初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理教学设计及反思

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理教学设计及反思，共6页。教案主要包含了勾股定理，勾股定理的证明，勾股定理的应用，原命题与逆命题，互为逆定理，勾股定理的逆定理等内容，欢迎下载使用。


【勾股定理】
如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
我国古代称直角三角形的较短的边为勾，较长的边为股，斜边为弦。
点拨 (1)勾股定理只适用于直角三角形,解题时，只有在直角三角形中,才能利用它求第三边
(2)运用勾股定理时,应分清直角边和斜边。a2+b2=c2中,a,b是直角边,c是斜边.若∠B=90°,则a、c是直角边,b为斜边,可得b2=a2+c2.另外a2+b2=c2还可变形为a2=c2-b2,b2=c2-a2。
典例 (中考)若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足√a2-6a+9+|b-4|=0,则该直角三角形的斜边长为 。
解析：∵eq \r(a2-6a+9) +|b-4|=0，∴a2-6a+9=0，b-4=0,
解得a=3，b=4.∵直角三角形的两直角边长为a，b,
∴该直角三角形的斜边长为eq \r(a2+b2) =eq \r(32+42)=5
答案：5
【勾股定理的证明】
一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为eq \f(1,2)ab·4+c2,所以(a+b)2=eq \f(1,2)ab·4+c2，整理得a2+b2=c2
在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以eq \f(1,2)ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2.
【勾股定理的应用】
(1)勾股定理的应用条件
勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用
勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为eq \r( n ) (n为大于1的整数)的线段
实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。由此，我们可借助勾股定理，作直角边为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于eq \r(2)；作直角边为eq \r(2)，1的直角三角形，其斜边长为eq \r(3)。类似地，可以作出长为eq \r( n ) (n为大于1的整数)的线段。
典例1 (中考)如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行（ ）
A. 8m B. 10 m C. 12 m D. 14 m
解析：结合“两点之间线段最短”由题意，画图，如图，过D作DE⊥AB,交AB于E。
其中AB=10m,AC=8m,CD=4m,则BE=AB-AE=AB-CD=10-4=6(m)
在Rt△BDE中,由勾股定理得BD2=BE2+DE2=62+82=100,所以BD=10(m)
所以,小鸟至少要飞行10m
答案：B
典例2 (中考)如图,OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=eq \r(2)；再过P作P1P2⊥OP1
且P1P2=1,得OP2=eq \r(3)；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2…依此法继续作下去,得OP2020= 。
解析：由OP1=eq \r(2)，OP2=eq \r(3)，OP3=eq \r(OP22+P2P32)=eq \r(3+1)=eq \r(4)=2,依次运算下去,可以得到OPn=
eq \r(n+1) (n为正整数)，所以OP2020=eq \r(2021)
答案: eq \r(2021)
典例3 (中考)在△ABC中，AB=2eq \r(2)，BC=1，∠ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段CD的长为 。
解析: 如图1,过点C作CE⊥BD于点E,在Rt△BCE中,由勾股定理得CE=BE=eq \f(eq \r(2),2)，
∴DE=BD-BE=AB-BE= eq \f(3eq \r(2),2)
在Rt△DCE中,由勾股定理得CD=eq \r(CE2+DE2) =eq \r(5)。
如图2,过点C作CE⊥BD,交DB的延长线于点E.在R△BCE中,由勾股定理得CE=BE=
eq \f(eq \r(2),2)，∴DE=BD+BE=AB+BE= eq \f(5eq \r(2),2).
在Rt△DCE中,由勾股定理得CD= eq \r(CE2+DE2) = eq \r(13).
综上所述，线段CD的长为eq \r(5)或eq \r(13)。
答案：eq \r(5)或eq \r(13)。
【原命题与逆命题】
一般地，如果两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
点拨 (1)每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
(2)原命题有真有假，逆命题也有真有假，它们可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
【互为逆定理】
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
例如：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”与“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”互为逆定理。
提醒
每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理。
【勾股定理的逆定理】
如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
几何语言：如图,△ABC中，a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。
【勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别】
联系：(1)两者都与三角形的三边有关，且都包合等式a2+b2=c2
(2)两者都与直角三角形有关;
(3)两者互为逆定理。
区别：勾股定理是以“一个直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”的数量关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形。两者的条件和结论相反，前者是直角三角形的性质，而后者是直角三角形的判定。
【勾股定理的逆定理的应用】
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长,且满两条较小边的
平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。具体方法步骤如下：
(1)先确定最长边，算出最长边的平方;
(2)计算另两边的平方和;
(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等则此三角形为直角三角形。
【勾股数】
(1)勾股数
像15,8,17这样能够成为直角角形条边长的三个正整数，称为勾股数。
(2)勾股数组的求法
①若a为一个大于1的奇数，b、c是两个连续自然数,且有a2=b+c，则a,b,c为一组勾股数。例如：4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有：5、12、13；7、24、25；11、60、61；……。
②若a,b,c为一组勾股数,那么ka、kb、kc也是一组勾股数，其中k为正整数，即勾股数的正整数倍仍是勾股数。例如：3,4,5是一组勾股数那么6,8,10也是一组勾股数,9,12,15也是一组勾股数。
点拨 勾股数应从以下两点理解:(1)3个数必须是正整数；(2)3个数满足：其中两个较小的数的平方和等于最大数的平方。