专练12（几何证明大题）（30题）-2021年中考数学考点巩固（通用版）（原卷、解析版）

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（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
（1）∵，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
在△AEF与△DEB中，
∴；
（2）由（1）可知，，
∵D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
2．（2021·湖南娄底市·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=BC
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴MN=2OM，
∵ AC=2OM，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）当AB=BC时，四边形AMCN是正方形；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴AC⊥MN，
由（1）可知四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
3．（2021·云南曲靖市·九年级一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝2，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD．
∵E，F分别是BC，AD的中点
∴BE=CE=BC，AF=AD，
∴CE=AF，CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：作BG⊥AD于G，如图所示：
则∠ABG=90°-∠ABC=30°，
∴AG=AB=1，BG=AG=，
∵AD=BC=2AB=4，
∴DG=AG+AD=5，
∴BD===．
4．（2021·广东深圳市·九年级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
∴EFEC=．
5．（2021·湖北黄冈市·九年级一模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC.
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴BE=DF.
∵在△BEC和△DFA中，，
∴△BEC≌△DFA（SAS）.
（2）由（1）△BEC≌△DFA，
∴CE=AF，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形.
6．（2021·福建三明市·九年级一模）如图，Rt△中，，，△绕点顺时针旋转，得到△，
（1）求证：垂直平分；
（2）是中点，连接，，若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
（1）∵，，
∴∠ABC=30°，
根据旋转角的定义，得∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，∠BCE=60°，
∴∠ABC=∠BCD，
∴DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴DE垂直平分BC；
（2）如图，过点D作DG⊥AC，垂足为G，
∵CA=CD，∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，AD=CD=AC，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，FB=FC，
∴DB=DC=DA=CA=AB，
∵是中点，
∴CF=DF=EF=DE，
∴DB=DC=DA=CA= CF=DF=BF，
∴四边形ACFD是菱形，四边形DCFB是菱形；
∴四边形ACFB的面积是三角形ACD面积的3倍，
∵AC=AD=2，
∴AG=1，DG=，
∴四边形ACFB的面积：3××AC×DG=3××2×=3．
7．（2021·湖北黄冈市·九年级一模）如图，是的直径，切于点，，的延长线交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
解：（1）连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，
∵切于点，
∴，
∴，
∴，
∴直线是的切线．
（2）∵，
∴，
设，，
由（1）证得，
∴，
∵，
∴即
∴，
Rt△ADO中根据勾股定理可得：即，
解得：r=1，
∴．
8．（2021·河南焦作市·九年级其他模拟）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，＝，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）填空：
①若AE＝，BE＝5，则BF的长为 ；
②当∠E的度数为 时，四边形OACD为菱形．
【答案】（1）见详解；（2）①3；②60°
（1）证明：∵AB为半圆O的直径，AE是切线，
∴∠ACB=90°，∠EAB=90°，
∴∠EAC+∠CAB=∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ABC，
∵＝，
∴∠ABC =∠CAD，
∴∠EAC=∠CAD，
又∵∠ACE=∠ACF=90°，AC=AC，
∴ACEACF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）①∵△AEF是等腰三角形，AE=AF，AC⊥BE，
∴点C是EF的中点，即:EF=2CE，
∵AE⊥AB，
∴AB=，
∵，
∴，
∴，
∴EF=2CE=2，
∴BF=BE-EF=5-2=3，
故答案是：3；
②连接OC，
∵四边形OACD为菱形，
∴OA=OD=CD=AC=OC，
∴ACO是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABE=30°，
∴∠E=90°-30°=60°．
故答案是：60°．
9．（2021·西安交通大学附属中学航天学校九年级三模）如图，正方形的对角线、相交于点，、分别在、上，，求证：．
【答案】见详解．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SAS）
∴AE=BF．
10．（2020·沙坪坝区·重庆一中九年级一模）如图，在中，平分，是边上的一点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
解：（1）∵BD平分，
∴．
∵，，
∴．
∴在和中，，
∴，
∴．
（2），
由（1）可知，
∵，
∴，
解得：．
11．（2021·西安市第二十三中学九年级一模）如图，在四边形中，，，．求证：．
【答案】见解析
证明：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
12．（2021·云南九年级一模）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中
∵，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
13．（2021·西安交通大学附属中学航天学校九年级三模）如图，已知是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径长
【答案】（1）见解析；（2）4
解：（1）如解图，连接，
是的切线，
，
，
，
∴
，
∴
，
；
（2）解：如解图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
又，
，
∴，
，
设的半径为，
，
，解得．
的半径为4．
14．（2021·安徽九年级一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，过点D作☉O的切线，交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）若FD=5，FB=3，求☉O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）半径为
（1）证明：如图，连接OD，AD．
∵ED是☉O的切线，∴OD⊥DE．
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°．
又∵AB=AC，∴BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，
∴EF⊥AC．
（2）解：如图，由（1）OD⊥DE，
∴∠BDF+∠BDO=∠BDO+∠ADO=90°，
∴∠BDF=∠ADO．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO．
∴∠BDF=∠DAO
又∵∠F=∠F，
∴△FBD∽△FDA，
∴ ，
∴，
∴FA=，
∴OA=（FA-FB）=×（-3）=，
即☉O的半径为．
15．（2021·陕西九年级三模）如图，在中，为直径，过圆上一点C作切线交的延长线于点 D．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点C，
∴，
∴
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵是的直径，∴，且 ，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：∠BAC＝2∠CDE；
（2）若CE＝4，cs∠ABC＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）14．
解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADC=∠ODE，
∴∠CDE=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴∠CDE=∠CAD，
∵∠CAD=∠BAC，
∴∠BAC=2∠CDE；
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵cs∠ABC=，
∴AB=3BD，
∴AC=3DC，
设DC=x，则AC=3x，
∴AD==2x，
∵∠CDE=∠CAD，∠DEC=∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴，
∴，
∴DE=8，x=，
∴AC=3x=28，
∴⊙O的半径为14．
17．（2021·云南九年级其他模拟）如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．
（1）求证：CE2＝AE•AF；
（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；
（3）若FG＝2，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
解：（1）∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴，
∴AC2＝AE•AF，
∵AC＝CE，
∴CE2＝AE•AF；
（2）∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC＝45°，
∴∠AFC＝∠AOC＝45°，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣∠ACO）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5°，
∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45°+∠DCF＝67.5°，
∴∠DCF＝22.5°，
∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∠BAF；
（3）如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，
∴∠FGH＝90°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠FHG＝45°，
∴HG＝FG＝2，
∴FH＝2，
∵∠BAF＝22.5°，∠FHG＝45°，
∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5°＝∠BAF，
∴AH＝HG＝2，
∴AF＝AH+FH＝2+2，
由（2）知，∠OAE＝∠OCG，
∵∠AOE＝∠COG＝90°，OA＝OC，
∴△AOE≌△COG（SAS），
∴OE＝OG，∠AEO＝∠CGO，
∴∠OEF＝∠OGF，
连接EG，
∵OE＝OG，
∴∠OEG＝∠OGE＝45°，
∴∠FEG＝∠FGE，
∴EF＝FG＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝2+2﹣2＝2．
18．（2021·西安市·陕西师大附中九年级二模）如图，为的直径，为延长线上一点，与相切与点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
解：（1）连接OD
∵为的直径，为延长线上一点，与相切与点，
∴
∴
又∵OD=OA，
∴
∴
（2）连接BE，OE
由题意，在Rt△COD中，
设OD=x，则OC=3x，AC=2x，BC=4x
∴CD=
∵，
∴，
∴
∴，即，解得：
∴在Rt△ABD中，
∵，AB是直径
∴，
∴在Rt△ABE中，
19．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在平行四边形中，，过点D作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
解：（1）证明：∴四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴，∠DCE=∠BEC．
∵，
∴
又∵，
∴．
∵，
∴．
（2）∵，
∴，即，
∴．
∵CD∥AB，，
∴，
∴．
在中，
．
20．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知，AD、BC相交于点E，，，，连接AC．
（1）求线段CD的长；
（2）如果，求线段AC的长．
【答案】（1）CD=；（2）．
∵BC=9，BE=4，
∴CE=5，
∵AB//CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即，
解得：CD=．
（2）∵，，，
∴=，
∵∠B为△ABE和△CBA的公共角，
∴△ABE∽△CBA，
∴，即，
解得：AC=．
21．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，、分别是的边、上的点，且，连接、相交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
证明：（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，在中，点D，E分别在边上，相交于点F，．
（1）求证：．
（2）若点E为中点，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
解：（1）证明：∵AD•AB=AE•AC，
∴AD：AE=AC：AB，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴，∠ABE=∠ACD，
∵AB=6，AD=2，
∴BD=AB-AD=4，且，
∵E为AC中点，
∴2AE=AC，
∴，
∴AE=CE=，
∵∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠EFC，
∴△BFD∽△CFE，
∴．
23．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知：如图，在的中，是角平分线，E是上一点，且．
求证：（1）．
（2）是等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
证明：（1）∵是角平分线，
∴，
又∵，
∴，
（2）∵，
∴，
∴180°-∠3=180°-∠4，
即，
∴．
即△BDE 是等腰三角形．
24．（2020·陕西九年级其他模拟）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BCAM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CEOA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
（1）证明：如图
∵BE是⊙O的直径，
∴CE⊥BC，
∵BC∥AM，
∴CD⊥AM，
∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴CE∥OA；
（2）解：∵⊙O的半径R＝13，
∴OA＝13，BE＝26，
∵BC＝24，
∴CE＝＝10，
∵BC∥AM，
∴∠B＝∠AFO，
∵∠C＝∠A＝90°，
∴△BCE∽△FAO，
∴，
∴
∴AF＝．
25．（2020·浙江）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径等于5，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）CE=6.4．
（1）证明：如图，连结OD，
，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
又AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，
∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，
∴DE 是 ⊙O 的切线；
（2）解：如图，连结OD、AD，
∵AB是直径，∴AB=2×5=10,AD⊥DB，
∴AC=10，
∵CD=8，∴AD=6，
∵在RT△DEC和RT△ADC中，，
∴RT△DEC∽RT△ADC，
∴，∴ ．
26．（2020·长沙市雅礼雨花中学九年级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC=3，BC=4，且AC=AD，弦CD交直径AB于点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求弦CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
（1）∵AC=AD，AB是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BAC=∠BAC+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△ABC；
（2）由（1）可知：，
∴AC2=AE•AB，
∵AC=3，BC=4，
∴由勾股定理可知：AB==5，
∴AE==，
∴由勾股定理可知：CE=，
∴由垂径定理可知：CD=2CE=．
27．（2020·河北邯郸市·九年级其他模拟）如图，、为的高，且与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数
【答案】（1）见解析；（2）
解：（1）证明：、为的高，
=90°，
又，
；
（2），
，
为的高，
，
．
28．（2020·广东佛山市·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上．
（1）过点E作BD的平行线交DC于点G、交AD的延长线于点F．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 ，BE＝2，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
解：（1）如图，GF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，
∵EF∥BD，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BE＝DF；
∵BE＝2，
∴DF＝2，
∵AF∥BC，
∴△DGF∽△CGE，
∴，即
∴EC＝4，
∴BC＝BE+EC＝2+4＝6．
29．（2020·竹溪县实验中学九年级其他模拟）如图，△ABC中，BC＝AC＝10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G；DF⊥AC于点F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若，求CF的值．
【答案】（1）详见解析；（2）FC＝9．
（1）证明：如图示，连接OD，
∵BC＝AC，
∴∠ABC＝∠A，
∵BO＝DO，
∴∠ABC＝∠BDO，
∴∠A＝∠BDO，
∴DO∥AC，
又∵EF⊥AC，
∴∠EDO＝∠EFC＝90°，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝10，
∴OD＝OC＝5
在Rt△EDO中，
∵，
∴，，
∴，
∵OD∥AC，
∴△EDO∽△EFC，
∴，
∴，
∴FC＝9．
30．（2020·湖北武汉市·九年级一模）如图，在⊙O 中，点D在直径AB的延长线上，点C、E在⊙O上，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE、BC交于点F．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若BD＝1，CD＝，求线段EF的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
（1）连OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝CB，∴，
∴∠CAE＝∠OAC，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠BCD＝∠OCA，
∴∠OCD＝∠BCD＋∠OCB＝∠OCA＋∠OCB＝90°，
∵OC是⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OCD中，OC²＋CD²＝OD²，
即：r2＋()2＝(r＋1)2，解得r＝，
由（1）得，∠CAB＝∠CAF，AC⊥BF，
∴AF＝AB＝1，
过O作OH⊥AE于H，则AH＝EH，
∵CE＝CB，，
∴∠EAB＝∠COB，
∵，
∴，
∴，
即，
∴AH＝，
∴AE＝2AH＝，
∴EF＝AF－AE＝1－＝．