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2021年湖北省武汉市青山区中考数学模拟训练试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年湖北省武汉市青山区中考数学模拟训练试卷（一）（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省武汉市青山区中考数学模拟训练试卷（一）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．实数﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
3．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数和等于9
D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
4．武汉市教委高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，由4个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
7．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，在四边形ABCD 中AB∥CD，∠B＝90°，动点P从点B出发沿折线B→A→D→C的方向以1个单位长度/秒的速度运动．在整个运动的过程中，△BCP的面积S（平方单位与运动时间（秒）（ ）
A． B．8 C． D．10
9．如图，AB是半⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AD，CE⊥AD于点E．则（ ）
A．3 B．2 C．+1 D．3﹣1
10．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是（ ）
A．9999 B．9910 C．9901 D．9801
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算的结果是 ．
12．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，56，80 ．
13．计算+的结果是 ．
14．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，那么∠ABE＝ ．
15．小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1 （h为常数）时，得到如下结论：
①无论x取何实数，y的值都小于0；
②该抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
③当x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2；
④该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h，则y1＞y2．其中一定正确的是 （填序号即可）．
16．如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于E点，BC＝AC＝DC，则tan∠ABD•tan∠ADB＝ ．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：（2a2）2﹣a•3a3+a5÷a．
18．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°
19．（8分）为了解学生网上课堂的学习效果，某中学随机抽取了部分九年级学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“不合格“四个等次中，选择一项作为自我评价网课学习的效果，请结合图中所给的信息解答下列问题
（1）这次活动共抽查了 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为 ．
（3）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生网课学习效果为良好和优秀学生共多少名？
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求作图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在AD上找一点E，使＝；
（2）在CD上找一点F，连接FE，使FE∥AB；
（3）在CD上找一点M，连接AM，使AM平分四边形ABCD的面积．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且∠CAD＝∠ABD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
22．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现（件）与售价x （元/件） （x为正整数）之间满足一次函数关系
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自交量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．
①若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？
②抗疫期间，该商场决定每销售一件这种品牌商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AD，求证：AC2＝AD•AB；
（2）如图2．若AC＝BC，EF⊥CD交BC于点E，交AC于点F，且＝，求的值；
（3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，CH＝3DH，则tan∠ACH的值为
．
24．（12分）已知抛物线y＝2x2+bx+c与x轴的交点为A、B，顶点为D．
（1）若点A、点B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P使△BCP为直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝x+h交于E、F两点，点M在EF之间的抛物线上运动，MN∥y轴，是否为定值，并说明理由．
2021年湖北省武汉市青山区中考数学模拟训练试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．实数﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
【解答】解：实数﹣的相反数是，
故选：A．
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣4．
故选：B．
3．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数和等于9
D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，故此选项错误；
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，故此选项错误；
C、两枚骰子向上一面的点数之和等于5，故此选项正确；
D、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，故此选项错误；
故选：C．
4．武汉市教委高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：D．
5．如图，由4个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，底层右边是一个小正方形．
故选：D．
6．已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】根据反比例函数的性质得到函数y＝（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．
【解答】解：∵k＞0，
∴函数y＝（k＞0）的图象分布在第一，在每一象限，
∵﹣4＜0＜2＜7，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：C．
7．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转（ ）
A． B． C． D．
【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选：B．
8．如图1，在四边形ABCD 中AB∥CD，∠B＝90°，动点P从点B出发沿折线B→A→D→C的方向以1个单位长度/秒的速度运动．在整个运动的过程中，△BCP的面积S（平方单位与运动时间（秒）（ ）
A． B．8 C． D．10
【分析】当t＝5时，点P到达A处，即AB＝5；当s＝40时，点P到达点D处，即可求解．
【解答】解：当t＝5时，点P到达A处，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC＝AD，
∴DE＝CE＝，
当s＝40时，点P到达点D处•BC＝，
则BC＝8，
AD＝AC＝．
故选：C．
9．如图，AB是半⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AD，CE⊥AD于点E．则（ ）
A．3 B．2 C．+1 D．3﹣1
【分析】如图，连接AC，BC，CD，在EA上取一点T，使得EC＝ET，连接CT．证明TA＝TC＝EC，EC＝DE，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，CD，使得EC＝ET．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴AC＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB＝22.5°，
∵∠ADC＝∠ABC＝45°，CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝∠EDC＝45°，
∴EC＝DE，
设EC＝DE＝ET＝m，则CT＝m，
∵∠ETC＝45°＝∠TAC+∠ACT，
∴∠TAC＝∠TCA＝22.5°，
∴AT＝TC＝m，
∴AE＝m+m，
∴＝＝+1，
故选：C．
10．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是（ ）
A．9999 B．9910 C．9901 D．9801
【分析】根据“23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19”，归纳出m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m﹣1）+1，把m＝100代入，计算求值即可．
【解答】解：23＝3+5；32＝7+9+11；83＝13+15+17+19；
∵3＝2×1+1，
8＝3×2+5，
13＝4×3+2，
∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m﹣1）+4，
∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99+1＝9901，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算的结果是 3 ．
【分析】由表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵32＝5，
∴＝3．
故填2．
12．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，56，80 72 ．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：56，61，74，91，
故中位数是（70+74）÷2＝72．
故答案为：72．
13．计算+的结果是 1 ．
【分析】先化简，再通分，最后进行分式的加减．
【解答】解：+
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝5．
14．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，那么∠ABE＝ 51° ．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，由三角形内角和定理求出∠ABD＝102°，即可得出∠ABE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝52°，
由折叠的性质得：∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，
∵EF＝DF，
∴∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠EDF＝102°，
∴∠ABE＝∠ABD＝51°；
故答案为：51°．
15．小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1 （h为常数）时，得到如下结论：
①无论x取何实数，y的值都小于0；
②该抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
③当x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2；
④该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h，则y1＞y2．其中一定正确的是 ②④ （填序号即可）．
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质判断即可．
【解答】解：①∵y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1，
∴当h＜4时，函数的最大值为y＝﹣h+1＞0；
②∵抛物线y＝﹣（x﹣h）7﹣h+1的顶点为（h，﹣h+1），
∴抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+4上，故②正确；
③∵抛物线开口向下，当x＜2时，
∴h≥2，故③错误；
④∵抛物线上有两点A（x7，y1），B（x2，y4），若x1＜x2，x2+x2＞2h，
∴＞h，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴y7＞y2，故④正确，
故答案为：②④
16．如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于E点，BC＝AC＝DC，则tan∠ABD•tan∠ADB＝ ．
【分析】由BC＝AC＝DC知A、B、D在以C为圆心的圆上，延长AC交⊙C于点F，连接DF、BF，由圆周角定理知∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD、∠ADB＝∠AFB，证△ABE∽△DFE、△ADE∽△BFE得＝、＝，从而由tan∠ABD•tan∠ADB＝tan∠AFD•tan∠AFB＝•＝•＝•＝可得答案．
【解答】解：∵BC＝AC＝DC，
∴点A、B、D在以C为圆心的圆上，
如图所示，延长AC交⊙C于点F、BF、
则∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD，
∵∠AEB＝∠DEF、∠AED＝∠BEF，
∴△ABE∽△DFE，△ADE∽△BFE，
∴＝、＝，
则tan∠ABD•tan∠ADB＝tan∠AFD•tan∠AFB
＝•
＝•
＝•
＝，
设AE＝CE＝x，则AC＝CF＝2x，
∴AF＝4x，
∴EF＝AF﹣AE＝7x，
则tan∠ABD•tan∠ADB＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：（2a2）2﹣a•3a3+a5÷a．
【分析】分别求出每（2a2）2a＝4a4；a•3a3＝3a4；a5÷a＝a4；再运算即可；
【解答】解：（2a2）5﹣a•3a3+a2÷a＝4a4﹣7a4+a4＝8a4；
18．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°
【分析】根据平行线的性质和判定可以解答本题．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠C+∠D＝180°，
∴BC∥DE．
19．（8分）为了解学生网上课堂的学习效果，某中学随机抽取了部分九年级学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“不合格“四个等次中，选择一项作为自我评价网课学习的效果，请结合图中所给的信息解答下列问题
（1）这次活动共抽查了 200 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为 108° ．
（3）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生网课学习效果为良好和优秀学生共多少名？
【分析】（1）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它学习效果的人数，求出不合格的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以学习效果“一般”的学生所占的百分比即可得出圆心角度数；
（3）用总人数乘以网课学习效果为良好和优秀学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），补全条形统计图如下：
故答案为：200；
（2）学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）500×＝300（名），
答：该校九年级学生网课学习效果为良好和优秀学生共300名．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求作图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在AD上找一点E，使＝；
（2）在CD上找一点F，连接FE，使FE∥AB；
（3）在CD上找一点M，连接AM，使AM平分四边形ABCD的面积．
【分析】（1）取格点P，Q，连接PQ交AD于点E，点E即为所求作．
（2）连接BD，取格点T，连接QT交BD于J，连接EJ，延长EJ交CD于F，线段EF即为所求作．
（3）取格点E′，F′，连接E′F′交CD于M，连接AM线段AM即为所求作．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求作．
（2）如图，线段EF即为所求作．
（3）如图，线段AM即为所求作．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且∠CAD＝∠ABD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
【分析】（1）根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD，进而得∠ACD＝∠CAD，便可由等腰三角形判定定理得AD＝CD；
（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC便可．
【解答】解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD；
（2）∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵∠ABD＝∠CAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（ASA），
∴AF＝AE，DF＝DE，
在Rt△ADE中，∵AB＝4，
∴AF＝，
∴AE＝AF＝3，
∵，
∴，
∴DE＝，
∴BE＝BF﹣2DE＝，
∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△BEC∽△AED，
∴，
∴，
∴，
∵∠BDC＝∠BAC，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°
∴．
22．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现（件）与售价x （元/件） （x为正整数）之间满足一次函数关系
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自交量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．
①若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？
②抗疫期间，该商场决定每销售一件这种品牌商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①由w＝y（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500（x﹣）2+55125≤55125，即可求解；
②根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，则对称轴为直线x＝﹣＝13.5+0.5m，进而求解．
【解答】解：（1）设y和x的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，
故y和x的函数表达式为y＝﹣500x+12000；
（2）①设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，由题意得：，
则w＝y（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500（x﹣）2+55125≤55125，
∵3≤x≤12，
故x＝12时，w有最大值为54000，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价分别为12元；
②根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为直线x＝﹣＝13.2+0.5m，
∵﹣500＜6，
∴当x＜13.5+0.8m时，w随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，
故13.5+0.3m≥15，
解得m≥3，
∵1≤m≤6，
∴3≤m≤6．
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AD，求证：AC2＝AD•AB；
（2）如图2．若AC＝BC，EF⊥CD交BC于点E，交AC于点F，且＝，求的值；
（3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，CH＝3DH，则tan∠ACH的值为
．
【分析】（1）证出∠B＝∠ACD，证明△CBD∽△ACD，得出，即可得出结论；
（2）设FH＝4a，则HE＝9a（a＞0），同（1）得CH2＝HE•FH＝36a2，则CH＝6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝，过D作DP⊥AC于P，则DP∥BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝，周长△ADP是等腰直角三角形，得出AP＝DP，求出＝＝，由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（3）过点D作DM⊥AH于M，设DH＝2x，则CH＝6x（x＞0），CD＝DH+CH＝8x，证明△ADH∽△CDA，得出∠DAH＝∠ACH，，求出AD＝4x，证明△HDM是等腰直角三角形，得出DM＝HM＝DH＝x，由勾股定理得出AM＝x，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴△CBD∽△ACD，
∴，
∴CD2＝AD•DB；
（2）解：∵＝，
∴设FH＝4a，则HE＝9a（a＞2），
∵∠ACB＝90°，EF⊥CD，
同（1）得：CH2＝HE•FH＝9a×8a＝36a2，
∴CH＝6a，
在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝＝，
过D作DP⊥AC于P，如图2所示：
则DP∥BC，
在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴AP＝DP，
∴＝＝，
∵DP∥BC，
∴＝＝；
（3）解：过点D作DM⊥AH于M，如图3所示：
∵CH＝2DH，
∴设DH＝2x，则CH＝6x（x＞8），
∴CD＝DH+CH＝8x，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°＝∠AHD，
又∵∠ADH＝∠CDA，
∴△ADH∽△CDA，
∴∠DAH＝∠ACH，，
∴AD2＝DH•CD＝16x2，
∴AD＝4x，
∵DM⊥AH，
∴∠DMH＝90°，
∵∠AHD＝45°，
∴∠HDM＝45°＝∠AHD，
∴△HDM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM＝DH＝x，
∴AM＝＝＝x，
∴tan∠ACH＝tan∠DAH＝＝＝；
故答案为：．
24．（12分）已知抛物线y＝2x2+bx+c与x轴的交点为A、B，顶点为D．
（1）若点A、点B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P使△BCP为直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝x+h交于E、F两点，点M在EF之间的抛物线上运动，MN∥y轴，是否为定值，并说明理由．
【分析】（1）由交点式抛物线表达式，即可求解；
（2）存在，理由：分∠BCP＝90°、∠CBP（P′）＝90°、∠CP（P″）B＝90°三种情况，求解即可；
（3）设E（x1，y1）、F（x2，y2），计算MN＝t+h﹣（2t2+bt+c）＝﹣2t2﹣（b﹣1）t+h﹣c，而EN•NF＝EG•NH＝2（t﹣x1）（x2﹣t）═﹣2t2﹣（b﹣1）t+h﹣c，即可求解．
【解答】解：（1）由交点式抛物线表达式得：y＝2（x+1）（x﹣3）＝2x2﹣3x﹣6；
（2）存在，理由：
设点P坐标为（1，m），
则直线BC表达式中的k6值为：2，
①当∠BCP＝90°时，如图所示，
直线BC⊥CP，则其表达式中的k值为﹣，
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣8，
当x＝1时，y＝﹣，﹣）；
②当∠CBP（P′）＝90°时，
同理可得：P（1，1）
③当∠CP（P″）B＝90°时，
直线BP表达式中的k4值为：﹣，
直线PC表达式中的k3值为：m+4，
则：﹣（m+6）＝﹣2，
P（1，﹣3﹣，﹣6+）；
故点P的坐标为（1，﹣）或（2，﹣3﹣，﹣3+）；
（3）设E（x4，y1）、F（x2，y8），
联立，整理得8x2+（b﹣1）x+c﹣h＝6，
∴x1+x2＝，x1x4＝﹣，
设M（t，2t3+bt+c）、N（t，
∴MN＝t+h﹣（2t2+bt+c）＝﹣3t2﹣（b﹣1）t+h﹣c，
过点E作EG⊥MN于G，过点F作FH⊥MN于H，
∴△EGN、△FHN均为等腰直角三角形，
∴EN•NF＝EG•1）（x7﹣t）═﹣2t2﹣（b﹣5）t+h﹣c，
∴＝1为定值．
2021年湖北省武汉市青山区中考数学模拟训练试卷（一）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．实数﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
3．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数和等于9
D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
4．武汉市教委高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，由4个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
7．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，在四边形ABCD 中AB∥CD，∠B＝90°，动点P从点B出发沿折线B→A→D→C的方向以1个单位长度/秒的速度运动．在整个运动的过程中，△BCP的面积S（平方单位与运动时间（秒）（ ）
A． B．8 C． D．10
9．如图，AB是半⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AD，CE⊥AD于点E．则（ ）
A．3 B．2 C．+1 D．3﹣1
10．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是（ ）
A．9999 B．9910 C．9901 D．9801
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算的结果是 ．
12．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，56，80 ．
13．计算+的结果是 ．
14．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，那么∠ABE＝ ．
15．小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1 （h为常数）时，得到如下结论：
①无论x取何实数，y的值都小于0；
②该抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
③当x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2；
④该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h，则y1＞y2．其中一定正确的是 （填序号即可）．
16．如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于E点，BC＝AC＝DC，则tan∠ABD•tan∠ADB＝ ．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：（2a2）2﹣a•3a3+a5÷a．
18．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°
19．（8分）为了解学生网上课堂的学习效果，某中学随机抽取了部分九年级学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“不合格“四个等次中，选择一项作为自我评价网课学习的效果，请结合图中所给的信息解答下列问题
（1）这次活动共抽查了 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为 ．
（3）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生网课学习效果为良好和优秀学生共多少名？
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求作图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在AD上找一点E，使＝；
（2）在CD上找一点F，连接FE，使FE∥AB；
（3）在CD上找一点M，连接AM，使AM平分四边形ABCD的面积．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且∠CAD＝∠ABD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
22．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现（件）与售价x （元/件） （x为正整数）之间满足一次函数关系
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自交量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．
①若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？
②抗疫期间，该商场决定每销售一件这种品牌商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AD，求证：AC2＝AD•AB；
（2）如图2．若AC＝BC，EF⊥CD交BC于点E，交AC于点F，且＝，求的值；
（3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，CH＝3DH，则tan∠ACH的值为
．
24．（12分）已知抛物线y＝2x2+bx+c与x轴的交点为A、B，顶点为D．
（1）若点A、点B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P使△BCP为直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝x+h交于E、F两点，点M在EF之间的抛物线上运动，MN∥y轴，是否为定值，并说明理由．
2021年湖北省武汉市青山区中考数学模拟训练试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．实数﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
【解答】解：实数﹣的相反数是，
故选：A．
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0，
解得x≥﹣4．
故选：B．
3．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数和等于9
D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，故此选项错误；
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，故此选项错误；
C、两枚骰子向上一面的点数之和等于5，故此选项正确；
D、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，故此选项错误；
故选：C．
4．武汉市教委高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：D．
5．如图，由4个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，底层右边是一个小正方形．
故选：D．
6．已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】根据反比例函数的性质得到函数y＝（k＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．
【解答】解：∵k＞0，
∴函数y＝（k＞0）的图象分布在第一，在每一象限，
∵﹣4＜0＜2＜7，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：C．
7．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转（ ）
A． B． C． D．
【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得．
【解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故选：B．
8．如图1，在四边形ABCD 中AB∥CD，∠B＝90°，动点P从点B出发沿折线B→A→D→C的方向以1个单位长度/秒的速度运动．在整个运动的过程中，△BCP的面积S（平方单位与运动时间（秒）（ ）
A． B．8 C． D．10
【分析】当t＝5时，点P到达A处，即AB＝5；当s＝40时，点P到达点D处，即可求解．
【解答】解：当t＝5时，点P到达A处，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC＝AD，
∴DE＝CE＝，
当s＝40时，点P到达点D处•BC＝，
则BC＝8，
AD＝AC＝．
故选：C．
9．如图，AB是半⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AD，CE⊥AD于点E．则（ ）
A．3 B．2 C．+1 D．3﹣1
【分析】如图，连接AC，BC，CD，在EA上取一点T，使得EC＝ET，连接CT．证明TA＝TC＝EC，EC＝DE，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，CD，使得EC＝ET．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴AC＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB＝22.5°，
∵∠ADC＝∠ABC＝45°，CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝∠EDC＝45°，
∴EC＝DE，
设EC＝DE＝ET＝m，则CT＝m，
∵∠ETC＝45°＝∠TAC+∠ACT，
∴∠TAC＝∠TCA＝22.5°，
∴AT＝TC＝m，
∴AE＝m+m，
∴＝＝+1，
故选：C．
10．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是（ ）
A．9999 B．9910 C．9901 D．9801
【分析】根据“23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19”，归纳出m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m﹣1）+1，把m＝100代入，计算求值即可．
【解答】解：23＝3+5；32＝7+9+11；83＝13+15+17+19；
∵3＝2×1+1，
8＝3×2+5，
13＝4×3+2，
∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m﹣1）+4，
∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99+1＝9901，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算的结果是 3 ．
【分析】由表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵32＝5，
∴＝3．
故填2．
12．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，56，80 72 ．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：56，61，74，91，
故中位数是（70+74）÷2＝72．
故答案为：72．
13．计算+的结果是 1 ．
【分析】先化简，再通分，最后进行分式的加减．
【解答】解：+
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝5．
14．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，那么∠ABE＝ 51° ．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，由三角形内角和定理求出∠ABD＝102°，即可得出∠ABE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝52°，
由折叠的性质得：∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，
∵EF＝DF，
∴∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠EDF＝102°，
∴∠ABE＝∠ABD＝51°；
故答案为：51°．
15．小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1 （h为常数）时，得到如下结论：
①无论x取何实数，y的值都小于0；
②该抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
③当x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2；
④该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h，则y1＞y2．其中一定正确的是 ②④ （填序号即可）．
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质判断即可．
【解答】解：①∵y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1，
∴当h＜4时，函数的最大值为y＝﹣h+1＞0；
②∵抛物线y＝﹣（x﹣h）7﹣h+1的顶点为（h，﹣h+1），
∴抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+4上，故②正确；
③∵抛物线开口向下，当x＜2时，
∴h≥2，故③错误；
④∵抛物线上有两点A（x7，y1），B（x2，y4），若x1＜x2，x2+x2＞2h，
∴＞h，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴y7＞y2，故④正确，
故答案为：②④
16．如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于E点，BC＝AC＝DC，则tan∠ABD•tan∠ADB＝ ．
【分析】由BC＝AC＝DC知A、B、D在以C为圆心的圆上，延长AC交⊙C于点F，连接DF、BF，由圆周角定理知∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD、∠ADB＝∠AFB，证△ABE∽△DFE、△ADE∽△BFE得＝、＝，从而由tan∠ABD•tan∠ADB＝tan∠AFD•tan∠AFB＝•＝•＝•＝可得答案．
【解答】解：∵BC＝AC＝DC，
∴点A、B、D在以C为圆心的圆上，
如图所示，延长AC交⊙C于点F、BF、
则∠ADF＝∠ABF＝90°，∠ABD＝∠AFD，
∵∠AEB＝∠DEF、∠AED＝∠BEF，
∴△ABE∽△DFE，△ADE∽△BFE，
∴＝、＝，
则tan∠ABD•tan∠ADB＝tan∠AFD•tan∠AFB
＝•
＝•
＝•
＝，
设AE＝CE＝x，则AC＝CF＝2x，
∴AF＝4x，
∴EF＝AF﹣AE＝7x，
则tan∠ABD•tan∠ADB＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：（2a2）2﹣a•3a3+a5÷a．
【分析】分别求出每（2a2）2a＝4a4；a•3a3＝3a4；a5÷a＝a4；再运算即可；
【解答】解：（2a2）5﹣a•3a3+a2÷a＝4a4﹣7a4+a4＝8a4；
18．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°
【分析】根据平行线的性质和判定可以解答本题．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠C+∠D＝180°，
∴BC∥DE．
19．（8分）为了解学生网上课堂的学习效果，某中学随机抽取了部分九年级学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“不合格“四个等次中，选择一项作为自我评价网课学习的效果，请结合图中所给的信息解答下列问题
（1）这次活动共抽查了 200 人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为 108° ．
（3）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生网课学习效果为良好和优秀学生共多少名？
【分析】（1）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它学习效果的人数，求出不合格的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以学习效果“一般”的学生所占的百分比即可得出圆心角度数；
（3）用总人数乘以网课学习效果为良好和优秀学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），补全条形统计图如下：
故答案为：200；
（2）学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）500×＝300（名），
答：该校九年级学生网课学习效果为良好和优秀学生共300名．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求作图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在AD上找一点E，使＝；
（2）在CD上找一点F，连接FE，使FE∥AB；
（3）在CD上找一点M，连接AM，使AM平分四边形ABCD的面积．
【分析】（1）取格点P，Q，连接PQ交AD于点E，点E即为所求作．
（2）连接BD，取格点T，连接QT交BD于J，连接EJ，延长EJ交CD于F，线段EF即为所求作．
（3）取格点E′，F′，连接E′F′交CD于M，连接AM线段AM即为所求作．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求作．
（2）如图，线段EF即为所求作．
（3）如图，线段AM即为所求作．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且∠CAD＝∠ABD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
【分析】（1）根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD，进而得∠ACD＝∠CAD，便可由等腰三角形判定定理得AD＝CD；
（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC便可．
【解答】解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD；
（2）∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵∠ABD＝∠CAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（ASA），
∴AF＝AE，DF＝DE，
在Rt△ADE中，∵AB＝4，
∴AF＝，
∴AE＝AF＝3，
∵，
∴，
∴DE＝，
∴BE＝BF﹣2DE＝，
∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△BEC∽△AED，
∴，
∴，
∴，
∵∠BDC＝∠BAC，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°
∴．
22．（10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现（件）与售价x （元/件） （x为正整数）之间满足一次函数关系
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自交量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．
①若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？
②抗疫期间，该商场决定每销售一件这种品牌商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①由w＝y（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500（x﹣）2+55125≤55125，即可求解；
②根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，则对称轴为直线x＝﹣＝13.5+0.5m，进而求解．
【解答】解：（1）设y和x的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，
故y和x的函数表达式为y＝﹣500x+12000；
（2）①设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，由题意得：，
则w＝y（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500（x﹣）2+55125≤55125，
∵3≤x≤12，
故x＝12时，w有最大值为54000，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价分别为12元；
②根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为直线x＝﹣＝13.2+0.5m，
∵﹣500＜6，
∴当x＜13.5+0.8m时，w随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，
故13.5+0.3m≥15，
解得m≥3，
∵1≤m≤6，
∴3≤m≤6．
23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AD，求证：AC2＝AD•AB；
（2）如图2．若AC＝BC，EF⊥CD交BC于点E，交AC于点F，且＝，求的值；
（3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，CH＝3DH，则tan∠ACH的值为
．
【分析】（1）证出∠B＝∠ACD，证明△CBD∽△ACD，得出，即可得出结论；
（2）设FH＝4a，则HE＝9a（a＞0），同（1）得CH2＝HE•FH＝36a2，则CH＝6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝，过D作DP⊥AC于P，则DP∥BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝，周长△ADP是等腰直角三角形，得出AP＝DP，求出＝＝，由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（3）过点D作DM⊥AH于M，设DH＝2x，则CH＝6x（x＞0），CD＝DH+CH＝8x，证明△ADH∽△CDA，得出∠DAH＝∠ACH，，求出AD＝4x，证明△HDM是等腰直角三角形，得出DM＝HM＝DH＝x，由勾股定理得出AM＝x，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴△CBD∽△ACD，
∴，
∴CD2＝AD•DB；
（2）解：∵＝，
∴设FH＝4a，则HE＝9a（a＞2），
∵∠ACB＝90°，EF⊥CD，
同（1）得：CH2＝HE•FH＝9a×8a＝36a2，
∴CH＝6a，
在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝＝，
过D作DP⊥AC于P，如图2所示：
则DP∥BC，
在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴AP＝DP，
∴＝＝，
∵DP∥BC，
∴＝＝；
（3）解：过点D作DM⊥AH于M，如图3所示：
∵CH＝2DH，
∴设DH＝2x，则CH＝6x（x＞8），
∴CD＝DH+CH＝8x，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°＝∠AHD，
又∵∠ADH＝∠CDA，
∴△ADH∽△CDA，
∴∠DAH＝∠ACH，，
∴AD2＝DH•CD＝16x2，
∴AD＝4x，
∵DM⊥AH，
∴∠DMH＝90°，
∵∠AHD＝45°，
∴∠HDM＝45°＝∠AHD，
∴△HDM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM＝DH＝x，
∴AM＝＝＝x，
∴tan∠ACH＝tan∠DAH＝＝＝；
故答案为：．
24．（12分）已知抛物线y＝2x2+bx+c与x轴的交点为A、B，顶点为D．
（1）若点A、点B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P使△BCP为直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝x+h交于E、F两点，点M在EF之间的抛物线上运动，MN∥y轴，是否为定值，并说明理由．
【分析】（1）由交点式抛物线表达式，即可求解；
（2）存在，理由：分∠BCP＝90°、∠CBP（P′）＝90°、∠CP（P″）B＝90°三种情况，求解即可；
（3）设E（x1，y1）、F（x2，y2），计算MN＝t+h﹣（2t2+bt+c）＝﹣2t2﹣（b﹣1）t+h﹣c，而EN•NF＝EG•NH＝2（t﹣x1）（x2﹣t）═﹣2t2﹣（b﹣1）t+h﹣c，即可求解．
【解答】解：（1）由交点式抛物线表达式得：y＝2（x+1）（x﹣3）＝2x2﹣3x﹣6；
（2）存在，理由：
设点P坐标为（1，m），
则直线BC表达式中的k6值为：2，
①当∠BCP＝90°时，如图所示，
直线BC⊥CP，则其表达式中的k值为﹣，
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣8，
当x＝1时，y＝﹣，﹣）；
②当∠CBP（P′）＝90°时，
同理可得：P（1，1）
③当∠CP（P″）B＝90°时，
直线BP表达式中的k4值为：﹣，
直线PC表达式中的k3值为：m+4，
则：﹣（m+6）＝﹣2，
P（1，﹣3﹣，﹣6+）；
故点P的坐标为（1，﹣）或（2，﹣3﹣，﹣3+）；
（3）设E（x4，y1）、F（x2，y8），
联立，整理得8x2+（b﹣1）x+c﹣h＝6，
∴x1+x2＝，x1x4＝﹣，
设M（t，2t3+bt+c）、N（t，
∴MN＝t+h﹣（2t2+bt+c）＝﹣3t2﹣（b﹣1）t+h﹣c，
过点E作EG⊥MN于G，过点F作FH⊥MN于H，
∴△EGN、△FHN均为等腰直角三角形，
∴EN•NF＝EG•1）（x7﹣t）═﹣2t2﹣（b﹣5）t+h﹣c，
∴＝1为定值．
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