高考数学一轮复习第二章 2.1 第2课时

这是一份高考数学一轮复习第二章 2.1 第2课时，共11页。试卷主要包含了5x－2))＋0，))等内容，欢迎下载使用。

第2课时　函数的定义域与值域
函数的定义域
求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)y＝＋lg cos x；
(3)y＝－log2(4－x2)；
(4)y＝＋(2x－5)0.
解　(1)由得
所以函数的定义域为{x|x≤－1或x≥1且x≠±2}．
(2)由得
所以函数的定义域为∪∪.
(3)要使函数有意义，必须
解得－2 ∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．
(4)由得
∴函数的定义域为∪.
思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．
(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．
函数的值域
例1　(2019·长沙月考)求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝＋.
解　(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0,3)，
再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．

(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞)．

结合本例(4)求函数y＝－的值域．
解　函数的定义域为[1，＋∞)，
y＝－＝，
由本例(4)知函数y＝＋的值域为[，＋∞)，
∴0<≤，
∴0<≤，
∴函数的值域为(0，]．
思维升华　求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．
跟踪训练1　求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x＋4；
(3)y＝.
解　(1)方法一　y＝＝－1＋，
因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1＋≤1.
即函数的值域为(－1,1]．
方法二　由y＝，得x2＝.
因为x2≥0，所以≥0.
所以－1 (2)设t＝，t≥0，则x＝1－t2，
所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，
所以y≤5，
所以原函数的值域为(－∞，5]．
(3)y＝＝
＝x＋＝x－＋＋，
因为x>，所以x－>0，
所以x－＋≥2＝，
当且仅当x－＝，即x＝时取等号．
所以y≥＋，即原函数的值域为.

定义域与值域的应用
例2　(1)(2020·广州模拟)若函数f (x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
答案　－
解析　函数f (x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，
所以解得
所以a＋b＝－－3＝－.
(2)已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
解　令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2或a≤4－2，∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．
跟踪训练2　(1)若函数f (x)＝在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．
答案　[1，＋∞)
解析　由于函数f (x)＝在[2 021，＋∞)上有意义，
即ax－2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a≥在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<≤1，故a≥1.
(2)已知函数f (x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
答案　3
解析　f (x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，
则f (1)＝1，f (b)＝(b－1)2＋1，
∵f (x)在[1，b]上为增函数，
∴函数值域为.
由已知得(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍)．


我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f (x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．
一、抽象函数的函数值
例1　(1)设函数y＝f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (xy)＝f (x)＋f (y)，若f (8)＝3，则f ()＝________.
答案　
解析　因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (×)＝f ()＋f ()＝2f ()，所以2f ()＝1，所以f ()＝.
(2)设函数f (x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f (x1)＋f (x2)＝2f ·f ，f (π)＝－1，则f (0)＝________.
答案　1
解析　令x1＝x2＝π，
则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.
二、抽象函数的定义域
例2　(1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x)＝ln(－x－x2)，则函数f (2x＋1)的定义域为________．
答案　
解析　由题意知，－x－x2>0，
∴－1 ∴－1<2x＋1<0，则－1 (2)若函数f (2x)的定义域是[－1,1]，则f (log2x)的定义域为________．
答案　[，4]
解析　对于函数y＝f (2x)，－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2.
则对于函数y＝f (log2x)，2－1≤log2x≤2，
∴≤x≤4.
故y＝f (log2x)的定义域为[，4]．


1．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
答案　C
解析　由题意可知x满足(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0 2．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
答案　D
解析　因为y＝的定义域为{x|x≠0}，而y＝的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为{x|x>0}，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠0}，故D正确．
3．函数y＝＋1的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　函数y＝＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x＝1时，该函数取得最小值1，故函数y＝＋1的值域为[1，＋∞)．
4．(2019·衡水中学调研)函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．(－1,0)∪(0,1] B．(－1,1]
C．(－4，－1) D．(－4,0)∪(0,1]
答案　A
解析　要使函数f (x)有意义，应有解得－1 5．函数y＝1＋x－的值域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为，故选B.
6．(2019·佛山模拟)函数f (x)＝的值域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1] D．(0,1)
答案　D
解析　f (x)＝＝，∵x>0，∴1＋x>1，∴0<<1.
7．(多选)下列函数中值域为R的有(　　 )
A．f (x)＝3x－1
B．f (x)＝lg(x2－2)
C．f (x)＝
D．f (x)＝x3－1
答案　ABD
解析　A项，f (x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件；
B项，由x2－2＞0得x＞或x＜－，
此时f (x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件；
C项，f (x)＝当x＞2时，f (x)＝2x＞4，
当0≤x≤2时，f (x)＝x2∈[0,4]，所以f (x)≥0，
即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；
D项，f (x)＝x3－1是增函数，
函数的值域为R，满足条件．
8．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能为(　　 )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　ABC
解析　函数y＝x2－4x－4的对称轴方程为x＝2，
当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，
x＝0时，取最大值－4，
x＝m时，有最小值m2－4m－4＝－8，解得m＝2.
则当m＞2时，最小值为－8，
而f (0)＝－4，由对称性可知，m≤4.
∴实数m的值可能为2,3,4.
9．(2019·江苏)函数y＝的定义域是________．
答案　[－1,7]
解析　要使函数有意义，则7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1,7]．
10．函数f (x)＝3x＋，x∈[1,2]的值域为________．
答案　[5,7]
解析　令g(x)＝3x＋＝3，x>0，
易证g(x)在上是增函数，
∴f (x)在[1,2]上为增函数，
从而得f (x)的值域为[5,7]．
11．(2020·石家庄模拟)若函数f (x)＝＋2x，则f (x)的定义域是________，值域是________．
答案　[2，＋∞)　[4，＋∞)
解析　x－2≥0⇒x≥2，
所以函数f (x)的定义域是[2，＋∞)；
因为函数y＝，y＝2x都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x)＝＋2x也是[2，＋∞)上的单调递增函数，
所以函数f (x)的最小值为f (x)min＝f (2)＝4，
故函数f (x)＝＋2x的值域为[4，＋∞)．
12．函数y＝(x>1)的值域为________．
答案　[2＋4，＋∞)
解析　令x－1＝t>0，∴x＝t＋1.
∴y＝＝＝t＋＋4
≥2 ＋4，当且仅当t＝即t＝时等号成立．
∴函数的值域为[2＋4，＋∞)．

13．若函数y＝f (x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0,1) B．[0,1]
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
答案　A
解析　函数y＝f (x)的定义域是[0,2]，要使函数g(x)有意义，可得解得0≤x<1，故选A.
14．定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m 答案　[－2,0]∪(4,60]
解析　由题意知，f (x)＝
当x∈[1,2]时，f (x)∈[－2,0]；
当x∈(2,4]时，f (x)∈(4,60]，
故当x∈[1,4]时，f (x)∈[－2,0]∪(4,60]．

15．已知函数f (x)＝的值域为[－15,1]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．[－2，－1] D．{－2}
答案　B
解析　当0≤x≤5时，f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以－15≤f (x)≤1；当a≤x<0时，f (x)＝1－x为增函数，所以1－a≤f (x)<0，因为f (x)的值域为[－15,1]，所以故－2≤a<0，故选B.
16．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)
A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋
C．y＝－log3x
D．y＝
答案　AD
解析　根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．
对于选项A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；
对于选项B，y＝x＋，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；
对于选项C，y＝－log3x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；
对于选项D，y＝，不是定义域上的单调函数，
有不同的自变量对应同一函数值，
故D可以构造“同值函数”．
所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.