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试卷 2021年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（3月份）
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这是一份试卷 2021年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（3月份），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）
1．（4分）如果a与﹣6互为倒数，那么a是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．（4分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10﹣5 B．1.64×10﹣6 C．16.4×10﹣7 D．0.164×10﹣5
3．（4分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
4．（4分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（ ）
A．62° B．56° C．28° D．72°
5．（4分）已知a+b＝4，则代数式1++的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
6．（4分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
8．（4分）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（ ）
A．27° B．31° C．56° D．63°
10．（4分）全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动．甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲乙两人之间的距离s（米）与他们出发后的时间t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是（ ）
A．60米/分，40米/分 B．80米/分，60米/分
C．80米/分，40米/分 D．120米/分，80米/分
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）方程＝的解为 ．
13．（4分）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ．
14．（4分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
15．（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ．
16．（4分）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径是 ．
17．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 ．
18．（4分）有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．若第一个数是0，第二个数是1，则这2021个数的和是 ．
三、解答题（本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19．（10分）（1）计算：﹣14﹣|﹣1|+（﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣）﹣1．
（2）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x＝﹣1．
20．（8分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）请补充完整条形统计图；
（2）B（良好）等级人数所占百分比是 ；
（3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是 °；
（4）若该校九年级学生共1000名，估算评价结果为A等级或B等级的学生共有多少名？
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
四、解答题（本大题共50分。解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22．（7分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在A处测得建筑物顶端B的仰角为60°，然后从A处后退40m到达D处，在D处测得建筑物顶端B的仰角是30°，点D、A、C在同一水平线上，BC⊥DC．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求建筑物BC的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
24．（10分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
25．（10分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
26．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2021年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）
1．（4分）如果a与﹣6互为倒数，那么a是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义回答即可．
【解答】解：∵a与﹣6互为倒数，
∴a＝﹣．
故选：C．
2．（4分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10﹣5 B．1.64×10﹣6 C．16.4×10﹣7 D．0.164×10﹣5
【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故选：B．
3．（4分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．
【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
4．（4分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（ ）
A．62° B．56° C．28° D．72°
【分析】由两锐角互余的性质可求∠DAC度数，由平行线的性质可求解．
【解答】解：如图，标注字母，
由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠DAC＝62°，
故选：A．
5．（4分）已知a+b＝4，则代数式1++的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】将a+b的值代入原式＝1+（a+b）计算可得．
【解答】解：当a+b＝4时，
原式＝1+（a+b）
＝1+×4
＝1+2
＝3，
故选：A．
6．（4分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
∴P两次都是红球＝．
故选：D．
7．（4分）等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】过点B作BE⊥AO于E，由等腰直角三角形的性质可求AE＝BE＝EO＝1，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AO于E，
∵点A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∵AB＝BO，∠ABO＝90°，
∴AE＝BE＝EO＝1，
∴点B（﹣1，1），
故选：A．
8．（4分）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：∵ab＜0，
∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y＝图象在第二、四象限，无选项符合．
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y＝图象在第一、三象限，故B选项正确；
故选：B．
9．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（ ）
A．27° B．31° C．56° D．63°
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC＝∠BOC，求出∠BOC的度数，根据圆周角定理得出∠A＝∠BOC，再求出答案即可．
【解答】解：连接OC，
∵BC＝DC，
∴∠DOC＝∠BOC，
∵∠BOD＝124°，
∴∠BOC＝BOD＝62°，
∴∠A＝∠BOC＝31°（圆周角定理），
故选：B．
10．（4分）全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动．甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲乙两人之间的距离s（米）与他们出发后的时间t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是（ ）
A．60米/分，40米/分 B．80米/分，60米/分
C．80米/分，40米/分 D．120米/分，80米/分
【分析】根据题意可知，步行10分钟后甲开始返回，此时两人之间的距离为200米，可得他们的速度差为20（米/分），再经过2分钟后两人相遇，根据相遇问题列方程解答即可．
【解答】解：根据题意可知，甲每分钟比乙快：200÷10＝20（米），
设乙的速度为x米/分，则甲的速度为（x+20）米/分，
根据题意得：2x+2（x+20）＝200，
解得x＝40，
40+20＝60（米/分），
即甲的速度为60米/分，乙的速度为40米/分，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≤1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，3﹣3x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
12．（4分）方程＝的解为 x＝9 ．
【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可．
【解答】解：去分母得：
9（x﹣1）＝8x
9x﹣9＝8x
x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，
所以x＝9是原方程的解．
故答案为：x＝9．
13．（4分）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 3＜a≤4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜a，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
则3＜a≤4，
故答案为：3＜a≤4．
14．（4分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 4 ．
【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．
【解答】解：∵2，3，x，1，5，7的众数为7，
∴x＝7，
把这组数据从小到大排列为：1、2、3、5、7、7，
则中位数为＝4；
故答案为：4．
15．（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入x2+mx+2n＝0得到4+2m+2n＝0得n+m＝﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，
∴4+2m+2n＝0，
∴n+m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．（4分）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径是 10 ．
【分析】设该圆锥底面圆的半径为rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝10，
即该圆锥底面圆的半径为10．
故答案为：10．
17．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 4 ．
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝BD，
∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12•BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝BD＝4；
故答案为：4．
18．（4分）有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．若第一个数是0，第二个数是1，则这2021个数的和是 1 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得这2021个数的和．
【解答】解：由题意可得，
第一个数是0，第二个数是1，
则第三个数是1﹣0＝1，
第四个数是1﹣1＝0，
第五个数是0﹣1＝﹣1，
第六个数是﹣1﹣0＝﹣1，
第七个数是﹣1﹣（﹣1）＝0，
第八个数是0﹣（﹣1）＝1，
…，
由上可得，这列数依次以0，1，1，0，﹣1，﹣1循环出现，每六个数一个循环，
∵2021÷6＝336…5，
∴这2021个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）+…+0+1+1+0+（﹣1）
＝[0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）]×336+[0+1+1+0+（﹣1）]
＝0×336+1
＝0+1
＝1，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19．（10分）（1）计算：﹣14﹣|﹣1|+（﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣）﹣1．
（2）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x＝﹣1．
【分析】（1）先根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数进行计算，再求出答案即可；
（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，再算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣（﹣1）+1+2×+2
＝﹣1﹣+1+1++2
＝3；
（2）（x+2+）÷
＝÷
＝•
＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝1﹣．
20．（8分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）请补充完整条形统计图；
（2）B（良好）等级人数所占百分比是 25% ；
（3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是 72 °；
（4）若该校九年级学生共1000名，估算评价结果为A等级或B等级的学生共有多少名？
【分析】（1）先根据D等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个等级人数之和等于总人数求出B等级人数，据此可补全图形；
（2）用B等级人数除以总人数可得答案；
（3）用360°乘以C等级人数所占比例可得答案；
（4）用总人数乘以样本中A、B等级人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）∵被调查的人数为4÷10%＝40（人），
∴B等级人数为40﹣（18+8+4）＝10（人），
（2）B（良好）等级人数所占百分比是×100%＝25%，
故答案为：25%；
（3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）估计评价结果为A（优秀）等级或B（良好）等级的学生共有1000×＝700（人）．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，根据面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，
则﹣2＝，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，解得，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），
∴OC＝MB＝2，
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．
四、解答题（本大题共50分。解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22．（7分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在A处测得建筑物顶端B的仰角为60°，然后从A处后退40m到达D处，在D处测得建筑物顶端B的仰角是30°，点D、A、C在同一水平线上，BC⊥DC．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求建筑物BC的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）根据三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角函数得出AC和DC，进而列出方程解答即可．
【解答】解：（1）∵BC⊥DC，∠BDC＝30°，
∴∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
（2）设BC为x，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，
∴，
在Rt△BDC中，tan，
∴DC＝BC•tan60°，
即，
解得：x＝20（m），
答：建筑物BC的高为34.64米．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
【分析】（1）连接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DM和CE，求出DM⊥BC，CE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
24．（10分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
，得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
25．（10分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 是 （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案；
（2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝1，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝1可得AE＝BE﹣1，设BE＝x，根据购股定理求出x的值即可；
②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解．
【解答】解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EFB＝∠D＝90°，
∴∠EFB+∠D＝180°，
∵∠EFB＝90°，BF＝BE，
∴四边形BEDF是“直等补”四边形．
故答案为：是；
（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥BF，
∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE＝CF，EF＝CD＝1，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵DE＝CF，
∴BE＝DE；
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝1，
∵△ABE≌△BCF，
∴AE＝BF，
∴AE＝BE﹣1，
设BE＝x，则AE＝x﹣1，
在Rt△ABE中，x2+（x﹣1）2＝52，
解得：x＝4或x＝﹣3（舍去），
∴BE的长是4；
②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，
∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，
如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵∠ADC＝90°，
∴点C与点G关于AD对称，
∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，
∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即，△BCM的周长最小，
在Rt△ABE中，AE＝＝3，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠GCH＝180°，
∴∠A＝∠GCH，
∵∠AEB＝∠CHG＝90°，
∴△ABE∽△CGH，
∴，即，
∴GH＝，CH＝，
∴BH＝BC+CH＝，
∴BG＝＝，
∴△BCM周长的最小值为+5．
26．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得a＝﹣1，可得结论．
（2）过点P、A分别作直线m、n，使两条直线均与BC平行，则CN＝5，由S△PBC＝S△ABC知CM＝CN＝3，故点M（0，7），进而求解．
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝4，解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4①；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
如图，过点P、A分别作直线m、n，使两条直线均与BC平行，
设直线m、n分别交y轴于点M、N（0，﹣1），则CN＝5，
由S△PBC＝S△ABC，S△ABC＝S△BCM，S△PBC＝S△CMB，
∴S△BCM＝S△BCN，
∴CM＝CN＝3，
故点M（0，﹣7），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
而m∥BC，则直线m的表达式为y＝﹣x+7②，
联立①②并解得x＝1或3，
故点P的坐标为（1，6）或（3，4）．
（3）∵C（0，4），B（4，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴为x＝，
∴点E的横坐标为，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为，
∴E（，），
设M（，m）N（n，﹣n2+3n+4），
①如图2中，当MN＝EM，∠EMN＝90°，
由△NME～△COB，
则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（，4），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为（，）．
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（，4）对称，
设M（，m），
则m﹣4＝4﹣，
解得m＝，
∴M（，），
此时点M的坐标为（，）．
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（，4），（，）或（，）．
2021年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）
1．（4分）如果a与﹣6互为倒数，那么a是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．（4分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10﹣5 B．1.64×10﹣6 C．16.4×10﹣7 D．0.164×10﹣5
3．（4分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
4．（4分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（ ）
A．62° B．56° C．28° D．72°
5．（4分）已知a+b＝4，则代数式1++的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
6．（4分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
8．（4分）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（ ）
A．27° B．31° C．56° D．63°
10．（4分）全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动．甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲乙两人之间的距离s（米）与他们出发后的时间t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是（ ）
A．60米/分，40米/分 B．80米/分，60米/分
C．80米/分，40米/分 D．120米/分，80米/分
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）方程＝的解为 ．
13．（4分）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ．
14．（4分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
15．（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ．
16．（4分）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径是 ．
17．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 ．
18．（4分）有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．若第一个数是0，第二个数是1，则这2021个数的和是 ．
三、解答题（本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19．（10分）（1）计算：﹣14﹣|﹣1|+（﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣）﹣1．
（2）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x＝﹣1．
20．（8分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）请补充完整条形统计图；
（2）B（良好）等级人数所占百分比是 ；
（3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是 °；
（4）若该校九年级学生共1000名，估算评价结果为A等级或B等级的学生共有多少名？
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
四、解答题（本大题共50分。解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22．（7分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在A处测得建筑物顶端B的仰角为60°，然后从A处后退40m到达D处，在D处测得建筑物顶端B的仰角是30°，点D、A、C在同一水平线上，BC⊥DC．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求建筑物BC的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
24．（10分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
25．（10分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
26．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2021年甘肃省天水市张家川县中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）
1．（4分）如果a与﹣6互为倒数，那么a是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义回答即可．
【解答】解：∵a与﹣6互为倒数，
∴a＝﹣．
故选：C．
2．（4分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10﹣5 B．1.64×10﹣6 C．16.4×10﹣7 D．0.164×10﹣5
【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故选：B．
3．（4分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．
【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
4．（4分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（ ）
A．62° B．56° C．28° D．72°
【分析】由两锐角互余的性质可求∠DAC度数，由平行线的性质可求解．
【解答】解：如图，标注字母，
由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠DAC＝62°，
故选：A．
5．（4分）已知a+b＝4，则代数式1++的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】将a+b的值代入原式＝1+（a+b）计算可得．
【解答】解：当a+b＝4时，
原式＝1+（a+b）
＝1+×4
＝1+2
＝3，
故选：A．
6．（4分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
∴P两次都是红球＝．
故选：D．
7．（4分）等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】过点B作BE⊥AO于E，由等腰直角三角形的性质可求AE＝BE＝EO＝1，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AO于E，
∵点A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∵AB＝BO，∠ABO＝90°，
∴AE＝BE＝EO＝1，
∴点B（﹣1，1），
故选：A．
8．（4分）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：∵ab＜0，
∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y＝图象在第二、四象限，无选项符合．
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y＝图象在第一、三象限，故B选项正确；
故选：B．
9．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（ ）
A．27° B．31° C．56° D．63°
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC＝∠BOC，求出∠BOC的度数，根据圆周角定理得出∠A＝∠BOC，再求出答案即可．
【解答】解：连接OC，
∵BC＝DC，
∴∠DOC＝∠BOC，
∵∠BOD＝124°，
∴∠BOC＝BOD＝62°，
∴∠A＝∠BOC＝31°（圆周角定理），
故选：B．
10．（4分）全民健身的今天，散步是大众喜欢的运动．甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲乙两人之间的距离s（米）与他们出发后的时间t（分）的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是（ ）
A．60米/分，40米/分 B．80米/分，60米/分
C．80米/分，40米/分 D．120米/分，80米/分
【分析】根据题意可知，步行10分钟后甲开始返回，此时两人之间的距离为200米，可得他们的速度差为20（米/分），再经过2分钟后两人相遇，根据相遇问题列方程解答即可．
【解答】解：根据题意可知，甲每分钟比乙快：200÷10＝20（米），
设乙的速度为x米/分，则甲的速度为（x+20）米/分，
根据题意得：2x+2（x+20）＝200，
解得x＝40，
40+20＝60（米/分），
即甲的速度为60米/分，乙的速度为40米/分，
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≤1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，3﹣3x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
12．（4分）方程＝的解为 x＝9 ．
【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可．
【解答】解：去分母得：
9（x﹣1）＝8x
9x﹣9＝8x
x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，
所以x＝9是原方程的解．
故答案为：x＝9．
13．（4分）若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 3＜a≤4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜a，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
则3＜a≤4，
故答案为：3＜a≤4．
14．（4分）若一组数据2，3，x，1，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为 4 ．
【分析】根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案．
【解答】解：∵2，3，x，1，5，7的众数为7，
∴x＝7，
把这组数据从小到大排列为：1、2、3、5、7、7，
则中位数为＝4；
故答案为：4．
15．（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入x2+mx+2n＝0得到4+2m+2n＝0得n+m＝﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，
∴4+2m+2n＝0，
∴n+m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．（4分）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径是 10 ．
【分析】设该圆锥底面圆的半径为rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝10，
即该圆锥底面圆的半径为10．
故答案为：10．
17．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为 4 ．
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝BD，
∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12•BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝BD＝4；
故答案为：4．
18．（4分）有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．若第一个数是0，第二个数是1，则这2021个数的和是 1 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得这2021个数的和．
【解答】解：由题意可得，
第一个数是0，第二个数是1，
则第三个数是1﹣0＝1，
第四个数是1﹣1＝0，
第五个数是0﹣1＝﹣1，
第六个数是﹣1﹣0＝﹣1，
第七个数是﹣1﹣（﹣1）＝0，
第八个数是0﹣（﹣1）＝1，
…，
由上可得，这列数依次以0，1，1，0，﹣1，﹣1循环出现，每六个数一个循环，
∵2021÷6＝336…5，
∴这2021个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）+…+0+1+1+0+（﹣1）
＝[0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）]×336+[0+1+1+0+（﹣1）]
＝0×336+1
＝0+1
＝1，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19．（10分）（1）计算：﹣14﹣|﹣1|+（﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣）﹣1．
（2）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x＝﹣1．
【分析】（1）先根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数进行计算，再求出答案即可；
（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，再算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣（﹣1）+1+2×+2
＝﹣1﹣+1+1++2
＝3；
（2）（x+2+）÷
＝÷
＝•
＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝1﹣．
20．（8分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）请补充完整条形统计图；
（2）B（良好）等级人数所占百分比是 25% ；
（3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是 72 °；
（4）若该校九年级学生共1000名，估算评价结果为A等级或B等级的学生共有多少名？
【分析】（1）先根据D等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个等级人数之和等于总人数求出B等级人数，据此可补全图形；
（2）用B等级人数除以总人数可得答案；
（3）用360°乘以C等级人数所占比例可得答案；
（4）用总人数乘以样本中A、B等级人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）∵被调查的人数为4÷10%＝40（人），
∴B等级人数为40﹣（18+8+4）＝10（人），
（2）B（良好）等级人数所占百分比是×100%＝25%，
故答案为：25%；
（3）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）估计评价结果为A（优秀）等级或B（良好）等级的学生共有1000×＝700（人）．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，从而可以求得四边形MBOC是平行四边形，根据面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，
则﹣2＝，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝，得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，解得，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）∵y＝2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），
∴OC＝MB＝2，
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM•OC＝4．
四、解答题（本大题共50分。解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22．（7分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在A处测得建筑物顶端B的仰角为60°，然后从A处后退40m到达D处，在D处测得建筑物顶端B的仰角是30°，点D、A、C在同一水平线上，BC⊥DC．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求建筑物BC的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）根据三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角函数得出AC和DC，进而列出方程解答即可．
【解答】解：（1）∵BC⊥DC，∠BDC＝30°，
∴∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
（2）设BC为x，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，
∴，
在Rt△BDC中，tan，
∴DC＝BC•tan60°，
即，
解得：x＝20（m），
答：建筑物BC的高为34.64米．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
【分析】（1）连接OM，求出OM∥BD，求出OM⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DM和CE，求出DM⊥BC，CE⊥BD，解直角三角形求出BC和BE，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
24．（10分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
，得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
25．（10分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 是 （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案；
（2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝1，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝1可得AE＝BE﹣1，设BE＝x，根据购股定理求出x的值即可；
②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解．
【解答】解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EFB＝∠D＝90°，
∴∠EFB+∠D＝180°，
∵∠EFB＝90°，BF＝BE，
∴四边形BEDF是“直等补”四边形．
故答案为：是；
（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥BF，
∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE＝CF，EF＝CD＝1，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵DE＝CF，
∴BE＝DE；
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝1，
∵△ABE≌△BCF，
∴AE＝BF，
∴AE＝BE﹣1，
设BE＝x，则AE＝x﹣1，
在Rt△ABE中，x2+（x﹣1）2＝52，
解得：x＝4或x＝﹣3（舍去），
∴BE的长是4；
②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，
∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，
如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵∠ADC＝90°，
∴点C与点G关于AD对称，
∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，
∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即，△BCM的周长最小，
在Rt△ABE中，AE＝＝3，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠GCH＝180°，
∴∠A＝∠GCH，
∵∠AEB＝∠CHG＝90°，
∴△ABE∽△CGH，
∴，即，
∴GH＝，CH＝，
∴BH＝BC+CH＝，
∴BG＝＝，
∴△BCM周长的最小值为+5．
26．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若S△PBC＝S△ABC，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得a＝﹣1，可得结论．
（2）过点P、A分别作直线m、n，使两条直线均与BC平行，则CN＝5，由S△PBC＝S△ABC知CM＝CN＝3，故点M（0，7），进而求解．
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝4，解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4①；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
如图，过点P、A分别作直线m、n，使两条直线均与BC平行，
设直线m、n分别交y轴于点M、N（0，﹣1），则CN＝5，
由S△PBC＝S△ABC，S△ABC＝S△BCM，S△PBC＝S△CMB，
∴S△BCM＝S△BCN，
∴CM＝CN＝3，
故点M（0，﹣7），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
而m∥BC，则直线m的表达式为y＝﹣x+7②，
联立①②并解得x＝1或3，
故点P的坐标为（1，6）或（3，4）．
（3）∵C（0，4），B（4，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴为x＝，
∴点E的横坐标为，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为，
∴E（，），
设M（，m）N（n，﹣n2+3n+4），
①如图2中，当MN＝EM，∠EMN＝90°，
由△NME～△COB，
则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（，4），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为（，）．
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（，4）对称，
设M（，m），
则m﹣4＝4﹣，
解得m＝，
∴M（，），
此时点M的坐标为（，）．
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（，4），（，）或（，）．
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