与测试教案
展开专题15.11 分式 全章复习与巩固
(知识讲解)
【学习目标】
1. 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则.
3.掌握分式的四则运算.
4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的 知识体系.
5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1.分式
一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母.
要点诠释:分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式才有意义.
2.分式的基本性质
(M为不等于0的整式).
3.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简.
要点二、分式的运算
1.约分
利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.
2.通分
利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.
3.基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
(1)加减运算
;同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.
(2)乘法运算 ,其中是整式,.
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.
(3)除法运算 ,其中是整式,.
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘.
(4)乘方运算
分式的乘方,把分子、分母分别乘方.
4.零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.
3.分式方程的增根问题
增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会出现不适合原方程的根---增根.
要点诠释:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解.
【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
1、在中,分式的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C;
【解析】是分式.
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
2、当为何值时,分式的值为0?
【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值,再检验这个值是否使分母的值等于0,当它使分母的值不等于0时,这个值就是要求的字母的值.
【答案与解析】
解: 要使分式的值为0,必须满足分子等于0且分母不等于0.
由题意,得 解得.
∴ 当时,分式的值为0.
【总结升华】分式的值为0的条件是:分子为0,且分母不为0,即只有在分式有意义的前提下,才能考虑分式值的情况.
举一反三:
【变式】(1)若分式的值等于零,则=_______;
(2)当________时,分式没有意义.
【答案】(1)由=0,得. 当=2时-2=0,所以=-2;
(2)当,即=1时,分式没有意义.
类型二、分式运算
3、计算:.
【答案与解析】
解:
.
【总结升华】本题有两处易错:一是不按运算顺序运算,把和先约分;二是将和约分后的结果错认为是1.因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键.
举一反三:
【变式】计算:.
【答案】
解:原式=
=
= .
4、计算:
(1); (2);
(3);(4).
【思路点拨】(1)题和(2)题只有乘除运算,按幂的乘法和除法法则进行计算;(3)题中出现了分式,可先将每一个分式转化为整数指数幂,然后再用法则计算;(4)题中出现了整数幂的乘法、除法、乘方计算;先算乘方,再算乘除.
【答案与解析】
解:(1)原式;
(2)原式;
(3)原式
;
(4)原式
.
【总结升华】(1)整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示.如:(4)题中的结果得到后,还要化为.(2)进行混合运算时特别要注意运算顺序.
类型三、分式方程的解法
5、解方程
【答案与解析】
解:
方程两边同乘以,得
检验: 当时,最简公分母≠0,
∴是原方程的解.
【总结升华】分式方程一定要记得检验.
举一反三:
【变式】,
【答案】 解: 方程两边同乘以,得
检验:当时,最简公分母,
∴是原方程的解.
类型四、分式方程的应用
6、 某市为治理污水,需要铺设一条全长为600米的污水排放管道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天的工效比原计划增加20%,结果提前5天完成这一任务,原计划每天铺设多少米管道?
【思路点拨】先设原计划每天铺设x米管道,则实际施工时,每天的铺设管道(1+20%)x米,由题意可得等量关系:原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5,然后列出方程可求出结果,最后检验并作答.
【答案与解析】解:设原计划每天铺设x米管道,由题意得:
﹣=5,
解得:x=20,
经检验:x=20是原方程的解.
答:原计划每天铺设20米管道.
【总结升华】本题主要考查分式方程的应用,解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.
举一反三:
【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上,并且小明上学要路过王老师家,小明到王老师家的路程为3 km,王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线,为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20 min,王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?
【答案】解:设王老师步行的速度为 km/h,则他骑自行车的速度为3 km/h.
根据题意得:.
解得:.
经检验是原方程的根且符合题意.
当时,.
答:王老师步行的速度为5km/h,他骑自行车的速度为15km/h.
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