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2021年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷 （word版 含答案）
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这是一份2021年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷 （word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项。
1．﹣的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
2．若∠A的余角是35°，则∠A的大小是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．125°
3．已知长方体的体积V＝4，高h＝，则它的底面积S为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
4．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a2•3a3＝6a3
C．（3ab2）2＝6a2b4 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤1 B．m＜1 C．m≥1 D．m＞1
7．A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机在无风时的平均速度是（ ）
A．720km/h B．750km/h C．765km/h D．780km/h
8．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为3.5m）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．28m B．35m C．42m D．56m
9．如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ADC＝32°，则∠ACB的大小为（ ）
A．58° B．68° C．88° D．148°
10．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
11．（4分）下列各数：﹣，，﹣，0.31中，为无理数的是 ．
12．（4分）因式分解：4x2﹣9＝ ．
13．（4分）学校女生人数是全体学生人数的52%，比男生人数多80人，这个学校有学生 人．
14．（4分）若分式的值为0，则x＝ ．
15．（4分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
16．（4分）如图，将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后点A的坐标是 ．
17．（4分）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 度．
18．（4分）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m+n＝ ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（6分）计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．
20．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图，请在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DC＝3，AD＝5，AB＝4，请写出线段AB和BD的位置关系并说明理由．
22．（8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角为30°（即∠BAC＝30°），BC⊥AC．小强站在斜坡中点D处测得建筑物顶部H的仰角为30°（即∠HDM＝30°）（小强的身高忽略不计），建筑物GH距离坡脚A点27米（即AG＝27米），点B，C，A，G，H在同一平面上，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，试问建筑物GH的高为多少米？
23．（10分）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，运动会的比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“有轨电车”、“摸石过河”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目），将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加趣味比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动比赛，
（1）小明参加“有轨电车”的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图法，求出小明和小亮参加同一项目的概率．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
24．（8分）某学校初一、初二年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况，学校从初一、初二年级中各随机抽取20名学生进行消防安全知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
初一年级20名学生测试成绩统计如下：
78 56 74 81 95 75 87 70 75 90 75 79 86 60 54 80 66 69 83 97．
初二年级20名学生测试成绩，不低于80分但低于90分的成绩如下：
83 86 81 87 80 81 82
【整理数据】按照如表分数段整理、描述两组样本数据：
成绩
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
初一
2
3
7
5
3
初二
0
4
5
7
4
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
初一
76.5
76.5
b
初二
79.2
a
74
（1）由上表填空a＝ ，b＝ ；
（2）根据抽样调查数据，估计初一年级的消防安全知识测试成绩在70分及其以上的有多少人．
（3）通过以上分析，你认为哪个年级对消防安全知识掌握得更好？请说明理由．
25．（10分）如图在平面直角坐标系中，A点的坐标为（24，m），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．
26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB，CD与OA的延长线交于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACB＝120°，OA＝2，求CD的长．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
28．（12分）已知：直线y＝x+2与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值；
（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
2021年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项。
1．﹣的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：A．
2．若∠A的余角是35°，则∠A的大小是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．125°
【分析】根据和为90°的两个角互余，用90°减去一个角的余角就等于这个角的度数．
【解答】解：∵∠A的余角是35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
3．已知长方体的体积V＝4，高h＝，则它的底面积S为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】根据V＝Sh，得到S的表达式，根据二次根式的除法法则计算即可．
【解答】解：∵V＝Sh，
∴S＝
＝
＝2，
故选：C．
4．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是一个正方形，上层的中间是一个较小的正方形．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a2•3a3＝6a3
C．（3ab2）2＝6a2b4 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】先根据合并同类项法则，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；
B．2a2•3a3＝6a5，故本选项不符合题意；
C．（3ab2）2＝9a2b4，故本选项不符合题意；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项符合题意；
故选：D．
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤1 B．m＜1 C．m≥1 D．m＞1
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≤1．
故选：A．
7．A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机在无风时的平均速度是（ ）
A．720km/h B．750km/h C．765km/h D．780km/h
【分析】设飞机在无风时的平均速度是xkm/h，平均风速是ykm/h，根据路程＝速度×时间，结合“一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线要13h”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设飞机在无风时的平均速度是xkm/h，平均风速是ykm/h，
依题意得：，
解得：．
故选：C．
8．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为3.5m）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．28m B．35m C．42m D．56m
【分析】由题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG＝GM＝3.5m，同理可证出AF＝EF＝3.5m，再根据AB＝BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．
【解答】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF，
∴∠BMG＝∠BGM＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG＝GM＝2.5（m），
同理可证：AF＝EF＝3.5（m）
∴AB＝BG+GF+AF＝3.5×3＝10.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为10.5×4＝42（m）．
故选：C．
9．如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ADC＝32°，则∠ACB的大小为（ ）
A．58° B．68° C．88° D．148°
【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC＝90°，∠B＝∠ADC＝32°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：连接AB，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝58°；
故选：A．
10．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，
由三角形面积公式得：y＝＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝＝＝8，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
11．（4分）下列各数：﹣，，﹣，0.31中，为无理数的是 ﹣ ．
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【解答】解：﹣是分数，属于有理数；
＝2，属于有理数；
﹣是无理数；
0.31是有理数，
故答案为：﹣．
12．（4分）因式分解：4x2﹣9＝ （2x+3）（2x﹣3） ．
【分析】利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝（2x+3）（2x﹣3），
故答案为：（2x+3）（2x﹣3）．
13．（4分）学校女生人数是全体学生人数的52%，比男生人数多80人，这个学校有学生 2000 人．
【分析】设这个学校有x人，分别表示出男生的人数及女生的人数，根据女生比男生多80人可得出方程，求解即可．
【解答】解：设这个学校有学生x人，
由题意得，女生占全体学生人数的52%，男生占全体学生人数的（1﹣52%），
则女生有52%x（人），男生有（1﹣52%）x人，
故可得方程：52%x﹣（1﹣52%）x＝80，
解得：x＝2000．
故答案为：2000．
14．（4分）若分式的值为0，则x＝ 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意得：3x﹣6＝0，
解得：x＝2．
故答案是：2．
15．（4分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 0.5 （精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
16．（4分）如图，将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后点A的坐标是 （1，7） ．
【分析】根据坐标平移规律即可求出答案．
【解答】解：∵A（﹣1，4），
∴点A向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（1，7），
故答案为：（1，7）．
17．（4分）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 150 度．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，
解得：r＝24cm，
又∵l＝＝20πcm，
∴n＝150°．
故答案为：150．
18．（4分）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m+n＝ 109 ．
【分析】观察式子可得到第n﹣1个式子的整数部分为n，故第n﹣1个式子为，可得m、n的值，问题可解．
【解答】解：∵①＝；
②＝；
③＝，
……
∴一般规律为：n，
∴10
∴n＝10，m＝102﹣1＝99，
∴m+n＝109．
故答案为：109．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（6分）计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+3+2﹣6×
＝3+3+2﹣3
＝5．
20．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：解不等式2x≤6﹣x，得x≤2，
解不等式3x+1＞2（x﹣1），得x＞﹣3，
所以，原不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
在数轴上表示如下：
．
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图，请在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DC＝3，AD＝5，AB＝4，请写出线段AB和BD的位置关系并说明理由．
【分析】（1）作BC的垂直平分线交AC于D，则DC＝DB，所以AC＝AD+BD，于是可判断P点满足条件；
（2）利用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，∠ABD＝90°，从而得到结论．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）结论：AB⊥BD．
理由：∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC＝3，
在△ABD中，∵BD＝3，AB＝4，AD＝5，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴△ABD为直角三角形，∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD．
22．（8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角为30°（即∠BAC＝30°），BC⊥AC．小强站在斜坡中点D处测得建筑物顶部H的仰角为30°（即∠HDM＝30°）（小强的身高忽略不计），建筑物GH距离坡脚A点27米（即AG＝27米），点B，C，A，G，H在同一平面上，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，试问建筑物GH的高为多少米？
【分析】如图，过D作DP⊥AC于P，根据线段中点的定义得到AD＝AB＝30（米），过D作DM⊥GH于M，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，过D作DP⊥AC于P，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝AB＝30（米），
在Rt△DPA中，∵∠BAC＝30°，
∴PD＝AD＝30＝15（米），PA＝AD•cos30°＝30×＝15（米），
过D作DM⊥GH于M，
则四边形DPGM是矩形，
∴DM＝PG＝15+27＝42（米），
在Rt△DMH中，HM＝DM•tan30°＝42＝42（米），
∴GH＝HM+MG＝42+15＝57（米），
答：建筑物GH的高为57米．
23．（10分）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，运动会的比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“有轨电车”、“摸石过河”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目），将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加趣味比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动比赛，
（1）小明参加“有轨电车”的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图法，求出小明和小亮参加同一项目的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图，共有16个等可能的结果，其中小明和小亮参加同一项目的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明参加“有轨电车”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，其中小明和小亮参加同一项目的结果有4个，
∴小明和小亮参加同一项目的概率为＝．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
24．（8分）某学校初一、初二年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况，学校从初一、初二年级中各随机抽取20名学生进行消防安全知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
初一年级20名学生测试成绩统计如下：
78 56 74 81 95 75 87 70 75 90 75 79 86 60 54 80 66 69 83 97．
初二年级20名学生测试成绩，不低于80分但低于90分的成绩如下：
83 86 81 87 80 81 82
【整理数据】按照如表分数段整理、描述两组样本数据：
成绩
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
初一
2
3
7
5
3
初二
0
4
5
7
4
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
初一
76.5
76.5
b
初二
79.2
a
74
（1）由上表填空a＝ 80.5 ，b＝ 75 ；
（2）根据抽样调查数据，估计初一年级的消防安全知识测试成绩在70分及其以上的有多少人．
（3）通过以上分析，你认为哪个年级对消防安全知识掌握得更好？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数与众数的概念解答；
（2）根据用样本估计总体的方法即可得结论；
（3）根据平均数，中位数和方差进行比较．
【解答】解：（1）将初二年级20名学生测试成绩按从小到大的顺序排列后发现，第10、11个数据是第四组（80≤x＜90）的最小两个数，
而第四组7人的成绩为83 86 81 87 80 81 82，所以中位数为：（80+81）÷2＝80.5，即a＝80.5．
初一年级20名学生测试成绩中，75分有3名同学，人数最多，故众数为75，即b＝75．
故答案为：80.5，75；
（2）500×＝375（人）．
即估计初一年级消防安全知识测试成绩在70分及其以上的大约有375人；
（3）初二年级对消防安全知识掌握得更好．理由如下：
∵初二年级成绩的平均数、中位数都高于初一年级，且方差小于初一年级成绩的方差，说明初二年级学生的成绩更加稳定，
∴初二年级对消防安全知识掌握得更好．
25．（10分）如图在平面直角坐标系中，A点的坐标为（24，m），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．
【分析】（1）先利用正弦的定义求出OA＝26，则可利用勾股定理计算出AB＝10，所以A（24，10），利用线段的中点坐标公式得到C点坐标为（12，5），从而可确定反比例解析式；
（2）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定D（24，），然后利用四边形OCDB的面积＝S△OAB﹣S△ACD进行计算．
【解答】解：（1）∵A点的坐标为（24，m），
∴OB＝24，
∵AB⊥x轴于点B，
∴sin∠OAB＝＝，
∴OA＝26，
∴AB＝＝＝10，
∴A（24，10），
∵C点为OA的中点，
∴C点坐标为（12，5），
把C（6，5）代入y＝得k＝12×5＝60，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）当x＝24时，y＝＝，则D（24，），
∴四边形OCDB的面积＝S△OAB﹣S△ACD
＝×24×10﹣×（24﹣12）×（10﹣）
＝75．
26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB，CD与OA的延长线交于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACB＝120°，OA＝2，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D＝30°，利用解直角三角形求得CD的长即可．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OC，
∵CA＝CB，
∴＝，
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵CA＝CB，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠DOC＝60°
∴∠D＝30°，
∴OC＝OD，
∵OA＝OC＝2，
∴DO＝4，
∴CD＝＝2．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
【分析】（1）证明△ABM≌△DCM（SAS），即可得出结论；
（2）先证四边形MENF是平行四边形，再证ME＝MF，则平行四边形MENF是菱形，然后证∠EMF＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM；
（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，
∵MF＝CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AB：AD＝1：2，
∴AD＝2AB，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
28．（12分）已知：直线y＝x+2与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值；
（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）利用直线y＝x+2与y轴交于A，求得点A的坐标，再利用B点的坐标利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）设点P坐标为（a，a2﹣a+2），则点F（a，a+2），可求PF的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）设出Q点的坐标，然后表示出AQ、EQ的长，求出AE的长，利用勾股定理得到有关Q点的横坐标的方程，求得其横坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与y轴交于A，
∴A点的坐标为（0，2），
∵B点坐标为 （1，0）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；
（2）如图，过点P作PF⊥x轴，交AD于F，
根据题意得：x+2＝x2﹣x+2，
解得：x＝0或x＝6，
∴A（0，2），E（6，5），
设点P坐标为（a，a2﹣a+2），则点F（a，a+2），
∴PF＝a+2﹣（a2﹣a+2）＝﹣a2+3a，
∴S△PAE＝×（﹣a2+3a）×6＝﹣（a﹣3）2+，
当a＝3时，△PAE面积的最大值为；
（3）∵A（0，2），E（6，5），
∴AE＝3，
设Q（x，0），
①若Q为直角顶点，
则AQ2+EQ2＝AE2，
即x2+4+（x﹣6）2+25＝45，
此时x无解；
②若点A为直角顶点，
则AQ2+AE2＝EQ2，
即x2+4+45＝（x﹣6）2+25，
解得：x＝1，
即Q（1，0）；
③若E为直角顶点，
则AQ2＝AE2+EQ2，
即x2+4＝45+（x﹣6）2+25，
解得：x＝，
此时求得Q（，0）；
∴Q（1，0）或（，0）．
2021年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项。
1．﹣的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
2．若∠A的余角是35°，则∠A的大小是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．125°
3．已知长方体的体积V＝4，高h＝，则它的底面积S为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
4．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a2•3a3＝6a3
C．（3ab2）2＝6a2b4 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤1 B．m＜1 C．m≥1 D．m＞1
7．A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机在无风时的平均速度是（ ）
A．720km/h B．750km/h C．765km/h D．780km/h
8．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为3.5m）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．28m B．35m C．42m D．56m
9．如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ADC＝32°，则∠ACB的大小为（ ）
A．58° B．68° C．88° D．148°
10．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
11．（4分）下列各数：﹣，，﹣，0.31中，为无理数的是 ．
12．（4分）因式分解：4x2﹣9＝ ．
13．（4分）学校女生人数是全体学生人数的52%，比男生人数多80人，这个学校有学生 人．
14．（4分）若分式的值为0，则x＝ ．
15．（4分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
16．（4分）如图，将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后点A的坐标是 ．
17．（4分）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 度．
18．（4分）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m+n＝ ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（6分）计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．
20．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图，请在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DC＝3，AD＝5，AB＝4，请写出线段AB和BD的位置关系并说明理由．
22．（8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角为30°（即∠BAC＝30°），BC⊥AC．小强站在斜坡中点D处测得建筑物顶部H的仰角为30°（即∠HDM＝30°）（小强的身高忽略不计），建筑物GH距离坡脚A点27米（即AG＝27米），点B，C，A，G，H在同一平面上，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，试问建筑物GH的高为多少米？
23．（10分）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，运动会的比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“有轨电车”、“摸石过河”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目），将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加趣味比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动比赛，
（1）小明参加“有轨电车”的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图法，求出小明和小亮参加同一项目的概率．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
24．（8分）某学校初一、初二年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况，学校从初一、初二年级中各随机抽取20名学生进行消防安全知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
初一年级20名学生测试成绩统计如下：
78 56 74 81 95 75 87 70 75 90 75 79 86 60 54 80 66 69 83 97．
初二年级20名学生测试成绩，不低于80分但低于90分的成绩如下：
83 86 81 87 80 81 82
【整理数据】按照如表分数段整理、描述两组样本数据：
成绩
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
初一
2
3
7
5
3
初二
0
4
5
7
4
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
初一
76.5
76.5
b
初二
79.2
a
74
（1）由上表填空a＝ ，b＝ ；
（2）根据抽样调查数据，估计初一年级的消防安全知识测试成绩在70分及其以上的有多少人．
（3）通过以上分析，你认为哪个年级对消防安全知识掌握得更好？请说明理由．
25．（10分）如图在平面直角坐标系中，A点的坐标为（24，m），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．
26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB，CD与OA的延长线交于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACB＝120°，OA＝2，求CD的长．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
28．（12分）已知：直线y＝x+2与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值；
（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
2021年甘肃省平凉市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项。
1．﹣的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：A．
2．若∠A的余角是35°，则∠A的大小是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．125°
【分析】根据和为90°的两个角互余，用90°减去一个角的余角就等于这个角的度数．
【解答】解：∵∠A的余角是35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
3．已知长方体的体积V＝4，高h＝，则它的底面积S为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】根据V＝Sh，得到S的表达式，根据二次根式的除法法则计算即可．
【解答】解：∵V＝Sh，
∴S＝
＝
＝2，
故选：C．
4．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是一个正方形，上层的中间是一个较小的正方形．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a2•3a3＝6a3
C．（3ab2）2＝6a2b4 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】先根据合并同类项法则，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；
B．2a2•3a3＝6a5，故本选项不符合题意；
C．（3ab2）2＝9a2b4，故本选项不符合题意；
D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项符合题意；
故选：D．
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤1 B．m＜1 C．m≥1 D．m＞1
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≤1．
故选：A．
7．A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机在无风时的平均速度是（ ）
A．720km/h B．750km/h C．765km/h D．780km/h
【分析】设飞机在无风时的平均速度是xkm/h，平均风速是ykm/h，根据路程＝速度×时间，结合“一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线要13h”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设飞机在无风时的平均速度是xkm/h，平均风速是ykm/h，
依题意得：，
解得：．
故选：C．
8．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为3.5m）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）
A．28m B．35m C．42m D．56m
【分析】由题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG＝GM＝3.5m，同理可证出AF＝EF＝3.5m，再根据AB＝BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．
【解答】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF，
∴∠BMG＝∠BGM＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG＝GM＝2.5（m），
同理可证：AF＝EF＝3.5（m）
∴AB＝BG+GF+AF＝3.5×3＝10.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为10.5×4＝42（m）．
故选：C．
9．如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ADC＝32°，则∠ACB的大小为（ ）
A．58° B．68° C．88° D．148°
【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC＝90°，∠B＝∠ADC＝32°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：连接AB，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝58°；
故选：A．
10．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．
【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC于H，
由三角形面积公式得：y＝＝30，
解得EH＝AB＝6，
∴AE＝＝＝8，
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴AD＝AE+DE＝8+4＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
11．（4分）下列各数：﹣，，﹣，0.31中，为无理数的是 ﹣ ．
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【解答】解：﹣是分数，属于有理数；
＝2，属于有理数；
﹣是无理数；
0.31是有理数，
故答案为：﹣．
12．（4分）因式分解：4x2﹣9＝ （2x+3）（2x﹣3） ．
【分析】利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝（2x+3）（2x﹣3），
故答案为：（2x+3）（2x﹣3）．
13．（4分）学校女生人数是全体学生人数的52%，比男生人数多80人，这个学校有学生 2000 人．
【分析】设这个学校有x人，分别表示出男生的人数及女生的人数，根据女生比男生多80人可得出方程，求解即可．
【解答】解：设这个学校有学生x人，
由题意得，女生占全体学生人数的52%，男生占全体学生人数的（1﹣52%），
则女生有52%x（人），男生有（1﹣52%）x人，
故可得方程：52%x﹣（1﹣52%）x＝80，
解得：x＝2000．
故答案为：2000．
14．（4分）若分式的值为0，则x＝ 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意得：3x﹣6＝0，
解得：x＝2．
故答案是：2．
15．（4分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 0.5 （精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
16．（4分）如图，将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后点A的坐标是 （1，7） ．
【分析】根据坐标平移规律即可求出答案．
【解答】解：∵A（﹣1，4），
∴点A向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（1，7），
故答案为：（1，7）．
17．（4分）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 150 度．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，
解得：r＝24cm，
又∵l＝＝20πcm，
∴n＝150°．
故答案为：150．
18．（4分）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m+n＝ 109 ．
【分析】观察式子可得到第n﹣1个式子的整数部分为n，故第n﹣1个式子为，可得m、n的值，问题可解．
【解答】解：∵①＝；
②＝；
③＝，
……
∴一般规律为：n，
∴10
∴n＝10，m＝102﹣1＝99，
∴m+n＝109．
故答案为：109．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（6分）计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+3+2﹣6×
＝3+3+2﹣3
＝5．
20．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：解不等式2x≤6﹣x，得x≤2，
解不等式3x+1＞2（x﹣1），得x＞﹣3，
所以，原不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
在数轴上表示如下：
．
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图，请在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DC＝3，AD＝5，AB＝4，请写出线段AB和BD的位置关系并说明理由．
【分析】（1）作BC的垂直平分线交AC于D，则DC＝DB，所以AC＝AD+BD，于是可判断P点满足条件；
（2）利用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，∠ABD＝90°，从而得到结论．
【解答】解：（1）如图，点D为所作；
（2）结论：AB⊥BD．
理由：∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC＝3，
在△ABD中，∵BD＝3，AB＝4，AD＝5，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴△ABD为直角三角形，∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD．
22．（8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角为30°（即∠BAC＝30°），BC⊥AC．小强站在斜坡中点D处测得建筑物顶部H的仰角为30°（即∠HDM＝30°）（小强的身高忽略不计），建筑物GH距离坡脚A点27米（即AG＝27米），点B，C，A，G，H在同一平面上，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，试问建筑物GH的高为多少米？
【分析】如图，过D作DP⊥AC于P，根据线段中点的定义得到AD＝AB＝30（米），过D作DM⊥GH于M，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，过D作DP⊥AC于P，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝AB＝30（米），
在Rt△DPA中，∵∠BAC＝30°，
∴PD＝AD＝30＝15（米），PA＝AD•cos30°＝30×＝15（米），
过D作DM⊥GH于M，
则四边形DPGM是矩形，
∴DM＝PG＝15+27＝42（米），
在Rt△DMH中，HM＝DM•tan30°＝42＝42（米），
∴GH＝HM+MG＝42+15＝57（米），
答：建筑物GH的高为57米．
23．（10分）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，运动会的比赛项目有：“两人三足”、“春种秋收”、“有轨电车”、“摸石过河”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个运动项目），将A，B，C，D这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加趣味比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动比赛，
（1）小明参加“有轨电车”的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图法，求出小明和小亮参加同一项目的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图，共有16个等可能的结果，其中小明和小亮参加同一项目的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明参加“有轨电车”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，其中小明和小亮参加同一项目的结果有4个，
∴小明和小亮参加同一项目的概率为＝．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
24．（8分）某学校初一、初二年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况，学校从初一、初二年级中各随机抽取20名学生进行消防安全知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
初一年级20名学生测试成绩统计如下：
78 56 74 81 95 75 87 70 75 90 75 79 86 60 54 80 66 69 83 97．
初二年级20名学生测试成绩，不低于80分但低于90分的成绩如下：
83 86 81 87 80 81 82
【整理数据】按照如表分数段整理、描述两组样本数据：
成绩
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
初一
2
3
7
5
3
初二
0
4
5
7
4
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
初一
76.5
76.5
b
初二
79.2
a
74
（1）由上表填空a＝ 80.5 ，b＝ 75 ；
（2）根据抽样调查数据，估计初一年级的消防安全知识测试成绩在70分及其以上的有多少人．
（3）通过以上分析，你认为哪个年级对消防安全知识掌握得更好？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数与众数的概念解答；
（2）根据用样本估计总体的方法即可得结论；
（3）根据平均数，中位数和方差进行比较．
【解答】解：（1）将初二年级20名学生测试成绩按从小到大的顺序排列后发现，第10、11个数据是第四组（80≤x＜90）的最小两个数，
而第四组7人的成绩为83 86 81 87 80 81 82，所以中位数为：（80+81）÷2＝80.5，即a＝80.5．
初一年级20名学生测试成绩中，75分有3名同学，人数最多，故众数为75，即b＝75．
故答案为：80.5，75；
（2）500×＝375（人）．
即估计初一年级消防安全知识测试成绩在70分及其以上的大约有375人；
（3）初二年级对消防安全知识掌握得更好．理由如下：
∵初二年级成绩的平均数、中位数都高于初一年级，且方差小于初一年级成绩的方差，说明初二年级学生的成绩更加稳定，
∴初二年级对消防安全知识掌握得更好．
25．（10分）如图在平面直角坐标系中，A点的坐标为（24，m），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．
【分析】（1）先利用正弦的定义求出OA＝26，则可利用勾股定理计算出AB＝10，所以A（24，10），利用线段的中点坐标公式得到C点坐标为（12，5），从而可确定反比例解析式；
（2）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定D（24，），然后利用四边形OCDB的面积＝S△OAB﹣S△ACD进行计算．
【解答】解：（1）∵A点的坐标为（24，m），
∴OB＝24，
∵AB⊥x轴于点B，
∴sin∠OAB＝＝，
∴OA＝26，
∴AB＝＝＝10，
∴A（24，10），
∵C点为OA的中点，
∴C点坐标为（12，5），
把C（6，5）代入y＝得k＝12×5＝60，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）当x＝24时，y＝＝，则D（24，），
∴四边形OCDB的面积＝S△OAB﹣S△ACD
＝×24×10﹣×（24﹣12）×（10﹣）
＝75．
26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB，CD与OA的延长线交于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACB＝120°，OA＝2，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D＝30°，利用解直角三角形求得CD的长即可．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OC，
∵CA＝CB，
∴＝，
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵CA＝CB，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠DOC＝60°
∴∠D＝30°，
∴OC＝OD，
∵OA＝OC＝2，
∴DO＝4，
∴CD＝＝2．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
【分析】（1）证明△ABM≌△DCM（SAS），即可得出结论；
（2）先证四边形MENF是平行四边形，再证ME＝MF，则平行四边形MENF是菱形，然后证∠EMF＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM；
（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，
∵MF＝CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AB：AD＝1：2，
∴AD＝2AB，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
28．（12分）已知：直线y＝x+2与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值；
（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）利用直线y＝x+2与y轴交于A，求得点A的坐标，再利用B点的坐标利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）设点P坐标为（a，a2﹣a+2），则点F（a，a+2），可求PF的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）设出Q点的坐标，然后表示出AQ、EQ的长，求出AE的长，利用勾股定理得到有关Q点的横坐标的方程，求得其横坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与y轴交于A，
∴A点的坐标为（0，2），
∵B点坐标为 （1，0）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；
（2）如图，过点P作PF⊥x轴，交AD于F，
根据题意得：x+2＝x2﹣x+2，
解得：x＝0或x＝6，
∴A（0，2），E（6，5），
设点P坐标为（a，a2﹣a+2），则点F（a，a+2），
∴PF＝a+2﹣（a2﹣a+2）＝﹣a2+3a，
∴S△PAE＝×（﹣a2+3a）×6＝﹣（a﹣3）2+，
当a＝3时，△PAE面积的最大值为；
（3）∵A（0，2），E（6，5），
∴AE＝3，
设Q（x，0），
①若Q为直角顶点，
则AQ2+EQ2＝AE2，
即x2+4+（x﹣6）2+25＝45，
此时x无解；
②若点A为直角顶点，
则AQ2+AE2＝EQ2，
即x2+4+45＝（x﹣6）2+25，
解得：x＝1，
即Q（1，0）；
③若E为直角顶点，
则AQ2＝AE2+EQ2，
即x2+4＝45+（x﹣6）2+25，
解得：x＝，
此时求得Q（，0）；
∴Q（1，0）或（，0）．
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