高考数学一轮复习第一章 检测一

这是一份高考数学一轮复习第一章 检测一，共8页。教案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x||x|≤2}，则A∩B等于( )
A．{3} B．{0,1,2}
C．{1,2} D．{0,1,2,3}
答案 B
解析 ∵A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{0,1,2}．
2．(2020·邢台模拟)若集合 A＝{x|00}，则A∪B等于( )
A．{x|10}
C．{x|21}
答案 B
解析 ∵B＝{x|x<－2或x>1}，A＝{x|0∴A∪B＝{x|x<－2或x>0}．
3．已知命题p：“∀x∈R，x2－2mx＋m2－4＝0”，则綈p为( )
A．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－2mx0＋m2－4≠0
B．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－2mx0＋m2－4＝0，
C．不存在x∈R，x2－2mx＋m2－4＝0
D．∀x∈R，x2－2mx＋m2－4≠0
答案 A
解析 因为p：“∀x∈R，x2－2mx＋m2－4＝0”，
所以綈p：“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－2mx0＋m2－4≠0”．
4．“－2≤a≤2”是“关于x的不等式ax2－ax＋eq \f(1,a)≥0的解集为R”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为关于x的不等式ax2－ax＋eq \f(1,a)≥0的解集为R，
所以有a>0且(－a)2－4a·eq \f(1,a)≤0，
所以有0故“－2≤a≤2”是“关于x的不等式ax2－ax＋eq \f(1,a)≥0的解集为R”的必要不充分条件．
5．(2020·贵州贵阳检测)命题p：若x>y，则x2>y2，命题q：若x－y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∨(綈q)；④(綈p)∧q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案 D
解析 命题p：当x＝0，y＝－2时，x2所以为假命题；
命题q为真命题，
所以①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；
③p∨(綈q)为假命题；④(綈p)∧q为真命题，
所以真命题为②④.
6．(2020·云南昆明质量检测)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋1≥0，,x－3y－3≤0，))且z＝x＋2y，则( )
A．z有最小值也有最大值
B．z无最小值也无最大值
C．z有最小值无最大值
D．z有最大值无最小值
答案 C
解析 根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，z＝x＋2y可变形为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(z,2)，所以z的几何意义为直线y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(z,2)在y轴上的截距的两倍，根据可行域可知当直线z＝x＋2y过A点时z取最小值，无最大值．
7．已知a，b∈(0，＋∞)，且1＋eq \f(2,ab)＝eq \f(9,a＋b)，则a＋b的取值范围是( )
A．[1,9] B．[1,8]
C．[8，＋∞) D．[9，＋∞)
答案 B
解析 ∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≥ab，可得eq \f(1,ab)≥eq \f(4,a＋b2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)或a＝b＝4时等号成立．
∵1＋eq \f(2,ab)＝eq \f(9,a＋b)，
∴eq \f(2,ab)＝eq \f(9,a＋b)－1≥eq \f(8,a＋b2)，
化为(a＋b)2－9(a＋b)＋8≤0，解得1≤a＋b≤8，
则a＋b的取值范围是[1,8]．
8．已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,7)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7)，＋∞))
答案 A
解析 x∈(0,2]时，不等式可化为ax＋eq \f(3a,x)<2，
当a＝0时，不等式为0<2，满足题意；
当a>0时，不等式化为x＋eq \f(3,x)则eq \f(2,a)>x＋eq \f(3,x)≥2eq \r(x·\f(3,x))＝2eq \r(3)，当且仅当x＝eq \r(3)时等号成立，
所以a当a<0时，x＋eq \f(3,x)>eq \f(2,a)恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(\r(3),3))).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题正确的有( )
A．A∪∅＝∅
B．∁U(A∪B)＝(∁UA)∪(∁UB)
C．A∩B＝B∩A
D．∁U(∁UA)＝A
答案 CD
解析 在A中，A∪∅＝A，故A错误；在B中，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，故B错误；在C中，A∩B＝B∩A，故C正确；在D中，∁U(∁UA)＝A，故D正确．故选CD.
10．(2020·云南曲靖一中质检)下列命题中真命题是( )
A．“∃x0∈R,2x0≤0”的否定
B．∀x∈R，lg(x2＋1)≥0
C．若“x2>x，则x>0”的逆命题
D．“若x答案 AB
解析 对于A，∃x0∈R,2x0≤0为假命题，故“∃x0∈R,2x0≤0”的否定为真命题；
对于B，lg(x2＋1)≥lg 1＝0，故“∀x∈R，lg(x2＋1)≥0”为真命题；
对于C，当0对于D，“若x11．若eq \f(1,a)A．a＋b|b|
C．a2
答案 AD
解析 ∵eq \f(1,a)∴b∴－b>－a>0，则|b|>|a|，故B错误．
由于eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，
∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，故D正确．
故选AD.
12．下列结论中，所有正确的结论有( )
A．若eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)，则a－c2>b－c2
B．若a，b，m∈R＋，则eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b)
C．当x∈(0，π)时，sin x＋eq \f(1,sin x)≥2
D．若a，b∈R＋，a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥4.
答案 ACD
解析 对于A，由于eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)，所以a>b，故a－c2>b－c2，故正确；
对于B，eq \f(a＋m,b＋m)－eq \f(a,b)＝eq \f(mb－a,bb＋m)，又a，b，m∈R＋，当b>a时，不等式成立，当b对于C，x∈(0，π)时，sin x＋eq \f(1,sin x)≥2eq \r(sin x·\f(1,sin x))＝2，当且仅当x＝eq \f(π,2)时，等号成立，故正确．
对于D，若a，b∈R＋，a＋b＝1，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)
＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，
当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，故正确．
故选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
答案 (3，＋∞)
解析 因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，所以m>3.
14．(2020·惠州调研)设x，y为正数，若x＋eq \f(y,2)＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值是________，此时x＝________.(第一空3分，第二空2分)
答案 4 eq \f(1,2)
解析 eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,2)))＝2＋eq \f(y,2x)＋eq \f(2x,y)≥2＋2eq \r(\f(y,2x)·\f(2x,y))＝4，当且仅当eq \f(y,2x)＝eq \f(2x,y)，即y＝1，x＝eq \f(1,2)时等号成立．
15．(2019·山东实验中学月考)已知命题p：“∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0”．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，1]
解析 因为命题綈p是假命题，所以p是真命题，
即∃x0∈R,4x0－2x0＋1＋m＝0，
所以m＝－4x＋2x＋1，x∈R有解即可，
令y＝－4x＋2x＋1＝－(2x)2＋2×2x,2x>0，利用二次函数可知y≤1，故m≤1.
16．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．
答案 [25，＋∞)
解析 令f (x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.
∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，
∴由二次函数图象得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m－12－32m－7≥0，,\f(m－1,16)＞1，,f 1＞0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥25或m≤9，,m＞17，,m∈R，))
∴m的取值范围是[25，＋∞)．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)若不等式ax2＋5x－2>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解 (1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根分别为eq \f(1,2)，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－3即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－318．(12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R }，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R }．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)因为A∩B＝[0,3]，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2＝0，,m＋2≥3，))故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,m≥1，))
所以m＝2.
(2)∁RB＝{x|xm＋2}．
因为A⊆∁RB，所以m－2>3或m＋2<－1，
所以m>5或m<－3.
所以m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
19．(12分)已知p：(x＋1)(x－5)≤0，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．
解 (1)由(x＋1)(x－5)≤0，得－1≤x≤5，
∵p是q的充分条件，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m≥5，,1－m≤－1，))解得m≥4.
(2)根据已知，p，q一真一假，
当p真q假时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤5，,x>6或x<－4，))无解；
当p假q真时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>5或x<－1，,－4≤x≤6，))
解得－4≤x<－1或5综上，x的取值范围是－4≤x<－1或520．(12分)(2020·山东实验中学月考)已知命题p：“对任意的－1≤x≤1，不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若q：－4解 (1)由题意知m>x2－x在－1≤x≤1恒成立，
所以m>(x2－x)max(－1≤x≤1)，
因为x2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，
所以－eq \f(1,4)≤x2－x≤2，
即(x2－x)max＝2，则m>2，
所以实数m的取值范围是(2，＋∞)．
(2)由q得a－4因为q⇒p，所以a－4≥2，即a≥6，
所以实数a的取值范围是[6，＋∞)．
21．(12分)已知函数f (x)＝－x2＋bx＋c，不等式f (x)>0的解集为{x|1(1)求不等式cx2＋bx－1>0的解集；
(2)当g(x)＝f (x)－mx在x∈[1,2]上具有单调性，求实数m的取值范围．
解 (1)由f (x)>0的解集为{x|1则－x2＋bx＋c>0的解集为{x|1即x2－bx－c<0的解集为{x|1则1,2是方程x2－bx－c＝0的两根，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2＝b，,1×2＝－c，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,c＝－2，))
由cx2＋bx－1>0，得－2x2＋3x－1>0，
即2x2－3x＋1<0，
解得eq \f(1,2)0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(2)由g(x)＝f (x)－mx＝－x2＋(3－m)x－2在x∈[1,2]上具有单调性，
则eq \f(3－m,2)≤1或eq \f(3－m,2)≥2，
解得m≥1或m≤－1.
所以实数m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
22．(12分)随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t(单位：分钟)满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟地铁的载客人数p(t)(单位：人)与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：p(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1 800－159－t2，4≤t<9，,1 800，9≤t≤15，))其中t∈N.
(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1 500，试求发车时间间隔t的值；
(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q＝eq \f(6pt－7 920,t)－100(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
解 (1)当9≤t≤15时，1 800≥1 500，不满足题意，舍去．
当4≤t<9时，1 800－15(9－t)2≤1 500，
即t2－18t＋61≥0，
解得t≥9＋2eq \r(5)(舍)或t≤9－2eq \r(5)，
∵4≤t<9，t∈N.
∴t＝4.
(2)由题意可得Q＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90t＋\f(4 410,t)))＋1 520，4≤t<9，t∈N，,\f(2 880,t)－100，9≤t≤15，t∈N，))
当4≤t<9时，Q≤－2eq \r(90×4 410)＋1 520＝260(元)(当且仅当90t＝eq \f(4 410,t)，即t＝7时等号成立)，
当9≤t≤15时，Q≤eq \f(2 880,9)－100＝220(元)(当t＝9时取得最大值)．
答 (1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1 500，发车时间间隔为4 min.
(2)当发车时间间隔为7 min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．