专练15（函数压轴大题）（30题）-2021年中考数学考点巩固（通用版）（原卷、解析版）

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2021中考考点巩固
专练15（函数压轴大题）（30道）
1．（2021·广东九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）△ADE的面积最大值为．（3）点P的坐标为（-1，）或（-1，-）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c经过点A（-3，0）、B（1，0），
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为y=x2+2x-3；
（2）设直线AE的解析式为y=kx+b，
∵过点A（-3，0），E（0，1），
∴，
解得：，
∴直线AE解析式为y=x+1，
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，

设D（m，m2+2m-3），则F（m，m+1），
∴DF=-m2-2m+3+m+1=-m2-m+4，
∴S△ADE=S△ADF+S△DEF
=×DF×AG+DF×OG
=×DF×（AG+OG）
=×3×DF
=（-m2-m+4）
=-m2-m+6
=，
∴当m=-时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线对称轴为直线x=-1，
设P（-1，n），
∵A（-3，0），E（0，1），
∴AP2=（-1+3）2+（n-0）2=4+n2，AE2=（0+3）2+（1-0）2=10，PE2=（0+1）2+（1-n）2=（n-1）2+1，
①若AP=AE，则AP2=AE2，即4+n2=10，解得n=±，
∴点P（-1，）或（-1，-）；
②若AP=PE，则AP2=PE2，即4+n2=（n-1）2+1，解得n=-1，
∴P（-1，-1）；
③若AE=PE，则AE2=PE2，即10=（n-1）2+1，解得n=-2或n=4，
∴P（-1，-2）或（-1，4）；
综上，点P的坐标为（-1，）或（-1，-）或（-1，-1）或（-1，-2）或（-1，4）．
2．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学九年级一模）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC＝5OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM∥y轴交DE于点M，交BC于点H，过点M作MN⊥BC于点N，求PM＋NH的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣6x＋5；（2）PM＋NH最大值为＋3，P（，﹣）；（3）存在，Q（2，9）或（，）或（，）或（12，﹣1）．
解：（1）∵点C（0，5），OC＝5OA，
∴A（1，0），
将A（1，0），C（0，5）代入y＝x2＋bx＋c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣6x＋5；
（2）由x2﹣6x＋5＝0得x1＝1，x2＝5，
∴B（5，0），
设BC解析式为y＝kx＋b，将B（5，0）、C（0，5）代入得：
，解得，
∴BC解析式为y＝﹣x＋5，
将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，
∴DE解析式为y＝﹣x＋11，
∵过点P作PM∥y轴交DE于点M，交BC于点H，
∴MH＝6，
∵B（5，0）、C（0，5），
∴OB＝OC，∠OCB＝45°，
∵PM∥y轴，
∴∠NHM＝45°，
∵MN⊥BC，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH＝MH•cos45°＝MH＝3，
PM＋NH取最大值即是PM取最大值，
设P（m，m2﹣6m＋5），则M（﹣m＋11），
∴PM＝（﹣m＋11）﹣（m2﹣6m＋5）＝﹣m2＋5m＋6，
当m＝＝时，PM最大为：﹣（）2＋5×＋6＝，
此时P（，﹣），
∴PM＋NH最大值为＋3，P（，﹣）；
（3）∵将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，
∴CB＝CB′，
而B（5，0）、C（0，5），
设B′（a，﹣a＋11），则（5﹣0）2＋（0﹣5）2＝（a﹣0）2＋（﹣a＋11﹣5）2，
解得a＝7或a＝﹣1（此时旋转角大于90°舍去），
∴B′（7，4），
点F是抛物线上的动点，Q在直线ED上，设F（b，b2﹣6b＋5），Q（c，﹣c＋11），
以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况：
①CB′、FQ为对角线，CB′中点为（，），FQ中点为（，），
CB′中点与FQ中点重合，
∴，解得（此时F与C重合舍去）或，
∴Q（2，9），
②CF、B′Q为对角线，同理可得，
解得或，
∴Q（，）或（，）
③CQ、BF为对角线，则，
解得：（此时F与C重合舍去）或，
∴Q（12，﹣1），
总上所述，以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，Q（2，9）或（，）或（，）或（12，﹣1）．
3．（2021·贵州毕节市·九年级一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋12与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且经过点C(－1，7)和点D(5，7)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1∶7．点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；
(3)在抛物线y＝ax2＋bx＋12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m－n的取值范围．(直接写出结果即可)
　
【答案】(1) y＝－x2＋4x＋12； (2) 当t＝时，△PFB的面积最大，最大值为；(3) －4≤m－n≤0
解：(1)把C(－1，7)，D(5，7)代入，得：
，
解得 ．
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋12．
(2)如图1，过点E作EM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N．

对于抛物线y＝－x2＋4x＋12，令y＝0，则－x2＋4x＋12＝0．解得x1＝－2，x2＝6．
∴A(－2，0)，B(6，0)．
∵D(5，7)，∴OA＝2，DN＝7，ON＝5，AN＝7．
∵△CED的面积与△CAD的面积之比为1∶7，
∴DE∶AD＝1∶7．AE∶AD＝6∶7．
∵EM∥DN，
∴＝＝＝，即＝＝．
∴AM＝EM＝6．
∵OM＝AM－AO＝6－2＝4，
∴E(4，6)．
将B、E两点坐标联立二元一次方程组，

解得
∴直线BE的表达式为y＝－3x＋18．
直线BE和抛物线y＝ax2＋bx＋12有交点B、F，
联立
解得或
∴F(1，15)．
过点P作PQ∥y轴交BF于点Q，设P(t，－t2＋4t＋12)，1＜t＜6，则Q(t，－3t＋18)．
∴PQ＝－t2＋4t＋12－(－3t＋18)＝－t2＋7t－6．
∴．
∵，
∴当时，△PFB的面积最大，最大值为；
(3)－4≤m－n≤0．
如图，作直线，与抛物线左侧交点为，与抛物线右侧交点为，

对于抛物线y＝－x2＋4x＋12，
当y＝16时，－x2＋4x＋12＝16，解得x1＝x2＝2；
当y＝12时，－x2＋4x＋12＝12，解得x1＝0，x2＝4．
观察图像可知，当0≤x≤2或2≤x≤4时，12≤y≤16．
∴，，且．
∴－4≤m－n≤0．
4．（2021·四川达州市·九年级一模）如图1，在菱形OABC中，已知OA＝2，∠AOC＝60°，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．
（1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．
（2）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．
①当OP+PC的值最小时，求出点P的坐标；
②在①的条件下，连接PE、PF、EF得，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）B，C，；（2）①；②，，.
（1）如图1，作CH⊥OA于点H，

图1
四边形OABC是菱形，OA=2，∠AOC=60°，OC=2，
OH=sin60°•2=，
CH=cos60°•2=3，
A点坐标为（2，0），
C点的坐标为（，3），
由菱形的性质得B点的坐标为（3，3）．
设抛物线的解析式为，根据题意得

解得，，
所以，
（2）①如图2

图2
由（1）知抛物线的解析式为：
即对称轴为，顶点为Q（，4）．
设抛物线与轴的另一个交点为D，令，得，，
解得，，
即点D的坐标为（，0），
∵点A的坐标为（，0），对称轴为，且AG⊥BC，
∴直线AG为抛物线的对称轴．
∵B、C两点关于直线AG对称，
∴当OP+PC最小时，
由对称性可知，OP+PC=OB．
即OB，AG的交点为点P，
∵∠AOC=60°，OB为菱形OABC的对角线，
∴∠AOB=30°，
∴AP=OAtan30°=，
∴点P的坐标为（，2）．
②如图3所示，连接OB，CD，CQ，BQ

图3
由①知直线AG为抛物线的对称轴，
则四边形ODBC是关于AG成轴对称的图形．
∵点E是OB中点，点F是AB的中点，点P在抛物线的对称轴上，
∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ
∠PEF=∠BOA=30°，
即△PEF是底角为30°的等腰三角形．
在△OBC、△BCD中，
OC=BC=BD=，∠BOC=∠BDC=30°，
∴△OBC∽△BCD∽△PEF，
∴符合条件的点的坐标为（0，0），（，0）．
又∵AQ=4，AG=3，BC=，
∴GQ=1，BG=，
∴tan∠GBQ=，
即∠GBQ=30°，
△BQC也是底角为30°的等腰三角形，
∴Q点的（，4），
∴符合条件的点M的坐标为（0，0），（，0），（，4）．
5．（2021·福建三明市·九年级一模）如图，顶点为（）的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，直线交二次函数图象对称轴于点，点、关于点对称，连接、．

（1）求该二次函数的关系式（用含的式子表示）．
（2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
②求证：．
【答案】（1）；（2）①等腰直角三角形，见解析；②见解析
解：（1）∵抛物线过点，，
∴设抛物线解析式为，
又∵抛物线过点，代入点得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①∵，对称轴轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
又∵、关于点对称，且、、共线，
∴，
∴以为圆心，为半径作圆，则、、三点共圆，
又∵、、共线，所以为圆直径，
∴，
在△OCN和△CAN中，
∵，，，
∴≌（SAS），
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；

②设，
∴可得直线方程为，
联立抛物线方程：
，
解得，，
∴，
可得直线的方程为，
当时，代入方程得，
∴在上，即，，三点共线，
∴，
∵，
∴．

6．（2021·辽宁鞍山市·九年级一模）抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于，直线经过，两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标；
（3）如图2，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标．
【答案】（1）；（2）最大值是3，；（3）
解：（1）当时，，
当时，，，
∴，，
∵点，在抛物线上，
∴，解得：，
∴．
（2）如图1，连接，延长交轴于，
∵轴，
∴轴，
设，，
则，
∵，且，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值是3，此时．

（3）过作交于点，过点作，交的延长线于点，
则，
∴，
由旋转得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴的解析式为：，
∴，
解得：，，
∴，
设，
∵，
∴由勾股定理得，，
解得：，
∴．

7．（2021·嘉鱼县教学研究室九年级一模）如图1，抛物线与x轴相交于点A（，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第一象限内抛物线上一动点，连接AC，BC．
（1）求这条抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）过点D作DE⊥BC于点E，求线段DE的最大值；
（3）如图2，若D为抛物线的顶点，连接BD，分别延长AC，BD交于点H，求tan∠CBH的值．

【答案】（1），顶点（1，4）；（2）；（3）
解：（1）设抛物线的解析式为，将点C（0，3）代入解析式中，
得，
解得
故抛物线的解析式为．
由抛物线顶点的意义知，在对称轴位置取得顶点坐标
由解析式知，，
∵对称轴，
将代入抛物线解析式中得：
∴顶点（1，4）．
（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，DF交BC于点G，


由B（3，0），C（0，3），
∴OC=OB，∠COB=90°
∴∠CBO=45°．
∴∠DGE=∠BGF=∠CBO=45°．
∴DE=DG•sin45°=．
∴当DG取得最大值时，DE的值最大．
设直线BC的解析式为
∵直线BC经过B（3，0），C（0，3）
∴
解得
∴直线BC的解析式为，
设点D的横坐标为m， 则，．
∴．
∴当时，DG的最大值为．
∴DE的最大值为．
故答案为：．
（3）如图2，过点H作HN⊥x轴于点N．

设直线AC的解析式为
∵直线AC经过点A（，0），点C（0，3）
解得
∴．
同理得．
又∵H为直线AC与直线BD的交点
令，得．
∴．
由A（，0），B（3，0），C（0，3），，易求得AB=4，，AH=．
∴，，
∴．
又∠BAC=∠HAB，
∴△ABC∽△AHB，
∴∠AHB=∠ABC=45°，
∵∠ACB=∠AHB+∠CBH=∠BCO+∠ACO ，
又∠AHB=∠BCO=45°，
∴∠CBH=∠ACO，
∴tan∠CBH=tan∠ACO=．
8．（2021·江苏泰州市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）P（﹣1﹣，﹣），Q（﹣1+，）；（3）（1，）或（1，）
解：（1）由对称轴x=1得点B坐标为（﹣2，0），
将A、B、C坐标代入，得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）如图，当x=0时，y=1，∴E（0，1），则CE=1，
设P、Q的横坐标分别为m、n，
∵△CPQ的面积= ×1×（n﹣m）= ，即n﹣m=2 ，
联立方程组，整理得：，
则：m+n=2﹣4k，mn=﹣4，
由（n﹣m）2=（m+n）2﹣4mn得：（2）2=（2﹣4k）2﹣4×（﹣4），
解得：k=1或k=0（舍去），
∴直线PQ的表达式为y=x+1，
将k=1代入中，得，
解得：x=﹣1±，
∴P（﹣1﹣，﹣），Q（﹣1+，）；

（3）存在，理由：
∵A（4，0），C（0，2），
∴直线AC的表达式为，
联立方程组，解得：，
∴G（，），
设K（1，t）在抛物线上的对应点为R，过G作x轴的平行线交对称轴于M，交过R与y轴平行线于N，如图，
由∠RGK=90°，GR=GK得△KMG≌△GNR，
则GM=NR=1﹣= ，MK=GN=∣﹣t∣，
∴点R的纵坐标为，则R(t﹣1，)，
将R坐标代入抛物线的表达式中，得：
即，
解得：，
∴点K坐标为（1，）或（1，）．

9．（2021·山东枣庄市·九年级一模）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），①试确定抛物线的解析式；②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若M点是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM≥3，求M点横坐标的取值范围；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于点D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点 A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．

【答案】（1）①，②；（2）；（3）四边形OABC是矩形，证明见详解．
解：（1）①依题意, , 解得b=-2，
将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式，
得 ，
解c=3，
所以抛物线的解析式为，
②当，
解得，
当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，
∴；
（2）∵抛物线 与y轴交于点A，
∴ A(0, 3)，
∵ B(3, 6)，
可得直线AB的解析式为，
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图)，

∴ ，
∴，
解得 ，
∴点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3)，
∵S△ABM≥3，
；
（3）结论是：四边形OABC是矩形，理由如下：
如图，由 PA=PO, OA=c, 可得，

∵抛物线的顶点坐标为 ，

∴ ，
∴，
∴ 抛物线，
A（0，），P（，）, D（，0），
∴直线OP的解析式为，
∵ 点B是抛物线与直线的图象的交点，
令 ，
解得，
可得点B的坐标为（-b，），
由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为，
将点D(，0)的坐标代入，得，
∴ 平移后的抛物线解析式为，
令y=0, 即，
解得，
依题意, 点C的坐标为（-b，0），
∴ BC=，
∴ BC= OA，
又BC∥OA，
∴ 四边形OABC是平行四边形，
∵ ∠AOC=90°，
∴ 四边形OABC是矩形．
10．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线经过、两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点为第二象限抛物线上一个动点，过点作于点，的延长线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

【答案】（1）；（2）．
（1）对于，令x=0，则；
令，则，
解得：．
故A点坐标为(-4，0)，B点坐标为(0，9)．
∵点A，B又在抛物线上，
∴ ，解得：．
故抛物线解析式为：．
（2）如图，作轴，轴，DG、FG交于点G，DE的延长线交x轴于点H．
由题意可知,，．
∴，
∵轴
∴，
∵，
∴，
∵点D的横坐标为t，
∴点D的纵坐标为，
设点F坐标为(a，)，
∴
整理得：，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：．

11．（2020·四川广安市·九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）已知，若是抛物线上一个动点（其中），连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为，对称轴是直线；（2）的面积取最大值为，点的坐标为；（3）存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或
解：（1）抛物线过，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为，
对称轴是直线．

（2）过点作轴于，过点作轴于，过点作于，
，
四边形是矩形，
则，
，，，
，
，
，
，
当时，的面积取最大值为，，
此时点的坐标为．

（3）存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，
①以BC为对角线，过C作CM∥x轴交抛物线与M，点N在x轴上，NB=2=MC，M（2,2）
②以BC为边，过M作MG⊥抛物线对称轴于G，当MG=OB=3，且OC=GN是，四边形CNMB为平行四边形，M点横坐标x=3+1=4，纵坐标，M（4，），
③过N作NH∥x轴，与过M作MH∥y轴交于H，当MH=CO=2，NH=BO=3，时，四边形CMNB为平行四边形，M点横坐标为x=1-3=-2，纵坐标，M（-2，），
则点的坐标为或或．

12．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学九年级二模）如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当 的周长最大时，将点沿射线的方向平移个单位至点，再将线段沿射线方向平移，点、的对应点分别记为点、．在平移过程中，点、、是否能构成以为腰的等腰三角形，若能，直接写出点的横坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）周长最大值为：，此时；（3）能构成等腰三角形，点的横坐标为：或或
（1）∵点、、在抛物线的图像上，
∴将点A、B、C的坐标代入得：
，
解得，
∴；
（2）如图3，过点P作轴交BC于点H，

图3
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴当取最大值时，取最大值，
设，设直线的解析式为：，
将点B、C的坐标代入得：
，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴的最大值，
将代入到中，得，
∴；
（3）设直线的解析式为：，
∵点、，
∴，解得，
∴，
∵，
∴直线的解析式为：，
∵，
设，
∴，
∴，（舍去），
∴，
过点作直线，
∴直线：，
设，
则，
由（2）可知，
∴，
，
,
①当时，，
整理得：，
解得：，
∴，
∴点的横坐标为：；
②当时，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴的横坐标为或，
∴综上，的横坐标为：或或．

13．（2021·湖北黄冈市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式为：______；
（2）点为第一象限内抛物线上的一动点，作轴于点，交于点，过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点，，设点的横坐标为．
①求的最大值；
②连接，若，求的值．

【答案】（1）；（2）①；②，
解：（1）∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴
∴y=-x2+2x+3，
故答案为：y=-x2+2x+3；
（2）①当时，，
∴点．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把，代入，得
，
∴，
又∵点，
∴的解析式为：．
∵，∴．
作轴于点，
又∵，∴，∴．
设D(m，-m2+2m+3)，F(m，-m+3)，
∴，
整理得：．
由题意有，且，，
当时，取最大值，的最大值为．


②作轴于点，记直线与轴交于点．
∵轴，轴，，
∴，∴．
∵，∴．
∵的对称轴为，∴，
∵，
∴．
∵，∴．
又∵是公共角，∴，
∴，∴．
在中，，，
在中，
∵，
∴，解得，．
14．（2021·河南九年级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且OA=OB，在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值.
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，直接写出D′A+D′B的最小值．

【答案】（1）；（2）m=2；（3）D′A+BD′的最小值为．
解：（1）∵A（4，0），OA=OB，
∴点B的坐标为（0，4），
将点B、A的坐标代入抛物线，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设直线AB的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
∴E(m，) ，C（m，-m+4）．
∴EC==，
∵点C是DE的中点，
∴，
解得：m=2，m=4（舍去）．
∴m=2；
（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上 取一点M′使得OM′=1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′=OD．

∵OD′=OD=2，OM′•OB=1×4=4，
∴OD′2=OM′•OB，
∴，
∵∠BOD′=∠M′OD′，
∴△M′OD′∽△D′OB，
∴，
∴M′D′=BD′．
∴D′A+BD′=D′A+M′D′=AM′，
此时D′A+BD′最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），
∴D′A+BD′的最小值=AM′=．
15．（2021·云南九年级一模）已知抛物线经过三点．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是在直线上方的抛物线的一点，于点N，轴交于点M，求周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，与相交于点Q，求的最大值．
【答案】（1）；（2），；（3）1
解：（1）法一：依题意，得，
解之，得，
∴抛物线解析式为．
法二：依题意，得，将坐标代入得，，解得，
∴抛物线解析式为.
法三：依题意，得，
解之，得，
∴抛物线解析式为．
（2）如图1，延长交x轴于点H，

∵轴交于点M，
∴，
∵于点N，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
设直线的解析式为y=kx+b'，
将两点坐标代入得，
解得，所以直线的解析式为，
设，
∴，
∴当时，，此时，
∵是等腰直角三角形，
∴周长，
∴周长的最大值为，此时．
（3）法一：如图2，过轴交于点M，

设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为1．
法二：如图2，设，

∴．
设直线的解析式为，
将点代入得，
∴直线的解析式，
将坐标代入得，，
所以，化简得
∴．，
∵
∴当时，的最大值为1．
16．（2020·四川攀枝花市·九年级一模）在平面直角坐标系中，过点的抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，过点A作轴于点D．

（1）求抛物线的解析式
（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连结PD交AB于点Q，连结AP，当时，求点P的坐标．
（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连结DG，过点G作交AC于点M，过点M作射线MN，使，交射线GD于点N；过点G作，垂足为点H，连结BH．请直接写出线段BH的最小值．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为或；（3）BH的最小值是．
解： （1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入
得
解得，
∴；
（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，

∵A（3，4），AD⊥x轴
∴D（3，0）
∵B（﹣1，0）
∴BD＝3﹣（﹣1）＝4
∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形
∴，
∵PE∥x轴
∴△PQE∽△DQB
∴，
∴，
∴PE＝2，
∵A（3，4），B（﹣1，0）
∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1
设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1）
将点P坐标代入，得：，
解得，，
当时，，
∴点
当时，，
∴
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点
∴﹣1＜x﹣2＜3
∴点P的坐标为或
（3）由（1）知抛物线的解析式为
∴C（0，4）
∵A（3，4）
∴AC∥x轴
∴∠OCA＝90°
∴GH⊥MN
∴∠GHM＝90°
在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°
∴点C、G、H、M共圆
如图2，连结CH

则∠GCH＝∠GMH＝60°
∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上
∴当BH⊥CH时，BH最小，
过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于Q
∵∠GCH＝60°
∴∠HCM＝30°
又BH⊥CH，
∴∠BHC＝90°，
∴∠BHP＝∠HCM＝30°
设OP＝a，则CQ＝a，
∴QH＝a
∵B（﹣1，0）
∴OB＝1，
∴BP＝1+a
在Rt△BPH中，，
∵QH+HP＝AD＝4
∴
解得
∴．
∴BH的最小值是．
17．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点（A左B右），与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，交y轴于点D，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为H，点E为线段上一点，连接，且，点Q为右侧抛物线上一点，若，求直线的解析式．

【答案】（1）；（2）；（3）
（1）令，
解得



代入解析式得：
解得（舍去）
∴抛物线解析式为
（2）过点P作轴于轴于N


即





即

（3）过点C作，连接可得四边形为矩形，
过点O作交过点B垂直于x轴的直线于点F，
设，则，

∴可证

∴可得为等腰直角三角形

设与交于点R
计算得


设，则

在中，勾股定理得：

解得
求出点

设与y轴交于点T，过点T作于点L
∵易得
∴设，则






设点Q坐标为
由（2）得：

∴点
待定系数法求出解析式

18．（2020·黑龙江绥化市·九年级三模）如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或m=1．
（1）∵A（0，3），B（4，0）
∴，解得，
∴该抛物线的解析式是
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b1∵A（0，3），B（4，0）
∴， 解得
∴直线AB的解析式为
∵CD∥y轴　
∴C、D两点的横坐标都为m．
在中，当x=m时，
∴C（m，）
在中，当x=m时，
∴D（m，），
∴

（3）存在．
∵A（0，3），B（4，0）∴OA=3，OB=4，
过点C作CE⊥y轴于点E，∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，∴

若△ACD是等腰三角形，则分以下情况讨论：
①CA=CD时，则整理得解得：m=0或
∵C不与A重合，∴m=0舍去
∴
②DA=DC时，过点D作DH⊥AC于点H，∴AH=HC
∵CD∥y轴
∴∠DCA=∠OAB，∴cos∠DCA=cos∠OAB，
∴，∴，∴5CH=3CD．
又∵HC=AC，∴5AC=6CD
则
整理得解得：m=0或
∵C不与A重合，
∴m=0舍去∴

③AD=AC时同理得m=1
综上存在m值，或或m=1使得△ACD是等腰三角形．
19．（2021·广东九年级其他模拟）如图1，抛物线y=x²--2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）

（1）求直线BE的解析式；
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求三角形APD面积的最大值
（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由？
【答案】（1）；（2）4；（3）存在，点Q的坐标为或或或．
解：（1）令y＝0，则，解得或，
∴，
令，则，
∴，
设直线BE的解析式为，
将、代入得，
，
解得：，
∴；
（2）由题意可设AD的解析式为，
将代入，得到，
∴，
联立，
解得：，，
∴，
过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．
∴，
设），则，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，的面积最大，最大值为4；
（3）存在；
①当PD与AQ为平行四边形的对边时，
∵，AQ在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴或；
②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，
PD与AQ的中点在x轴上，
∴P点的纵坐标为2，
∴或，
∴PD的中点为或，
∵Q点与A点关于PD的中点对称，
∴或；
综上所述：点Q的坐标为或或或．
20．（2021·河南安阳市·九年级零模）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标
（2）求抛物线的解析式
（3）D为直线AB上方抛物线上一动点
①连接DO交AB于点E，若DE∶OE＝3∶4，求点D的坐标
②是否存在点D，使得DBA的度数恰好是BAC的2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）①或；②存在，．
解：（1）由题意得：
当x=0时，则，当y=0时，则，解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
把点A、B代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（3）①过点D作DF⊥x轴，交AB于点F，如图所示：

设点，则有点，
∴，
∵∠BOA=90°，
∴DF∥OB，
∴△DEF∽△OEB，
∵DE∶OE＝3∶4，OB=2，
∴，即，
解得：，
∵点D是直线AB上方抛物线上的点，
∴或；
②存在一点D，使得∠DBA=2∠BAC，理由如下：
过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，如图所示：

∴∠BAC=∠HBA，
∵∠DBA=2∠BAC，
∴∠HBA=∠DBH=∠BAC，
∵在Rt△AOB中，OB=2，OA=4，
∴，
∴，
设点，则有，
∴，
解得：，
∴
∴存在点D，使得∠DBA=2∠BAC，此时点．
21．（2020·浙江）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．
（1）点A，B，D的坐标分别为________，________，________；
（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在内（含边界）时，求t的取值范围；
（3）如图②，当时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在以为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为或或或．
解：（1）当y=0时，则有，
解得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵，
∴点D的坐标为，
故答案为；
（2）∵点E、点D关于直线y=t对称，
∴点E的坐标为：，
当x=0时，，
∴点C的坐标为，
设线段BC的解析式为，
将点B、C的坐标代入得：，解得：，
∴线段BC的解析式为，
∵点E在△ABC内（含边界），
∴，解得：；
（3）存在，理由如下：
当或时，；当时，；
①当或时，点Q的坐标为，如图所示：

∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
∴CP⊥PQ，
∴，即，
解得：，
∴点P的坐标为或；
②当时，点Q的坐标为，如图所示：

∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
∴CP⊥PQ，
∴，即，
解得：，
∴点P的坐标为或，
∴综上所述：存在以为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为或或或．
22．（2020·湖南长沙市·九年级其他模拟）如图，抛物线y＝﹣（x﹣3m）（其中m＞0）与x轴分别交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C；
（1）点B的坐标为　 　，点A的坐标为　 　（用含m的代数式表示），点C的坐标为　 　（用含m的代数式表示）；
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤及不等式2n﹣≥﹣4x02+x0+恒成立，求n的取值范围．

【答案】（1）（﹣，0），（3m，0），（0，m）；（2）tan∠APO＝，P（﹣，）；（3）≤n≤2．
解：（1）当x＝0时，，
∴C（0，m），
∴OC＝m，
当y＝0时，即，
解得：x1＝ ，x2＝3m，
∵A在B的右侧，其中m＞0，
∴A（3m，0），点B（，0）；
故答案为：（，0）、（3m，0）、（0，m）；
（2）Rt△AOC中，tan∠OAC＝，
∴∠CAO＝30°，
∵OP2＝PC•PA，
∵∠OPC＝∠OPC，
∴△OPA∽△CPO，
∴∠POC＝∠OAC＝30°，
∵∠ACO＝∠POC+∠APO，
∴∠APO＝60°﹣30°＝30°，
∴tan∠APO＝，
过P作PE⊥x轴于E，

∵∠APO＝∠OAC＝30°，
∴PO＝OA＝3m，∠POE＝60°，
Rt△PEO中，∠EPO＝30°，
∴，PE＝ ，
∵点P在第二象限，
∴P（﹣，）；
（3）由（2）知：P（ ，），
∵点Q恰好为OP的中点，
∴Q（ ， ），
∵Q在抛物线上，
则，
解得：m＝ ，
∴抛物线的解析式为：，
则对称轴是，
作抛物线的对称轴交抛物线于点F，
∵M在点C与顶点F之间（含点C与顶点F），
∴0≤x0≤ ，
∵n≤ ，
设w1＝x0+ ，
∵1＞0，
∴w1随x0的增大而增大，
∴当x0＝时，w1有最大值，即有最小值为2，
∴n≤2，
对于不等式2n﹣ ≥﹣4x0+ x0+ ，
则，
设w2＝﹣2（x0﹣ ）2+ ，
∵﹣2＜0，
∴w2有最大值，
∵0＜＜ ，
∴当x0＝时，w2有最大值为，
∴n≥，
综上，n的取值范围是≤n≤2．
23．（2020·四川南充市·九年级一模）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN最大时，求运动的时间；
（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）3s；（3）秒．
（1）∵抛物线y＝与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C
∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0
∴AB＝n+1，OC＝n
由S△ABC＝×AB×OC＝5
∴
∴
∴取正根n＝4
∴y＝＝x2+x+2；
（2）由（1），B（4，0），C（0，2）
∴直线BC为
设M（m,m+2），N（m,m2+m+2）
∴MN＝＝＝
∴当m＝2时，MN最大
∴OP＝2
∴AP＝3，即经过3s，MN最大；
（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，

∴△CDE～△COB
∴
由（2），得BC＝2，D（2，1）
∴DE＝2CD＝2
∴CE＝5
∴OE＝3
∴E（0，-3）
∴直线DE为y＝2x-3
由x2+x+2＝2x-3
移项整理得：x2+x-5＝0
∴x2+x-10＝0
取正根x＝
∴OP＝
∴AP＝
即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．
24．（2020·长沙市雅礼雨花中学九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+a+2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D．点P为x轴上的一个动点．

（1）求点D的坐标；
（2）如图1，当点P在线段AB上运动时，过点P作x轴的垂线，分别交直线AD、BD于点E、F，试判断PE+PF是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
（3）如图2，若点P位于点A的左侧，满足∠ADP=2∠APD且AP=AB时，求抛物线的解析式．
【答案】（1）点D（﹣1，2）；（2）是，4；（3）y=﹣x2﹣x+
（1）∵y=ax2+2ax+a+2=a(x+1)2+2，
∴点D（﹣1，2）；
（2）是定值，理由如下：
如图1，过点D作DH⊥AB于H，

∴AH=BH=AB，DH=2，
∴∠DAB=∠DBA，
∵tan∠EAP=，tan∠FBP=，
∴EP=AP•tan∠EAP，PF=BP•tan∠FBP，
∵∠EAP=∠FBP，
∴tan∠DBH=tan∠EAP=tan∠FBP=，
∴，
∴，
∴PF+PF=4；
（3）如图2，作AP的垂直平分线，交AP于Q，交PD于M，过点D作DH⊥AB，

∴PM=MA，PQ=AQ，
∴∠MPA=∠MAP，
∴∠DMA=∠MPQ+∠MAP=2∠MPA，
∵∠ADP=2∠APD，
∴∠ADP=∠AMD，
∴AM=AD=PM，
∵∠DPH=∠MPQ，∠DHP=∠MQP=90°，
∴△PMQ∽△PDH，
∴，
∵AP=AB，AH=BH，PQ=QA，
∴PQ=QA=AH，
∴PH=（）AH，
∴，
∴MQ=，
∵MQ2+AQ2=AM2=AD2=AH2+DH2，
∴（）2+（AH）2=AH2+4，
∴AH=2，
∴点A（﹣3，0），
∵抛物线y=ax2+2ax+a+2过点A，
∴0=9a﹣6a+a+2，
∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+．
25．（2020·山西九年级二模）综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在右侧），与轴交于点，点坐标为，连接，点是直线上方抛物线上一动点，且横坐标为．过点分别作直线的垂线段，垂足分别为和，连接．

（1）求抛物线及直线的函数关系式；
（2）求出四边形是平行四边形时的值；
（3）请直接写出与相似时的值．
【答案】（1）抛物线的关系式为，直线的关系式为；（2）四边形是平行四边形时的值为或3；（3），，，．
解:（1）把代入中，
得，
解得，
抛物线的关系式为，
当时，得，
点的坐标为，
当时，得，
解得，
点在点左侧，
点的坐标为，
设直线的关系式为，
把点和代入上式，
得，
解得，
直线的关系式为；
（2）由点坐标可知:，
为等腰直角三角形，，
，为等腰直角三角形，
如答图，过点作轴于点，交于点，

在和中，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
点为抛物线上的动点，点为直线上的点，点的横坐标为，
设，
，
，
解，得，
四边形是平行四边形时的值为或3；
（3），．
由（1）（2）可得△ADB为等腰直角三角形，AB=6，，，，过点D作DE⊥x轴交于点E，

DE=3，
易得点D坐标为，
设直线AC的解析式为，把，代入得：
，解得，
直线AC的解析式为，
由与相似，可得：
①当点E在点D上方时，且∠PDE=∠ACD，如图所示：

PD∥AC，
则有直线AC的斜率与直线PD的斜率相等，
设直线PD的解析式为：，把点D代入得：b=-7，
设直线PD的解析式为：，
联立直线PC与二次函数的解析式得：
，解得：（不符合题意，舍去），
；
②当点E在点D上方时，且∠EPD=∠ACD，取AC的中点F，连接DF，如图所示：

由中点坐标公式易得点，
AD⊥BC，
CF=FD，
∠FCD=∠FDC，
∠FDP=90°，
FD⊥DP，
设直线FD的解析式为：，把点，点D代入解得：
，即直线FD的解析式为：，
设直线DP的解析式为：，把点D代入得：b=13，
直线DP的解析式为：，
联立直线PD与二次函数解析式得：，解得，
；
③当当点E在点D下方时，且∠PDE=∠ACD时，延长PD交AC于点F，如图所示：

∠PDE=∠FDC，
∠FCD=∠FDC，
FC=FD，
AD⊥BC，
易得∠FDA=∠FAD，
CF=AF=FD，
由②可直接得出直线PD的解析式为，
联立直线PD与二次函数的解析式得：，解得：，
；
④当点E在点D下方，且∠PDE=∠CAD时，延长PD，交AC于点H，如图所示：

∠PDE=∠HDC，
∠HDC+∠HCD=90°，
PH⊥AC，
直线AC与直线PD的斜率之积为-1，
设直线PD的解析式为：，把点D代入得：，
直线PD的解析式为：，
联立直线PD与二次函数的解析式得： ，解得，
；
综上所示：当与相似时，，，，．
26．（2020·山西晋中市·九年级其他模拟）综合与探究
如图，抛物线与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴正半轴交于点C．
（1）连接，，若的面积为10，求抛物线的函数表达式．
（2）若P是轴上的一个动点，过点P作垂直于轴的直线分别交直线和抛物线于点D和点E．设点P的横坐标为．
①当点E在第一象限，且时，求的值．
②若D，E，P三个点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称D，E，P三点为“共生点”．当点D，E，P三点为“共生点”时，请直接写出的值．

【答案】（1）；（2）①；②的值为1或或-2
解：（1）当时，，解得，，则，，
∴．
∵的面积为10，
∴，解得，则，把代入，得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）①如图1，过点C作，则，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵点P的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴整理，得，
∴或2．
∵点E在第一象限，
∴．
②设直线的解析式为，即，
解得，
∴直线的解析式为，
∴．
如图2，当D是的中点时，，
∴，
解得或4．
∵D，E，P三点不重合，
∴．
如图3，当E是的中点时，，
∴，
解得或4．
∵D，E，P三点不重合，
∴．
如图4，当P是的中点时，，
∴，
解得或4．
∵D，E，P三点不重合，
∴．
综上所述，的值为1或或-2．

27．（2019·山西阳泉市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与抛物线交于点，此抛物线与轴的正半轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一点．过点作垂直于轴于点，交线段于点，使．
①求点的坐标；
②在直线上是否存在点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）①点坐标是；②存在，或
解：（1）∵直线与轴交于点．
∴
∵
∴
∵
∴
∵直线与轴交于点．

∴点坐标为
把点、标代入解析式
得
解得：
∴抛物线的解析式为：

（2）①∵是直线上方的抛物线上一点
∴设点为坐标为
设直线解析式：
将点、坐标代入解析式，得

解得：
∴
∵轴于，交于点
∴点坐标为
∴


∵
∴
解得：（舍去），
当时，

∴点坐标是
②∵点M在直线PD上，
∴设点M的坐标为
∵点A（-2，6），点B（1，0），
∴
∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，
Ⅰ：当BM为斜边时，可得：AB2+AM2=BM2，
∴，∴
∴点M的坐标为
Ⅱ：当AM为斜边时，可得：AB2+BM2=AM2，
∴，∴
∴点M的坐标为
综上所述，符合题意的点M的坐标为或
28．（2020·河北唐山市·九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t>0）秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为、、．
（1）求c、b（用含t的代数式表示）；
（2）嘉琪认为：“当这条抛物线经过点B时，一定不会经过点C”请你通过计算说明他的说法对吗？
（3）当时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由：若不变，求出∠AMP的值；②在矩形ABCD的内部（不含动界），把横、纵华标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

【答案】（1），；（2）嘉琪说的正确，理由见解析；（3）①不变，②
解：⑴抛物线过原点O，把代入，得．
点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动tS，P（t,0），
再把，代入，得，
t（t+b）=0，
∵，∴．
，
（2）嘉琪说的正确 ．
由（1）得y=x²-tx，把B（1，-5）代入-5=1-t得t=6
∴y=x²-6x，
当x=4时，y=16-24=-8≠-5，
∴嘉琪说的正确，
（3）①不变．
在点P的运动过程中，A（1，0），
如图，当时，，故．AM=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AP=t-1=AM，
∵矩形ABCD，，
∴．
∴
∠AMP的大小是不会变，且，
②
在矩形中共有8个好点
Ⅰ、左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；
，
x=2时y<-4，x=3时，y>-1，
即解得此时无公共解，
Ⅱ、左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：

则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，＜t＜4且＜t＜，解得＜t＜；
Ⅲ、左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：
则有-3＜y2＜-2，-3＜y3＜-2即-3＜4-2t＜-2，-3＜9-3t＜-2，无解；
Ⅳ、左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：则有-2＜y2＜-1，-4＜y3＜-3即-2＜4-2t＜-1，-4＜9-3t＜-3，无解；
Ⅴ、左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：
则有-1＜y2， y3＜-4即-1＜4-2t， 9-3t＜-4，无解；
综上所述，t的取值范围是：＜t＜．
29．（2020·河南九年级其他模拟）已知抛物线经过三点，直线交抛物线于A､D两点，交y轴于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AD上方抛物线上的一点，作轴，垂足为F，交AD于点N，且点N将线段PF分为的两部分．
①求点P的坐标；
②过点P作于点M，若直线l到直线AD的距离是PM的2倍，请直接写出直线l的解析式．

【答案】（1）；（2）①点或；②直线l的表达式为：或或或
解：（1）设抛物线的表达式为：，
将点A､B的坐标代入上式得：，
故，解得：；
故抛物线的表达式为：；
（2）①将点A的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线的表达式为：，令，则，故点，
则，则，
设点P的坐标为：，则点，
则；
∵点N将线段PF分为的两部分，则或，
即：或，
解得：或或（舍去），
当时，，同理当时，，
故点或；
②由①知：，
∵直线l到直线AD的距离是PM的2倍，则直线l在AD的基础上上下平移个单位，
当时，；
当时，同理；
故直线l的表达式为：或或或．
30．（2020·辽宁葫芦岛市·九年级二模）如图，二次函数的图象过点和，与轴交于点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若在该二次函数的对称轴上有一点，使的长度最短，求出的坐标．
（3）动点，同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，点以每秒4个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当，两点相遇时，它们都停止运动．设，同时从点出发秒时，的面积为．请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，S
解：（1）∵该函数图象过点，，

∴
解之，得，．
∴所求二次函数的关系式为
（2）∵

∴对称轴是
点关于的对称点是，所以与对称轴的交点即为点，
使的长度最短
设直线的解析式为，将，代入，解得
当时，，所以
（3）根据题意得，两点相遇的时间为
（秒）
现分情况讨论如下：
ⅰ）当时，；
ⅱ）当时，设点的坐标为


∴，∴
∴
ⅲ）当时，设点的标为，类似ⅱ可得
设点的坐标为
∴，
∴
∴