人教版八年级下册17.1 勾股定理教案

人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理教案

17．1   勾股定理

[教学目标]

1．知识与能力

让学生掌握勾股定理的证明过程及证明思路，同时能够用勾股定理解决简单的数学问题．

2．过程与方法

使学生经历探索勾股定理的证明过程，让学生从中体会公式的证明方法．

3．情感、态度与价值观

通过探索勾股定理的证明过程，培养学生的“探索精神”和“数形结合”的数学思想，同时使学生体会“证明”的必要性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．

[重点难点]

1．教学重点

让学生掌握勾股定理的证明过程与证明思路，同时能够用勾股定理解决简单的数学问题．

2．教学难点

如何根据公式形式构造适当的图形，说明定理的正确性．

[教学方法]

创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．

[教学过程]

一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

问题 1：如图 1，将长为 5 米的梯子 AB 斜靠在与地面垂直的墙上．若 BC 长为 3 米，你能求出梯子上端 A 到墙的底端 C 的距离 AC 吗？

图1

[设计意图：通过一个简单的问题情境，引发学生研究直角三角形三边关系的渴望．]

学生思考：如果知道两边长，根据三角形的三边关系只能求出第三边的取值范围，而不能求出具体的值，所以只能求出 AC 的范围：2 米＜AC＜8 米．那么如何确定第三边的具体值呢？

二、主体活动，探索勾股定理的证明方法

继续研究问题 1．

学生活动设计：

已知直角三角形的两边，如何求第三边？此时根据一般三角形的特点，完全可以求出第三边的取值范围，但是通过观察可以发现，当 AB、BC 一定时，完全可以把 AC 的长度量出来，它是一个确定的值，而不是一个取值范围．

猜测 1：直角三角形的三边之间可能存在某种关系．展示图 2．

学生根据展示图猜测 Rt△ABC 三边的关系，容易发现：两个小正方形的面积的和等于大正方形的面积，于是有 AC2＋BC2＝AB2．此时教师提出：对于一个等腰直角三角形，上述结论成立，那么一般的直角三角形的三边是否也满足这样的关系呢？学生猜测、思考、讨论、交流，根据自己已经掌握的知识或经验说明上述结论是否成立．

图 2

猜测 2：a2＋b2＝c2（a、b 是直角边，c 是斜边）．

学生可能的想法（由平方想到面积）：

方法 1：用完全相同的四个直角三角形，可以拼成如上右图所示的图形，此时 S大正方形＝S小正方形＋4S三角形，即 c2＝(b-a)2＋4×ab．

化简、整理，得 a2＋b2＝c2．

教师介绍：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．“弦图”最早是由我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．

方法 2：改变拼图方式，拼成如图 3 所示的图形，此时 S大正方形＝S小正方形＋4S三角形，即

(a＋b)2＝c2＋4×ab．化简、整理，得 a2＋b2＝c2．

方法 3：用两个直角三角形拼成如图 4 所示的梯形，容易说明图中的三个三角形都是直角三角形，于是有 S梯形＝(a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2 ．整理，得 a2＋b2＝c2．

图 3                                图 4                                       图 5

[设计意图：通过交流，展示学生的个性，使学生在交流中学会欣赏，并逐步完善自己的想法．]

教师活动设计：

方法 4：（教师介绍欧几里得证法）

以 Rt△ABC 的三边分别向三角形外部作正方形，只要说明蓝色正方形的面积等于黄色正方形的面积与红色正方形的面积之和即可．考虑把正方形 ABGF 分成两部分，只要证明这两部分的面积分别与黄色正方形的面积和红色正方形的面积相等即可．解题时主要应用等底、等高的三角形面积相等，三角形全等面积相等等性质（如图 5）．

证明过程：如图，过点 C 作 CN⊥FG 于点 N 且交 AB 于点 P，连接 EB，CF．

容易证明△AEB≌△ACF，于是 S△AEB＝S△ACF ．

又因为 S△AEB＝S正方形ACDE，S△ACF＝S矩形APNF，所以 S正方形ACDE＝S矩形APNF ．

同理可以证明 S正方形BCMH＝S矩形PBGN ．

得到 S正方形ACDE＋S正方形BCMH＝S正方形ABGF ，于是结论成立．

学生归纳：

命题 1：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．

三、拓展创新、应用提高

问题 2：在图 1 中，（1）若梯子的上端 A 下滑 1 m，那么梯子的下端 B 向左滑多远？

分析：若 A 下滑 1 m，那么 AC＝3 m，梯子长度 AB＝5 m 不变．

根据勾股定理，有 m，于是梯子的下端 B 向左滑了 1 米 ．

（2）若梯子的上端 A 下滑 2 m，那么梯子的下端 B 向左滑多远？

分析：若 A 下滑 2 m，那么 AC＝2 m，梯子长度 AB＝5 m 不变．

根据勾股定理，有 BC＝ m，于是梯子的下端 B 向左滑了（）米．

误区：学生可能误认为梯子上端下滑的距离就等于梯子下端左滑的距离．

（3）若梯子的上端 A 下滑 x m，那么梯子的下端 B 向左滑 y m，试求出 y 与 x 之间的函数关系式．

分析：如图 6，根据条件得到 A′C＝4-x，根据勾股定理，有

所以 y＝，

即．

图 6

由此可以看出，y 和 x 的函数关系式不是 y＝x．

[设计意图：通过对问题的拓展研究，培养学生思维的深刻性．]

四、归纳小结、布置作业

小结：

1．勾股定理；

2．证明方法：构造法．

作业：

习题 18.1．