第三章 3.2导数的应用-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤：

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【知识拓展】

1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

题型一  基础

【例1】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)

(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)

(6)三次函数在R上必有极大值和极小值．(　　)

【同步练习】

1．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　)

A．(0,4)   B．(0,2)

C．(4，＋∞)   D．(－∞，0)

2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数

B．在区间(1,3)上f(x)是减函数

C．在区间(4,5)上f(x)是增函数

D．当x＝2时，f(x)取到极小值

3．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为(　　)

A．(1，＋∞)   B．(－∞，－1)

C．(－1,1)   D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．

题型二　不含参数的函数的单调性

【例2】　(1)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)

A．(－1,1)   B．(0,1)

C．(1，＋∞)   D．(0，＋∞)

(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________________．

【同步练习】

1、(1)函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)

A．(0，＋∞)   B.

C．(－∞，－1)   D.

(2)已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　)

A．在(0，＋∞)上递增   B．在(0，＋∞)上递减

C．在(0，)上递增   D．在(0，)上递减

题型三　含参数的函数的单调性

【例3】　已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)．

(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；

(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

【同步练习】1、讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．

题型四　已知函数单调性求参数

【例4】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．

【同步练习】

1．本题(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．

2．本题(2)中，若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．

3、已知函数f(x)＝exln x－aex(a∈R)．

(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；

(2)若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．

【例5】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．

(1)确定a与b的关系；

(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．

1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；

(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．

2．可导函数极值存在的条件：

(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)＝0，但当f′(x1)＝0时，x1不一定是极值点．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．

(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．

3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2)   B．(0,3)

C．(1,4)   D．(2，＋∞)

2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

3．已知f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(　　)

A．f(2)>f(3)>f(π)

B．f(3)>f(2)>f(π)

C．f(2)>f(π)>f(3)

D．f(π)>f(3)>f(2)

4．已知函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)   B．(－∞，0)∪(0,1]

C．(0,1]   D．(－∞，0)∪[1，＋∞)

5．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)

A．f(b)>f(c)>f(d)

B．f(b)>f(a)>f(e)

C．f(c)>f(b)>f(a)

D．f(c)>f(e)>f(d)

6．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)

D．(0,1)∪(1，＋∞)

7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.

8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________________．

9．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在[，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．

10．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________．

11．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

12．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

13．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.

(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；

(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．