苏科版九年级上册2.7 弧长及扇形的面积练习

这是一份苏科版九年级上册2.7 弧长及扇形的面积练习，共11页。

1．一个扇形的半径为8 cm，弧长为eq \f(16,3)π cm，则扇形的圆心角为 ( )
A．60° B．120° C．150° D．180°
2．如图3－11－1，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形AOB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则圆中阴影部分的面积为 ( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1)) cm2 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋1)) cm2 C．1 cm2 D.eq \f(π,2) cm2

图3－11－1 图3－11－2 图3－11－3
3．如图3－11－2，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B＝30°，斜边长为10 cm.三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，C A′旋转所构成的扇形的弧长为______cm.
4．如图3－11－3，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画eq \(AC,\s\up10(︵))，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为____．
5．如图3－11－4，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是____．
图3－11－4
【思维拓展】
6．如图3－11－5，是某公园的一角，∠AOB＝90°，eq \(AB,\s\up10(︵))的半径OA长是6 m，点C是OA的中点，点D在eq \(AB,\s\up10(︵))上，CD∥OB，则图中草坪区(阴影部分)的面积是 ( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(9,2)\r(3)))m2 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π＋\f(9,2)\r(3)))m2 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋9\r(3)))m2 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π－9\r(3)))m2

图3－11－5 图3－11－6
7．如图3－11－6，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为 ( )
A.eq \f(π,2)＋eq \f(1,2) B.eq \f(π,2)＋1 C．π＋1 D．π＋eq \f(1,2)
8．如图3－11－7，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 ( )
A.eq \f(2π,3)－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2π,3)－eq \r(3) C．π－eq \f(\r(3),2) D．π－eq \r(3)

图3－11－7 图3－11－8
9．如图3－11－8，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°.把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为eq \(CC′,\s\up10(︵))，则图中阴影部分的面积为____．
10．如图3－11－9，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.
(1)求线段EC的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
图3－11－9
11．如图3－11－10，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F.
(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；
(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．
图3－11－10
12．如图3－11－11，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠1＝∠C(∠1是指∠PBC)．
(1)求证：CB∥PD；
(2)若∠1＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．
图3－11－11
【思维升华】
13．如图3－11－12，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，AB＝2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为____．
图3－11－12
14．如图3－11－13，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
(2)求点C，点A在旋转过程中形成的eq \(AC,\s\up10(︵))，eq \(AG,\s\up10(︵))与线段CG所围成的阴影部分的面积．
图3－11－13
答案：
第11讲 弧长与扇形的面积
【思维入门】
1．一个扇形的半径为8 cm，弧长为eq \f(16,3)π cm，则扇形的圆心角为 ( B )
A．60° B．120°
C．150° D．180°
2．如图3－11－1，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形AOB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则圆中阴影部分的面积为 ( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1)) cm2 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋1)) cm2
C．1 cm2 D.eq \f(π,2) cm2
3．如图3－11－2，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B＝30°，斜边长为10 cm.三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，C A′旋转所构成的扇形的弧长为__eq \f(5,3)π__cm.
如图3－11－3，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画eq \(AC,\s\up10(︵))，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为__4π__．

图3－11－3 图3－11－4
5．如图3－11－4，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是__π－2__．
【思维拓展】
6．如图3－11－5，是某公园的一角，∠AOB＝90°，eq \(AB,\s\up10(︵))的半径OA长是6 m，点C是OA的中点，点D在eq \(AB,\s\up10(︵))上，CD∥OB，则图中草坪区(阴影部分)的面积是 ( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(9,2)\r(3)))m2 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π＋\f(9,2)\r(3)))m2
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋9\r(3)))m2 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π－9\r(3)))m2
7．如图3－11－6，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为 ( C )
图3－11－6
A.eq \f(π,2)＋eq \f(1,2) B.eq \f(π,2)＋1
C．π＋1 D．π＋eq \f(1,2)
【解析】 如答图所示，
第7题答图
点A运动的路径线与x轴围成的面积＝S1＋S2＋S3＋2a＝
eq \f(90π×12,360)＋eq \f(90π×（\r(2)）2,360)＋
eq \f(90π×12,360)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×1))＝π＋1.
8．如图3－11－7，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 ( B )
图3－11－7
A.eq \f(2π,3)－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2π,3)－eq \r(3)
C．π－eq \f(\r(3),2) D．π－eq \r(3)
【解析】 如答图，连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
第8题答图
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，∴△ABD的高为eq \r(3)，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4＋∠5＝60°，∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，
△ABG≌△DBH(ASA)，
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是S扇形EBF－S△ABD＝eq \f(60π×22,360)－eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \f(2π,3)－eq \r(3).
9．如图3－11－8，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°.把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为eq \(CC′,\s\up10(︵))，则图中阴影部分的面积为__eq \f(π,4)－eq \r(3)＋eq \f(3,2)__．
图3－11－8
【解析】 如答图，连结CD′和BC′，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵∠C′AB′＝30°，
第9题答图
∴A，D′，C及A，B，C′分别共线，
∴AC＝eq \r(3)，
∴扇形CAC′的面积为eq \f(30π（\r(3)）2,360)＝eq \f(π,4).
∵AC＝AC′，AD′＝AB，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CD′＝BC′，,∠ACO＝∠AC′D′，,∠COD′＝∠C′OB，))
∴△OCD′≌△OC′B(AAS)．
∴OB＝OD′，CO＝C′O，
∵∠CBC′＝60°，∠BC′O＝30°，
∴∠BOC′＝90°.
∵CD′＝AC－AD′＝eq \r(3)－1＝BC′，
∴在Rt△BOC′中，
BO＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)，C′O＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)，
∴S△OC′B＝eq \f(1,2)·BO·C′O＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(3,4)，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形CAC′－2S△OC′B＝eq \f(π,4)＋eq \f(3,2)－eq \r(3).
10．如图3－11－9，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2.
(1)求线段EC的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝2DA，
图3－11－9
∴AE＝2AD，且∠ADE＝90°，又∵DA＝2，
∴AE＝AB＝4，
∴DE＝eq \r(AE2－AD2)＝eq \r(16－4)＝2eq \r(3)，
∴EC＝DC－DE＝4－2eq \r(3).
(2)S阴影＝S扇形FAE－S△ADE＝eq \f(60×π×42,360)－eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝eq \f(8,3)π－2eq \r(3).
11．如图3－11－10，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F.
(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；
(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．
图3－11－10
解：(1)OF∥BC，OF＝eq \f(1,2)BC.
理由：由垂径定理得AF＝CF.
∵AO＝BO，
∴OF是△ABC的中位线．
∴OF∥BC，OF＝eq \f(1,2)BC.
(2)连结OC，由(1)知OF＝eq \f(1,2).
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠D＝30°，∴∠A＝30°.
∴AB＝2BC＝2，∴AC＝eq \r(3)，
∴S△AOC＝eq \f(1,2)×AC×OF＝eq \f(\r(3),4).
∵∠AOC＝120°，OA＝1，
∴S扇形AOC＝eq \f(120•π•12,360)＝eq \f(π,3).
∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝eq \f(π,3)－eq \f(\r(3),4).
12．如图3－11－11，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠1＝∠C(∠1是指∠PBC)．
(1)求证：CB∥PD；
(2)若∠1＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．
图3－11－11
解：(1)证明：∵P，C，B，D，四点共圆，
第12题答图
∴∠1＝∠CDP.
∵∠1＝∠C，
∴∠C＝∠CDP，
∴CB∥PD.
(2)如答图，连结OC，OD，BD，
∵CD⊥AB，且AB是直径，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠1＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝45°，
∴∠AOC＝135°，
∴弧AC的长度为eq \f(nπR,180)＝eq \f(135×π×2,180)＝eq \f(3,2)π.
【思维升华】
13．如图3－11－12，在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，AB＝2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为__π__．
图3－11－12
【解析】 ∵Rt△OAB中，∠AOB＝30°，AB＝2，
∴AO＝CO＝2eq \r(3)，BO＝DO＝4，
∴阴影部分面积＝S扇形BOD＋S△AOB－S扇形AOC－S△COD＝S扇形BOD－S扇形AOC
＝eq \f(90×π×42,360)－eq \f(90×π×（2\r(3)）2,360)＝π.
图3－11－13
14．如图3－11－13，在正方形ABCD中，AD＝2，E是
AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E
落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线
段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
(2)求点C，点A在旋转过程中形成的eq \(AC,\s\up10(︵))，eq \(AG,\s\up10(︵))与线段CG所围成的阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝2，
∠ABC＝90°.
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，
AF＝EC，
∴∠AFB＋∠FAB＝90°.
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，
∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，
∴EC∥FG.
∵AF＝EC，AF＝FG，
∴EC＝FG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG.
(2)∵△ABF≌△CBE，
∴FB＝BE＝eq \f(1,2)AB＝1，
∴AF＝eq \r(AB2＋BF2)＝eq \r(5).
在△FEC和△CGF中，
∵EC＝FG，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF，
∴△FEC≌△CGF，
∴S△FEC＝S△CGF，
∴S阴影＝S扇形ABC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形AFG
＝eq \f(90π·22,360)＋eq \f(1,2)×2×1＋eq \f(1,2)×(1＋2)×1－eq \f(90π·（\r(5)）2,360)
＝eq \f(5,2)－eq \f(π,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(10－π,4))).