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2021年深圳市中考数学模拟押题卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年深圳市中考数学模拟押题卷（一）（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了|－2021|的倒数是，计算等内容，欢迎下载使用。
2021年深圳市中考数学模拟押题卷（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．|－2021|的倒数是（ ）
A．－2021 B．－12021 C．12021 D．2021
2．下列城市地铁的标志图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据中国卫健委官网数据，截至2021年5月24日23时，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗52725.3万剂次，下列说法不正确的是（ ）
A．52725.3万大约是5.3亿 C．52725.3万用科学记数法表示为5.27253×104
B．52725.3万大约是5.3×108 D．52725.3万用科学记数法表示为5.27253×108
4．计算（2−3）2020（2＋3）2021的结果是（ ）
A．2+3 B．－3－2 C．3−2 D．2−3
5．某公司2021年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只。设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（ ）
A．250（1＋x）＝910 C．250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910
B．250（1＋x）2＝910 D．250＋250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝22，以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A．π4 B．π3 C．π2 D．π
第6题 第7题
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF分别交BC，AB于点G，H，若AC＝4，BC＝8，则△BGH的面积为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．16
8．在2021年6月14日端午节到来之际食堂推荐粽子专卖店的1、2、3号三种粽子，对全校师生爱吃那种粽子作调查，以决定最终的采购，下面的统计中，最值得关注的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
9．小明使用图形计算器探究函数y＝ax(x−b)2的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
第9题 第10题
10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝2EM；④BN2＋EF2＝EN2；
⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在实数范围内分解因式：a3b－2ab＝ ．
12．2021年5月22日13时07分，“共和国勋章”获得者、中国工程院院士、国家杂交水稻工程技术研究中心主任、、第六至第十二届全国政协常委袁隆平同志因病在长沙逝世，享年91岁，于2021年5月24日（星期一）上午10:00在长沙市明阳山殡仪馆铭德厅举行遗体送别仪式，特设立【袁隆平同志网络吊唁厅】供广大网友在网上献花致祭。如图，是用黑白打印机在纸张上打印的边长为20cm的正方形“网络吊唁厅”二维码。为了估计图中黑色部分的总面积，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2。
13．图1是一个深圳地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．
图1 图2
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，过点D作DE⊥DF，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若CF＝72，AC＝4，AB＝2．则AE＝ ．
第14题 第15题
15．如图，双曲线y＝4x与直线y＝14x交于A、B两点（点A在点B的左侧）,点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则AE2+BF2EF2的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：|－12|＋364－（－2）－3－（3.14－π）0－4cos230°＋|2－12|＋23+1。
17．（6分）先化简（2x2+2xx2−1－x2−xx2−2x+1）÷xx+1，然后从0、1、2中选取一个合适的x值代入求值。
18．（8分）2020年7月23日，天问一号探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了中国自主开展行星探测的第一步。2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。深圳某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表：
组别
测试成绩x/分
频数
频率
A
0≤x＜60
m
0.06
B
60≤x＜70
7
0.14
C
70≤x＜80
a
0.22
D
80≤x＜90
21
0.42
E
90≤x≤100
8
b
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次测试抽取的学生共有 名，
a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）所抽取学生的成绩的中位数落在 组；
（4）该校共有学生3600名，若成绩在80分以上
（含80分）为优秀，假如全部学生参加此次
测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数。
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB＝3，tan∠DBC＝34时，求CM的长。
20．（8分）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米。甲、乙分别从桥梁两端向中间施工，计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样；甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万。
（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，求甲最多施工多少米．
（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多（7a－12）万元，求a的值。
21．（10分）如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为BDC上任意一点．若AE＝AC＝2n，BC＝n2－1，BE＝n2－2n＋1．（n≥2，且n为正整数）。
（1）求证：∠CAE＋∠CDE＝90°；
（2）如图2，当CD过圆心O时，
①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，
连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、
DF之间的数量关系，并证明你的猜想；
②若n＝3，求AD的长。
22．（10分）抛物线y＝－14x2＋bx＋c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2。
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由。
2021年深圳市中考数学模拟押题卷（一）·参考答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．|－2021|的倒数是（ ）
A．－2021 B．－12021 C．12021 D．2021
【分析】利用绝对值的代数意义，以及倒数的性质计算即可．
【解答】解：|－2021|＝2021，
2021的倒数是12021，
故选：C．
2．下列城市地铁的标志图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．据中国卫健委官网数据，截至2021年5月24日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗52725.3万剂次，下列说法不正确的是（ ）
A．52725.3万大约是5.3亿 C．52725.3万用科学记数法表示为5.27253×104
B．52725.3万大约是5.3×108 D．52725.3万用科学记数法表示为5.27253×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数＜1时，n是负整数，注意题目是选错误的。
【解答】解：A、52725.3万采用“四舍五入”法大约是5.3亿，故本选项不合题意；
B、52725.3万大约是5.3×108，故本选项不合题意；
C、52725.3万用科学记数法表示为5.27253×108≠5.27253×104，故本选项符合题意；
D、52725.3万＝527253000＝5.27253×108，故本选项不合题意；
故选：C．
4．计算（2−3）2020（2＋3）2021的结果是（ ）
A．2+3 B．－3－2 C．3−2 D．2−3
【分析】先根据积的乘方得到原式＝[(2−3)(2＋3)]2020·(2+3)，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝[(2−3)(2＋3)]2020×(2+3)
＝（2－3）2020•（2＋3）
＝2＋3．
故选：A．
5．某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（ ）
A．250（1＋x）＝910 C．250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910
B．250（1＋x）2＝910 D．250＋250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910
【分析】设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，则2月份生产口罩250（1＋x）万只，3月份生产口罩250（1＋x）2万只，根据第一季度的总生产量要达到910万只，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，则2月份生产口罩250（1＋x）万只，3月份生产口罩250（1＋x）2万只，
依题意得：250＋250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910．
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝22．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A．π4 B．π3 C．π2 D．π
【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B＝45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
【解答】解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD＝AE＝12AC，
∴AC＝2r，
同理可知：AB＝2r，
∴AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵BC＝22
∴由勾股定理可知AB＝2，
∴r＝1，
∴DE=90π×1180=π2．
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF分别交BC，AB于点G，H，若AC＝4，BC＝8，则△BGH的面积为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．16
【分析】利用勾股定理求出AB，解直角三角形求出GH，可得结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，
∴AB＝AC2+BC2＝42+82＝45
由作图可知，EF垂直平分线段AB，
∴AH＝BH＝25，GH＝BH•tanB＝5，
∴△BGH的面积＝12•BH•GH＝12×25×5＝5．
故选：B．
8．在2021年6月14日端午节到来之际食堂推荐粽子专卖店的1、2、3号三种粽子，对全校师生爱吃那种粽子作调查，以决定最终的采购，下面的统计中，最值得关注的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
【分析】学校食堂最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：C．
9．小明使用图形计算器探究函数y＝ax(x−b)2的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＞0，可知a＞0；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，所以大概预测可以得b约为1，也即b＞0．
【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，
∴a＞0；
∵x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，
∴b＞0．
故选：A．
10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝2EM；④BN2＋EF2＝EN2；
⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①正确，只要证明A，B，C，D，E五点共圆即可解决问题；
②正确，只要证明点M是△ABC的内心即可；
③正确，想办法证明EM＝AE，即可解决问题；
④正确．如图2中，将△ABN逆时针旋转90°得到△AFG，连接EG．想办法证明△GEF是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
⑤错误．利用反证法证明即可；
【解答】解：如图1中，连接BD交AC于O，连接OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴A，B，C，D，E五点共圆，
∵BD是直径，
∴∠BED＝90°，
∴EF⊥ED，故①正确，
∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，
∴BM平分∠ABC，
∵AM平分∠BAC，
∴点M是△ABC的内心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝∠MCA，故②正确，
∵∠EAM＝∠EAC＋∠MAC，∠EMA＝∠BAM＋∠ABM，∠ABM＝∠EAC＝45°，
∴∠EAM＝∠EMA，
∴EA＝EM，
∵△EAC是等腰直角三角形，
∴AC＝2EA＝2EM，故③正确，
如图2中，将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，
∵∠NAB＝∠GAF，
∴∠GAN＝∠BAD＝90°，
∵∠EAN＝45°，
∴∠EAG＝∠EAN＝45°，
∵AG＝AN，AE＝AE，
∴△AEG≌△AEN（SAS），
∴EN＝EG，GF＝BN，
∵∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，
∴∠GFB＝∠GFE＝90°，
∴EG2＝GF2＋EF2，
∴BN2＋EF2＝EN2，故④正确，
不妨设AE•AM＝NE•FM，
∵AE＝EC，
∴ECFM=ENAM，
∴只有△ECN∽△MAF才能成立，
∴∠AMF＝∠CEN，
∴CE∥AM，
∵AE⊥CE，
∴MA⊥AE（矛盾），
∴假设不成立，故⑤错误，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在实数范围内分解因式：a3b－2ab＝ ab（a＋2）（a－2） ．
【分析】首先提取公因式ab，再利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：原式＝ab（a2－2）＝ab（a＋2）（a－2）．
故答案是：ab（a＋2）（a－2）．
12．2021年5月22日13时07分，“共和国勋章”获得者、中国工程院院士、国家杂交水稻工程技术研究中心主任、、第六至第十二届全国政协常委袁隆平同志因病在长沙逝世，享年91岁，于2021年5月24日（星期一）上午10:00在长沙市明阳山殡仪馆铭德厅举行遗体送别仪式，特设立【袁隆平同志网络吊唁厅】供广大网友在网上献花致祭。如图，是用黑白打印机在纸张上打印的边长为20cm的正方形“网络吊唁厅”二维码。为了估计图中黑色部分的总面积，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2。
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.75，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在075左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.75，
∴估计黑色部分的总面积约为20×20×0.75＝300（cm2），
故答案为：300．
13．图1是一个深圳地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 64cm ．
图1 图2
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝12AC＝12×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64（cm），
故答案为：64cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，过点D作DE⊥DF，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若CF＝72，AC＝4，AB＝2．则AE＝ 10 ．
【分析】延长FD至G，使GD＝FD，连接BG，证明△BDG≌△CDF（SAS），得出BG＝CF＝72，∠G＝∠F，证明△BGH∽△AFH，得出GHFH=BHAH=BGAF=715，得出DHFD=411，AH＝1522AB＝1511，由勾股定理得出HF＝75522，得出DH＝415FH＝10511，证明△DHE∽△AHF，得出HEHF=DHAH，解得HE＝12511，即可得出答案．
【解答】解：延长FD至G，使GD＝FD，连接BG，如图所示：
∵D为BC的中点，∴BD＝CD，
在△BDG和△CDF中，BD=CD∠BDC=∠CDFGD=FD，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF＝72，∠G＝∠F，
∴BG∥CF，
∴△BGH∽△AFH，
∴GHFH=BHAH=BGAF=724+72=715
∴DHFD=411，AH＝1522AB＝1511，
∵∠BAC＝90°，AF＝AC＋CF＝152，
∴HF＝(152)2+(1511)2=75522，
∴DH＝415FH＝10511，
∵DE⊥DF，
∴∠EDH＝90°＝∠BAC，
∴∠E＋∠EHD＝∠F＋∠EHD＝90°，
∴∠E＝∠F，
∴△DHE∽△AHF，
∴HEHF=DHAH，即 HE75522=105111511
解得：HE＝12511，
∴AE＝HE－AH＝12511−1511＝10；故答案为：10．
15．如图，双曲线y＝4x与直线y＝14x交于A、B两点（点A在点B的左侧）,点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则AE2+BF2EF2的值是 1 ．
【分析】方法1：由所求的式子联想到勾股定理，故过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设FH＝a，则有OF＝4＋a，BF2＝a2＋1．易证△AEG∽△BFH，从而有AEBF=EGFH=AGBH＝4，就可用a的代数式表示AE2、EF2，然后代入所求的式子就可解决问题；
方法2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，易证△AOG≌△BOF，则有AG＝BF，OG＝OF．根据线段的垂直平分线的性质可得EG＝EF，在Rt△GAE中运用勾股定理可得AG2＋AE2＝GE2，然后通过等量代换就可解决问题．
【解答】
解法一：如图，过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设直线AC与x轴交于点K，
联立y=4xy=x4，
解得：x1=−4y1=−1，x2=4y2=1
∵点A在点B的左侧，
∴A（－4，－1），B（4，1）．
∴AG＝4，OG＝1，OH＝4，BH＝1．
设FH＝a，则有OF＝OH＋FH＝4＋a，BF2＝FH2＋BH2＝a2＋1．
∵AC⊥CF，OE⊥OK，
∴∠CFK＝90°－∠CKF＝∠OEK．
∵AG⊥y轴，BH⊥x轴，
∴∠AGE＝∠BHF＝90°．
∴△AEG∽△BFH．
∴AEBF=EGFH=AGBH＝4．
∴AE2＝16BF2＝16（a2＋1），EG＝4FH＝4a．
∴OE＝|EG－OG|＝|4a－1|．
∴EF2＝（4a－1）2＋（4＋a）2＝17（a2＋1）．
∴AE2＋BF2EF2=16(a2+1)+(a2+1)17(a2+1)＝1．
故答案为：1．
解法二：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，如图．
则有∠GAC＝∠FCA＝90°，∠AGO＝∠BFO．
∵双曲线y＝4x与直线y＝14x都关于点O成中心对称，
∴它们的交点也关于点O成中心对称，即OA＝OB．
在△AOG和△BOF中，
∠AGO=∠BFO∠AOG=∠BOFOA=OB，
∴△AOG≌△BOF，
∴AG＝BF，OG＝OF．
∵OE⊥GF，
∴EG＝EF．
∵∠GAC＝90°，
∴AG2＋AE2＝GE2，
∴BF2＋AE2＝EF2，
∴AE2＋BF2EF2＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：|－12|＋364－（－2）－3－（3.14－π）0－4cos230°＋|2－12|＋23+1．
【分析】先计算绝对值，负指数幂，算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减法即可得到答案．
【解答】解：原式＝12＋4＋18－1－4×(32)2＋23－2＋3－1＝12＋18＋33－3＝－198＋33
17．（6分）先化简（2x2+2xx2−1－x2−xx2−2x+1）÷xx+1，然后从0、1、2中选取一个合适的x值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[2x(x+1)(x+1)(x−1)－x(x−1)(x−1)2]÷xx+1
＝(2xx−1－xx−1)·x+1x
＝xx−1·x+1x
＝x+1x−1，
当x＝2时，原式＝2+12−1＝3．
18．（8分）2020年7月23日，天问一号探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了中国自主开展行星探测的第一步。2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。深圳某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表：
组别
测试成绩x/分
频数
频率
A
0≤x＜60
m
0.06
B
60≤x＜70
7
0.14
C
70≤x＜80
a
0.22
D
80≤x＜90
21
0.42
E
90≤x≤100
8
b
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次测试抽取的学生共有 50 名，a＝ 11 ，b＝ 0.16 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）所抽取学生的成绩的中位数落在 D 组；
（4）该校共有学生3600名，若成绩在80分以上（含80分）为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数。
【分析】（1）由B组频数和频率可得总人数，总人数乘以C组频率可得a的值，E组频数除以总人数可得b的值；
（2）总人数乘以A组频率可得m的值，从而补全图形；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）这次测试抽取的学生共有7÷0.14＝50（名），
则a＝50×0.22＝11，b＝8÷50＝0.16，故答案为：50、11、0.16．
（2）m＝50×0.06＝3，
补全图形如下：
（3）由于共有50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，而这2个数据均落在D组，
所以所抽取学生的成绩的中位数落在D组，故答案为：D．
（4）估计该校学生成绩为优秀的人数为3600×21+850＝2088（人）．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB＝3，tan∠DBC＝34时，求CM的长．
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
（2）过点M作MG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出MG＝MC．由三角函数定义得出BC＝4，sin∠ACB＝sin∠DBC．，设CM＝MG＝x，则BM＝4－x，在Rt△BMG中，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD．
∴▱ABCD为矩形．
（2）过点M作MG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴CM⊥CD，
∵DM为∠BDC的角平分线，
∴MG＝CM．
∵OB＝OC，
∴∠ACB＝∠DBC．
∵AB＝3，tan∠DBC＝34，
∴tan∠ACB＝tan∠DBC＝34=ABBC．
∴BC＝4．
∴AC＝BD＝BC2+CD2=32+42＝5，sin∠ACB＝sin∠DBC＝ABAC=35．
设CM＝MG＝x，则BM＝4－x，
在△BMG中，∠BGM＝90°，
∴sin∠DBC＝x4−x=35．
解得：x＝32，
∴CM＝32．
20．（8分）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米。甲、乙分别从桥梁两端向中间施工，计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样；甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万。
（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，求甲最多施工多少米．
（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多（7a－12）万元，求a的值。
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000－x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本＝每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（7a－12）万元，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000－x）米，
依题意，得：12（5000－x）≥65×10x，
解得：x≤2500．
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得：（10＋a）（10＋16a）＋12（10－29a）＝10×（10＋12）＋7a－12，
整理，得：a2－18a＋72＝0，
解得：a1＝12，a2＝6．
实际成本：16a2＋4a＋110．
当a＝12时，16×122＋4×12＋110＝182＞150，故舍去．
当a＝6时，16×62＋4×6＋110＝140＜150，符合题意．
答：a的值为6．
21．（10分）如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为BDC上任意一点．若AE＝AC＝2n，BC＝n2－1，BE＝n2－2n＋1．（n≥2，且n为正整数）。
（1）求证：∠CAE＋∠CDE＝90°；
（2）如图2，当CD过圆心O时，
①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；
②若n＝3，求AD的长。
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得∠ACB＝90°，则∠CAB＋∠ABC＝90°，即可解决问题；
（2）①先由旋转的性质得：∠AEF＝∠ACD，AF＝AD，EF＝CD，再证∠DEF＝90°，由勾股定理得EF2＋DE2＝DF2，即可得出结论；
②过点C作CH⊥AB于H，先由△ABC的面积得CH＝245，再由勾股定理得AH＝185，CE＝1255，然后由锐角三角函数定义求出CD＝45，最后证△ACE∽△ADF，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE＝2n，BE＝n2－2n＋1，
∴AB＝AE＋BE＝n2＋1，
∵AC2＋BC2＝（2n）2＋（n2－1）2＝n4＋2n2＋1，AB2＝（n2＋1）2＝n4＋2n2＋1，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴∠CAB＋∠CDE＝90°，
即∠CAE＋∠CDE＝90°；
（2）解：①补全图形如图2所示，CD2＋DE2＝DF2，证明如下：
由旋转的性质得：∠AEF＝∠ACD，AF＝AD，EF＝CD，
由（1）得：∠CAE＋∠CDE＝90°，
∵∠ACD＋∠AED＋∠CAE＋∠CDE＝360°，
∴∠ACD＋∠AED＝270°，
∵∠AED＋∠AEF＋∠DEF＝360°，
∴∠DEF＝90°， ∴EF2＋DE2＝DF2，
∴CD2＋DE2＝DF2；
②当n＝3时，AC＝AE＝6，BC＝8，AB＝10，
过点C作CH⊥AB于H，如图3所示：
由△ABC的面积得：CH＝AC·BCAB＝6×810＝245，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AH＝AC2−CH2＝62−(245)2＝185，
∴HE＝AE－AH＝6－185＝125，
在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH2+HE2＝(245)2+(125)2＝1255，
∵∠CDE＝∠ABC，
∴sin∠CDE＝sin∠ABC，
∴CECD=ACAB， 即1255CD=610，
解得：CD＝45，
由旋转的性质得：EF＝CD＝45，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝CD2−CE2＝（45）2−（1255）2＝1655，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF＝DE2+EF2＝（45）2+（1255）2＝42055，
∵ACAD=AEAF，∠CAE＝∠DAF，
∴△ACE∽△ADF， ∴ACAD=CEDF，
∴AD＝AC·DFCE＝6×420551255＝241。
22．（10分）抛物线y＝－14x2＋bx＋c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2。
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由。
【分析】（1）由题意得出－14×42＋4b＋c＝3－b2×(−14)=2，解得b=1c=3，得出抛物线的函数表达式为：y＝－14x2＋x＋3＝－14（x－2）2＋4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y＝−1m−2x＋4m−6m−2，则点M的坐标为（4m－6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝4m－6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝5m−182，分两种情况求出m的值即可；
（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，－14a2＋a＋3），则NF＝3－（－14a2＋a＋3）＝14a2－a，NC＝－a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝4，则AE＝NC＝－a，证△ENF∽△DAE，得出NEAD=NFAE，求出a＝－43或0，当a＝0时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝－a＝43，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝－14x2＋bx＋c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴－14×42＋4b＋c＝3－b2×(−14)=2，
解得：b=1c=3，
∴抛物线的函数表达式为：y＝－14x2＋x＋3，
∵y＝－14x2＋x＋3＝－14（x－2）2＋4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y＝－14x2＋x＋3，
∴x＝0时，y＝3，
则C点的坐标为（0，3），
∵A（4，3），
∴AC∥OD，
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx＋n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则2k+n=4mk+n=3，
解得：k=−1m−2n=4m−6m−2，
∴直线BE的函数表达式为：y＝−1m−2x＋4m−6m−2，
令y＝−1m−2x＋4m−6m−2＝0，则x＝4m－6，
∴点M的坐标为（4m－6，0），
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C（0，3），A（4，3），M（4m－6，0），E（m，3），
∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m－6，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，
S梯形ECOM＝12（OM＋EC）•OC＝12（4m－6＋m）×3＝15m−182，
分两种情况：
①S梯形ECOMS矩形ACOD＝14，即15m−18212＝14，
解得：m＝85，
∴点E的坐标为：（85，3）；
②S梯形ECOMS矩形ACOD＝34，即15m−18212＝34，
解得：m＝125，
∴点E的坐标为：（125，3）；
综上所述，点E的坐标为：（85，3）或（125，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：
由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为：（a，－14a2＋a＋3），
则NF＝3－（－14a2＋a＋3）＝14a2－a，NC＝－a，
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，
∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠DGO，
在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODGEF=DG∠EFN=∠DGO，
∴△EFN≌△DGO（ASA），
∴NE＝OD＝AC＝4，
∴AC－CE＝NE－CE，即AE＝NC＝－a，
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，
∴∠NEF＋∠EFN＝90°，∠NEF＋∠DEA＝90°，
∴∠EFN＝∠DEA，
∴△ENF∽△DAE，
∴NEAD=NFAE，即43＝14a2−a−a，
整理得：34a2＋a＝0，
解得：a＝－43或0，
当a＝0时，点E与点A重合，
∴a＝0舍去，
∴AE＝NC＝－a＝43，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为43．
2021年深圳市中考数学模拟押题卷（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．|－2021|的倒数是（ ）
A．－2021 B．－12021 C．12021 D．2021
2．下列城市地铁的标志图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据中国卫健委官网数据，截至2021年5月24日23时，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗52725.3万剂次，下列说法不正确的是（ ）
A．52725.3万大约是5.3亿 C．52725.3万用科学记数法表示为5.27253×104
B．52725.3万大约是5.3×108 D．52725.3万用科学记数法表示为5.27253×108
4．计算（2−3）2020（2＋3）2021的结果是（ ）
A．2+3 B．－3－2 C．3−2 D．2−3
5．某公司2021年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只。设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（ ）
A．250（1＋x）＝910 C．250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910
B．250（1＋x）2＝910 D．250＋250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝22，以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A．π4 B．π3 C．π2 D．π
第6题 第7题
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF分别交BC，AB于点G，H，若AC＝4，BC＝8，则△BGH的面积为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．16
8．在2021年6月14日端午节到来之际食堂推荐粽子专卖店的1、2、3号三种粽子，对全校师生爱吃那种粽子作调查，以决定最终的采购，下面的统计中，最值得关注的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
9．小明使用图形计算器探究函数y＝ax(x−b)2的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
第9题 第10题
10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝2EM；④BN2＋EF2＝EN2；
⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在实数范围内分解因式：a3b－2ab＝ ．
12．2021年5月22日13时07分，“共和国勋章”获得者、中国工程院院士、国家杂交水稻工程技术研究中心主任、、第六至第十二届全国政协常委袁隆平同志因病在长沙逝世，享年91岁，于2021年5月24日（星期一）上午10:00在长沙市明阳山殡仪馆铭德厅举行遗体送别仪式，特设立【袁隆平同志网络吊唁厅】供广大网友在网上献花致祭。如图，是用黑白打印机在纸张上打印的边长为20cm的正方形“网络吊唁厅”二维码。为了估计图中黑色部分的总面积，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2。
13．图1是一个深圳地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．
图1 图2
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，过点D作DE⊥DF，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若CF＝72，AC＝4，AB＝2．则AE＝ ．
第14题 第15题
15．如图，双曲线y＝4x与直线y＝14x交于A、B两点（点A在点B的左侧）,点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则AE2+BF2EF2的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：|－12|＋364－（－2）－3－（3.14－π）0－4cos230°＋|2－12|＋23+1。
17．（6分）先化简（2x2+2xx2−1－x2−xx2−2x+1）÷xx+1，然后从0、1、2中选取一个合适的x值代入求值。
18．（8分）2020年7月23日，天问一号探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了中国自主开展行星探测的第一步。2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。深圳某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表：
组别
测试成绩x/分
频数
频率
A
0≤x＜60
m
0.06
B
60≤x＜70
7
0.14
C
70≤x＜80
a
0.22
D
80≤x＜90
21
0.42
E
90≤x≤100
8
b
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次测试抽取的学生共有 名，
a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）所抽取学生的成绩的中位数落在 组；
（4）该校共有学生3600名，若成绩在80分以上
（含80分）为优秀，假如全部学生参加此次
测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数。
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB＝3，tan∠DBC＝34时，求CM的长。
20．（8分）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米。甲、乙分别从桥梁两端向中间施工，计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样；甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万。
（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，求甲最多施工多少米．
（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多（7a－12）万元，求a的值。
21．（10分）如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为BDC上任意一点．若AE＝AC＝2n，BC＝n2－1，BE＝n2－2n＋1．（n≥2，且n为正整数）。
（1）求证：∠CAE＋∠CDE＝90°；
（2）如图2，当CD过圆心O时，
①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，
连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、
DF之间的数量关系，并证明你的猜想；
②若n＝3，求AD的长。
22．（10分）抛物线y＝－14x2＋bx＋c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2。
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由。
2021年深圳市中考数学模拟押题卷（一）·参考答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．|－2021|的倒数是（ ）
A．－2021 B．－12021 C．12021 D．2021
【分析】利用绝对值的代数意义，以及倒数的性质计算即可．
【解答】解：|－2021|＝2021，
2021的倒数是12021，
故选：C．
2．下列城市地铁的标志图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．据中国卫健委官网数据，截至2021年5月24日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗52725.3万剂次，下列说法不正确的是（ ）
A．52725.3万大约是5.3亿 C．52725.3万用科学记数法表示为5.27253×104
B．52725.3万大约是5.3×108 D．52725.3万用科学记数法表示为5.27253×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数＜1时，n是负整数，注意题目是选错误的。
【解答】解：A、52725.3万采用“四舍五入”法大约是5.3亿，故本选项不合题意；
B、52725.3万大约是5.3×108，故本选项不合题意；
C、52725.3万用科学记数法表示为5.27253×108≠5.27253×104，故本选项符合题意；
D、52725.3万＝527253000＝5.27253×108，故本选项不合题意；
故选：C．
4．计算（2−3）2020（2＋3）2021的结果是（ ）
A．2+3 B．－3－2 C．3−2 D．2−3
【分析】先根据积的乘方得到原式＝[(2−3)(2＋3)]2020·(2+3)，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝[(2−3)(2＋3)]2020×(2+3)
＝（2－3）2020•（2＋3）
＝2＋3．
故选：A．
5．某公司今年1月份生产口罩250万只，按计划第一季度的总生产量要达到910万只．设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，根据题意列方程正确的是（ ）
A．250（1＋x）＝910 C．250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910
B．250（1＋x）2＝910 D．250＋250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910
【分析】设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，则2月份生产口罩250（1＋x）万只，3月份生产口罩250（1＋x）2万只，根据第一季度的总生产量要达到910万只，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该公司2、3两个月生产量的月平均增长率为x，则2月份生产口罩250（1＋x）万只，3月份生产口罩250（1＋x）2万只，
依题意得：250＋250（1＋x）＋250（1＋x）2＝910．
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝22．以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为（ ）
A．π4 B．π3 C．π2 D．π
【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B＝45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
【解答】解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD＝AE＝12AC，
∴AC＝2r，
同理可知：AB＝2r，
∴AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵BC＝22
∴由勾股定理可知AB＝2，
∴r＝1，
∴DE=90π×1180=π2．
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF分别交BC，AB于点G，H，若AC＝4，BC＝8，则△BGH的面积为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．16
【分析】利用勾股定理求出AB，解直角三角形求出GH，可得结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，
∴AB＝AC2+BC2＝42+82＝45
由作图可知，EF垂直平分线段AB，
∴AH＝BH＝25，GH＝BH•tanB＝5，
∴△BGH的面积＝12•BH•GH＝12×25×5＝5．
故选：B．
8．在2021年6月14日端午节到来之际食堂推荐粽子专卖店的1、2、3号三种粽子，对全校师生爱吃那种粽子作调查，以决定最终的采购，下面的统计中，最值得关注的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
【分析】学校食堂最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：C．
9．小明使用图形计算器探究函数y＝ax(x−b)2的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＞0，可知a＞0；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，所以大概预测可以得b约为1，也即b＞0．
【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，
∴a＞0；
∵x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，
∴b＞0．
故选：A．
10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝2EM；④BN2＋EF2＝EN2；
⑤AE•AM＝NE•FM，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①正确，只要证明A，B，C，D，E五点共圆即可解决问题；
②正确，只要证明点M是△ABC的内心即可；
③正确，想办法证明EM＝AE，即可解决问题；
④正确．如图2中，将△ABN逆时针旋转90°得到△AFG，连接EG．想办法证明△GEF是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
⑤错误．利用反证法证明即可；
【解答】解：如图1中，连接BD交AC于O，连接OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，
∴A，B，C，D，E五点共圆，
∵BD是直径，
∴∠BED＝90°，
∴EF⊥ED，故①正确，
∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，
∴BM平分∠ABC，
∵AM平分∠BAC，
∴点M是△ABC的内心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝∠MCA，故②正确，
∵∠EAM＝∠EAC＋∠MAC，∠EMA＝∠BAM＋∠ABM，∠ABM＝∠EAC＝45°，
∴∠EAM＝∠EMA，
∴EA＝EM，
∵△EAC是等腰直角三角形，
∴AC＝2EA＝2EM，故③正确，
如图2中，将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，
∵∠NAB＝∠GAF，
∴∠GAN＝∠BAD＝90°，
∵∠EAN＝45°，
∴∠EAG＝∠EAN＝45°，
∵AG＝AN，AE＝AE，
∴△AEG≌△AEN（SAS），
∴EN＝EG，GF＝BN，
∵∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，
∴∠GFB＝∠GFE＝90°，
∴EG2＝GF2＋EF2，
∴BN2＋EF2＝EN2，故④正确，
不妨设AE•AM＝NE•FM，
∵AE＝EC，
∴ECFM=ENAM，
∴只有△ECN∽△MAF才能成立，
∴∠AMF＝∠CEN，
∴CE∥AM，
∵AE⊥CE，
∴MA⊥AE（矛盾），
∴假设不成立，故⑤错误，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在实数范围内分解因式：a3b－2ab＝ ab（a＋2）（a－2） ．
【分析】首先提取公因式ab，再利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：原式＝ab（a2－2）＝ab（a＋2）（a－2）．
故答案是：ab（a＋2）（a－2）．
12．2021年5月22日13时07分，“共和国勋章”获得者、中国工程院院士、国家杂交水稻工程技术研究中心主任、、第六至第十二届全国政协常委袁隆平同志因病在长沙逝世，享年91岁，于2021年5月24日（星期一）上午10:00在长沙市明阳山殡仪馆铭德厅举行遗体送别仪式，特设立【袁隆平同志网络吊唁厅】供广大网友在网上献花致祭。如图，是用黑白打印机在纸张上打印的边长为20cm的正方形“网络吊唁厅”二维码。为了估计图中黑色部分的总面积，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2。
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.75，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在075左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.75，
∴估计黑色部分的总面积约为20×20×0.75＝300（cm2），
故答案为：300．
13．图1是一个深圳地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 64cm ．
图1 图2
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝12AC＝12×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64（cm），
故答案为：64cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，过点D作DE⊥DF，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若CF＝72，AC＝4，AB＝2．则AE＝ 10 ．
【分析】延长FD至G，使GD＝FD，连接BG，证明△BDG≌△CDF（SAS），得出BG＝CF＝72，∠G＝∠F，证明△BGH∽△AFH，得出GHFH=BHAH=BGAF=715，得出DHFD=411，AH＝1522AB＝1511，由勾股定理得出HF＝75522，得出DH＝415FH＝10511，证明△DHE∽△AHF，得出HEHF=DHAH，解得HE＝12511，即可得出答案．
【解答】解：延长FD至G，使GD＝FD，连接BG，如图所示：
∵D为BC的中点，∴BD＝CD，
在△BDG和△CDF中，BD=CD∠BDC=∠CDFGD=FD，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF＝72，∠G＝∠F，
∴BG∥CF，
∴△BGH∽△AFH，
∴GHFH=BHAH=BGAF=724+72=715
∴DHFD=411，AH＝1522AB＝1511，
∵∠BAC＝90°，AF＝AC＋CF＝152，
∴HF＝(152)2+(1511)2=75522，
∴DH＝415FH＝10511，
∵DE⊥DF，
∴∠EDH＝90°＝∠BAC，
∴∠E＋∠EHD＝∠F＋∠EHD＝90°，
∴∠E＝∠F，
∴△DHE∽△AHF，
∴HEHF=DHAH，即 HE75522=105111511
解得：HE＝12511，
∴AE＝HE－AH＝12511−1511＝10；故答案为：10．
15．如图，双曲线y＝4x与直线y＝14x交于A、B两点（点A在点B的左侧）,点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则AE2+BF2EF2的值是 1 ．
【分析】方法1：由所求的式子联想到勾股定理，故过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设FH＝a，则有OF＝4＋a，BF2＝a2＋1．易证△AEG∽△BFH，从而有AEBF=EGFH=AGBH＝4，就可用a的代数式表示AE2、EF2，然后代入所求的式子就可解决问题；
方法2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，易证△AOG≌△BOF，则有AG＝BF，OG＝OF．根据线段的垂直平分线的性质可得EG＝EF，在Rt△GAE中运用勾股定理可得AG2＋AE2＝GE2，然后通过等量代换就可解决问题．
【解答】
解法一：如图，过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设直线AC与x轴交于点K，
联立y=4xy=x4，
解得：x1=−4y1=−1，x2=4y2=1
∵点A在点B的左侧，
∴A（－4，－1），B（4，1）．
∴AG＝4，OG＝1，OH＝4，BH＝1．
设FH＝a，则有OF＝OH＋FH＝4＋a，BF2＝FH2＋BH2＝a2＋1．
∵AC⊥CF，OE⊥OK，
∴∠CFK＝90°－∠CKF＝∠OEK．
∵AG⊥y轴，BH⊥x轴，
∴∠AGE＝∠BHF＝90°．
∴△AEG∽△BFH．
∴AEBF=EGFH=AGBH＝4．
∴AE2＝16BF2＝16（a2＋1），EG＝4FH＝4a．
∴OE＝|EG－OG|＝|4a－1|．
∴EF2＝（4a－1）2＋（4＋a）2＝17（a2＋1）．
∴AE2＋BF2EF2=16(a2+1)+(a2+1)17(a2+1)＝1．
故答案为：1．
解法二：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，如图．
则有∠GAC＝∠FCA＝90°，∠AGO＝∠BFO．
∵双曲线y＝4x与直线y＝14x都关于点O成中心对称，
∴它们的交点也关于点O成中心对称，即OA＝OB．
在△AOG和△BOF中，
∠AGO=∠BFO∠AOG=∠BOFOA=OB，
∴△AOG≌△BOF，
∴AG＝BF，OG＝OF．
∵OE⊥GF，
∴EG＝EF．
∵∠GAC＝90°，
∴AG2＋AE2＝GE2，
∴BF2＋AE2＝EF2，
∴AE2＋BF2EF2＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：|－12|＋364－（－2）－3－（3.14－π）0－4cos230°＋|2－12|＋23+1．
【分析】先计算绝对值，负指数幂，算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减法即可得到答案．
【解答】解：原式＝12＋4＋18－1－4×(32)2＋23－2＋3－1＝12＋18＋33－3＝－198＋33
17．（6分）先化简（2x2+2xx2−1－x2−xx2−2x+1）÷xx+1，然后从0、1、2中选取一个合适的x值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[2x(x+1)(x+1)(x−1)－x(x−1)(x−1)2]÷xx+1
＝(2xx−1－xx−1)·x+1x
＝xx−1·x+1x
＝x+1x−1，
当x＝2时，原式＝2+12−1＝3．
18．（8分）2020年7月23日，天问一号探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了中国自主开展行星探测的第一步。2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。深圳某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表：
组别
测试成绩x/分
频数
频率
A
0≤x＜60
m
0.06
B
60≤x＜70
7
0.14
C
70≤x＜80
a
0.22
D
80≤x＜90
21
0.42
E
90≤x≤100
8
b
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次测试抽取的学生共有 50 名，a＝ 11 ，b＝ 0.16 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）所抽取学生的成绩的中位数落在 D 组；
（4）该校共有学生3600名，若成绩在80分以上（含80分）为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数。
【分析】（1）由B组频数和频率可得总人数，总人数乘以C组频率可得a的值，E组频数除以总人数可得b的值；
（2）总人数乘以A组频率可得m的值，从而补全图形；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）这次测试抽取的学生共有7÷0.14＝50（名），
则a＝50×0.22＝11，b＝8÷50＝0.16，故答案为：50、11、0.16．
（2）m＝50×0.06＝3，
补全图形如下：
（3）由于共有50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，而这2个数据均落在D组，
所以所抽取学生的成绩的中位数落在D组，故答案为：D．
（4）估计该校学生成绩为优秀的人数为3600×21+850＝2088（人）．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB＝3，tan∠DBC＝34时，求CM的长．
【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC＝BD，即可得出结论；
（2）过点M作MG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出MG＝MC．由三角函数定义得出BC＝4，sin∠ACB＝sin∠DBC．，设CM＝MG＝x，则BM＝4－x，在Rt△BMG中，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD．
∴▱ABCD为矩形．
（2）过点M作MG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴CM⊥CD，
∵DM为∠BDC的角平分线，
∴MG＝CM．
∵OB＝OC，
∴∠ACB＝∠DBC．
∵AB＝3，tan∠DBC＝34，
∴tan∠ACB＝tan∠DBC＝34=ABBC．
∴BC＝4．
∴AC＝BD＝BC2+CD2=32+42＝5，sin∠ACB＝sin∠DBC＝ABAC=35．
设CM＝MG＝x，则BM＝4－x，
在△BMG中，∠BGM＝90°，
∴sin∠DBC＝x4−x=35．
解得：x＝32，
∴CM＝32．
20．（8分）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米。甲、乙分别从桥梁两端向中间施工，计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样；甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万。
（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，求甲最多施工多少米．
（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多（7a－12）万元，求a的值。
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000－x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本＝每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（7a－12）万元，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000－x）米，
依题意，得：12（5000－x）≥65×10x，
解得：x≤2500．
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得：（10＋a）（10＋16a）＋12（10－29a）＝10×（10＋12）＋7a－12，
整理，得：a2－18a＋72＝0，
解得：a1＝12，a2＝6．
实际成本：16a2＋4a＋110．
当a＝12时，16×122＋4×12＋110＝182＞150，故舍去．
当a＝6时，16×62＋4×6＋110＝140＜150，符合题意．
答：a的值为6．
21．（10分）如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为BDC上任意一点．若AE＝AC＝2n，BC＝n2－1，BE＝n2－2n＋1．（n≥2，且n为正整数）。
（1）求证：∠CAE＋∠CDE＝90°；
（2）如图2，当CD过圆心O时，
①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；
②若n＝3，求AD的长。
【分析】（1）由勾股定理的逆定理得∠ACB＝90°，则∠CAB＋∠ABC＝90°，即可解决问题；
（2）①先由旋转的性质得：∠AEF＝∠ACD，AF＝AD，EF＝CD，再证∠DEF＝90°，由勾股定理得EF2＋DE2＝DF2，即可得出结论；
②过点C作CH⊥AB于H，先由△ABC的面积得CH＝245，再由勾股定理得AH＝185，CE＝1255，然后由锐角三角函数定义求出CD＝45，最后证△ACE∽△ADF，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE＝2n，BE＝n2－2n＋1，
∴AB＝AE＋BE＝n2＋1，
∵AC2＋BC2＝（2n）2＋（n2－1）2＝n4＋2n2＋1，AB2＝（n2＋1）2＝n4＋2n2＋1，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴∠CAB＋∠CDE＝90°，
即∠CAE＋∠CDE＝90°；
（2）解：①补全图形如图2所示，CD2＋DE2＝DF2，证明如下：
由旋转的性质得：∠AEF＝∠ACD，AF＝AD，EF＝CD，
由（1）得：∠CAE＋∠CDE＝90°，
∵∠ACD＋∠AED＋∠CAE＋∠CDE＝360°，
∴∠ACD＋∠AED＝270°，
∵∠AED＋∠AEF＋∠DEF＝360°，
∴∠DEF＝90°， ∴EF2＋DE2＝DF2，
∴CD2＋DE2＝DF2；
②当n＝3时，AC＝AE＝6，BC＝8，AB＝10，
过点C作CH⊥AB于H，如图3所示：
由△ABC的面积得：CH＝AC·BCAB＝6×810＝245，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AH＝AC2−CH2＝62−(245)2＝185，
∴HE＝AE－AH＝6－185＝125，
在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH2+HE2＝(245)2+(125)2＝1255，
∵∠CDE＝∠ABC，
∴sin∠CDE＝sin∠ABC，
∴CECD=ACAB， 即1255CD=610，
解得：CD＝45，
由旋转的性质得：EF＝CD＝45，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝CD2−CE2＝（45）2−（1255）2＝1655，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF＝DE2+EF2＝（45）2+（1255）2＝42055，
∵ACAD=AEAF，∠CAE＝∠DAF，
∴△ACE∽△ADF， ∴ACAD=CEDF，
∴AD＝AC·DFCE＝6×420551255＝241。
22．（10分）抛物线y＝－14x2＋bx＋c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2。
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由。
【分析】（1）由题意得出－14×42＋4b＋c＝3－b2×(−14)=2，解得b=1c=3，得出抛物线的函数表达式为：y＝－14x2＋x＋3＝－14（x－2）2＋4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y＝−1m−2x＋4m−6m−2，则点M的坐标为（4m－6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝4m－6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝5m−182，分两种情况求出m的值即可；
（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，－14a2＋a＋3），则NF＝3－（－14a2＋a＋3）＝14a2－a，NC＝－a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝4，则AE＝NC＝－a，证△ENF∽△DAE，得出NEAD=NFAE，求出a＝－43或0，当a＝0时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝－a＝43，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝－14x2＋bx＋c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴－14×42＋4b＋c＝3－b2×(−14)=2，
解得：b=1c=3，
∴抛物线的函数表达式为：y＝－14x2＋x＋3，
∵y＝－14x2＋x＋3＝－14（x－2）2＋4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y＝－14x2＋x＋3，
∴x＝0时，y＝3，
则C点的坐标为（0，3），
∵A（4，3），
∴AC∥OD，
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx＋n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则2k+n=4mk+n=3，
解得：k=−1m−2n=4m−6m−2，
∴直线BE的函数表达式为：y＝−1m−2x＋4m−6m−2，
令y＝−1m−2x＋4m−6m−2＝0，则x＝4m－6，
∴点M的坐标为（4m－6，0），
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C（0，3），A（4，3），M（4m－6，0），E（m，3），
∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m－6，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，
S梯形ECOM＝12（OM＋EC）•OC＝12（4m－6＋m）×3＝15m−182，
分两种情况：
①S梯形ECOMS矩形ACOD＝14，即15m−18212＝14，
解得：m＝85，
∴点E的坐标为：（85，3）；
②S梯形ECOMS矩形ACOD＝34，即15m−18212＝34，
解得：m＝125，
∴点E的坐标为：（125，3）；
综上所述，点E的坐标为：（85，3）或（125，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：
由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为：（a，－14a2＋a＋3），
则NF＝3－（－14a2＋a＋3）＝14a2－a，NC＝－a，
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，
∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠DGO，
在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODGEF=DG∠EFN=∠DGO，
∴△EFN≌△DGO（ASA），
∴NE＝OD＝AC＝4，
∴AC－CE＝NE－CE，即AE＝NC＝－a，
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，
∴∠NEF＋∠EFN＝90°，∠NEF＋∠DEA＝90°，
∴∠EFN＝∠DEA，
∴△ENF∽△DAE，
∴NEAD=NFAE，即43＝14a2−a−a，
整理得：34a2＋a＝0，
解得：a＝－43或0，
当a＝0时，点E与点A重合，
∴a＝0舍去，
∴AE＝NC＝－a＝43，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为43．
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