- 高考数学一轮复习第一章 1.6 试卷 试卷 1 次下载
- 高考数学一轮复习第一章 1.7 试卷 试卷 0 次下载
- 高考数学一轮复习第一章 检测一 教案 1 次下载
- 高考数学一轮复习第二章 2.1 第1课时 试卷 试卷 1 次下载
- 高考数学一轮复习第二章 2.1 第2课时 试卷 试卷 0 次下载
高考数学一轮复习第一章 微专题一
展开波利亚有句名言:“类比是伟大的引路人”.这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位.
我们知道,a2+b2≥2ab(a,b∈R)以及eq \f(a+b,2)≥eq \r(ab)(a,b∈R+)是两个应用广泛的基本不等式,一种有趣的想法是:这两个不等式可以类比到向量中去吗?
由(a-b)2=|a-b|2≥0不难得到a2+b2≥2a·b,当且仅当a=b时等号成立.
但将eq \f(a+b,2)≥eq \r(ab)(a,b∈R+)简单地类比为eq \f(a+b,2)≥eq \r(a·b)就不行了,由于该不等式左边为向量,右边为数量,故其无意义,因此我们需要调整角度,看能否获得有用的结果.
注意到eq \f(a+b,2)≥eq \r(ab)(a,b∈R+)⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))2≥ab(a,b∈R+),而不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))2≥a·b左右两边都是数量,因而可以比较大小.事实上,由(a+b)2=(a-b)2+4a·b=|a-b|2+4a·b≥4a·b可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))2≥a·b,当且仅当a=b时等号成立.
这样,我们就得到如下两个结论:
定理1 设a,b是两个向量,则a2+b2≥2a·b,当且仅当a=b时等号成立.
定理2 设a,b是两个向量,则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))2≥a·b,当且仅当a=b时等号成立.
例1 若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值是________.
答案 -eq \f(9,8)
解析 方法一 由定理1得
32≥|2a-b|2=(2a-b)2=(-2a)2+b2-4a·b
≥2·(-2a·b)-4a·b=-8a·b,
所以a·b≥-eq \f(9,8),当且仅当b=-2a时等号成立,
故a·b的最小值是-eq \f(9,8).
方法二 由定理2得
2a·(-b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a-b,2)))2=eq \f(|2a-b|2,4)≤eq \f(9,4),
则a·b≥-eq \f(9,8),当且仅当b=-2a时等号成立.
故a·b的最小值是-eq \f(9,8).
说明 本题可推广至一般形式:若平面向量a,b满足:|λa+b|≤m(m>0),则当λ>0时,a·b的最大值为eq \f(m2,4λ);当λ<0时,a·b的最小值为eq \f(m2,4λ).
例2 已知a,b满足|a|=1,(a+b)·(a-2b)=0,则|b|的最小值为________.
分析 此题有一定难度.普通学生难以想到.事实上,利用定理1此题极易作答,过程如下.
答案 eq \f(1,2)
解析 引入正参数λ,
由(a+b)·(a-2b)=0得a2-a·b-2b2=0,又|a|=1,则1-2b2=a·b,
1-2b2=a·b≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λa2+\f(1,λ)b2))
=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ+\f(1,λ)b2)),
当且仅当λa2=eq \f(1,λ)b2,即b2=λ2时等号成立.
所以1-2λ2=a·b≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λa2+\f(1,λ)b2))
=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ+\f(1,λ)·λ2)),
解得λ=|b|≥eq \f(1,2),
故|b|的最小值为eq \f(1,2).
例3 已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,求|c|的最大值.
解 由(a-c)·(b-c)=0得c2=c·(a+b),
由定理1及已知条件得
c2=c·(a+b)≤eq \f(1,2)[c2+(a+b)2]
=eq \f(1,2)(c2+a2+b2)=eq \f(1,2)(c2+2),
解得|c|2≤2,故|c|的最大值是eq \r(2).
拓展1 已知a,b是平面内夹角为θ的两个单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是eq \f(1,cs \f(θ,2)).
拓展2 已知a,b是平面内两个互相垂直的向量,且|a|=m,|b|=n,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是eq \r(m2+n2).
例4 平面上三点A,B,C满足eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0,求eq \(AC,\s\up6(→))2+eq \f(1,\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)))的最小值.
解 由定理2得0
eq \(AC,\s\up6(→))2+eq \f(1,\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)))≥eq \(AC,\s\up6(→))2+eq \f(4,\(AC,\s\up6(→))2)
=|eq \(AC,\s\up6(→))|2+eq \f(4,|\(AC,\s\up6(→))|2)≥2·|eq \(AC,\s\up6(→))|·eq \f(2,|\(AC,\s\up6(→))|)=4,
故当且仅当eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→)),且|eq \(AC,\s\up6(→))|=eq \r(2)时,eq \(AC,\s\up6(→))2+eq \f(1,\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)))取得最小值4.
例5 设a,b满足a2+a·b+b2=3,求a2-a·b+b2的取值范围.
解 由定理1得a·b≤eq \f(a2+b2,2),
所以a·b≤eq \f(3-a·b,2),
解得a·b≤1.
又由定理1得(-a)·b≤eq \f(-a2+b2,2),
所以a·b≥-eq \f(a2+b2,2)=-eq \f(3-a·b,2),解得a·b≥-3.
所以-3≤a·b≤1.
因为a2-a·b+b2=(3-a·b)-a·b=3-2a·b,
所以1≤a2-a·b+b2≤9.
以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力,它们微小平凡,对破解难题却极其有效.不过,追求它们更广泛的应用前景固然让人心动,但更有价值的则是获得它们的思维过程.类比是打开发现之门的金钥匙,但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考.
专题一 微重点1 导数中函数的构造问题2024年高考数学: 这是一份专题一 微重点1 导数中函数的构造问题2024年高考数学,共2页。
2023版高考物理创新设计二轮复习讲义微专题一 用数学方法解决物理问题: 这是一份2023版高考物理创新设计二轮复习讲义微专题一 用数学方法解决物理问题,共7页。
高考数学一轮复习微专题146份: 这是一份高考数学一轮复习微专题146份,文件包含高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第7节利用空间向量解决探索性问题doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第8节二次函数doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第8节平面与平面垂直的判定与性质doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第6节线面面面平行的综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第6节函数的单调性doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第8节定积分doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第1节函数与方程doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第8节空间几何体综合doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第5节几何体的体积doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第2节空间几何体的三视图doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第4节求三角形的面积doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第4节直线与平面平行的判定与性质doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第8节角的配凑技巧doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第1节根据图像求三角函数解析式doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第7节直线与平面垂直的判定与性质doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第2节空间两条直线的位置关系doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第10节线面面面垂直的综合问题doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第7节多面体与球有关的切接问题doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第9节线面角及二面角的求法doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第6节三角函数的定义域与值域doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第4节几何体的表面积doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第7节三角函数的对称性奇偶性与周期性doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第2节三角函数图像的变换doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第8节数列综合问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第1节正弦定理doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第7节函数图像及识别doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第5节二倍角公式doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第8节平面向量的夹角与模doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第7节平面向量的数量积运算doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第8节函数图像的应用doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第1节空间向量的线性运算doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第8节利用平面向量求角度问题doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第8节直线系方程的应用doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第3节扇形的弧长及面积公式doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第7节导数的综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第7节函数的奇偶性doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第3节空间向量数量积的应用doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第1节等比数列概念doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第5节平面与平面平行的判定与性质doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第3节异面直线所成的角doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第3节等差数列等比数列综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第5节数列求和之倒序相加与错位相减法doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第6节数列求和之裂项相消法doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第4节集合背景下的新定义问题pdf、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第8节等差数列综合问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第5节等差数列概念doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第1节直线的倾斜角与斜率doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第1节空间几何体的结构特征doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第1节平面的基本性质doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第6节平面向量坐标表示doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第4节不等式性质的应用doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第6节利用基本不等式证明不等式doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第8节函数的周期性doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第2节指数函数doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第4节对数函数doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第5节对数函数的应用doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第6节指数函数与对数函数doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第7节幂函数doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第5节一元二次不等式的解法doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第3节一次函数与分段函数模型doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第3节三角函数性质综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第6节三角恒等变换doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第8节三角函数的单调性doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第2节共线定理共面定理的应用doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第3节空间几何体的直观图doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第1节数列概念及根据前几项求通项doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第3节导数的几何意义doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第5节三角函数的诱导公式doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第4节数列求和之并项求和与分组求和法doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第2节等比数列性质doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第8节一元二次不等式综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第2节求线性目标函数的最值doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第6节圆的切线与弦长问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第3节由递推公式求通项doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第1节圆的方程doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第2节根据前n项和求通项doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第8节高度问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第7节方位角问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第5节平面向量坐标运算doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第5节解三角形doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第2节直线的方程doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第5节命题doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第3节判断三角形的形状doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第5节含参线性规划doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第2节余弦定理doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第7节利用基本不等式求最值doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第7节对称问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第3节共线向量doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第4节同角三角函数的基本关系doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第2节三角函数的定义doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第4节平面向量基本定理doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第7节辅助角公式doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第2节向量线性运算doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第3节集合的运算pdf、高中数学一轮复习微专题第18季圆第7节圆与圆的位置关系pdf、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第6节距离问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第4节数列中的函数思想doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第4节两角和与差的三角函数公式doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第7节等差数列前n项和的最值问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第6节等差数列性质doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第1节向量概念doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第5节函数的值域doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第1节象限角与终边相同的角doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第8节基本不等式的实际应用doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第6节两条直线的交点doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第5节距离问题doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第4节两条直线平行与垂直doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第6节利用空间向量证明垂直问题doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第5节利用空间向量证明平行问题doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第4节空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第6节球的表面积与体积doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第4节求非线性目标函数的最值doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第4节圆的方程综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第3节线性规划的实际应用doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第1节二元一次不等式组表示平面区域doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第7节一元二次不等式应用doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第6节一元二次不等式恒成立问题doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第2节比较大小doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第1节用不等式表示不等关系doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第7节数列求和之公式求和法doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第6节导数与函数的最值doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第6节充要条件pdf、高中数学一轮复习微专题第18季圆第5节直线与圆的位置关系doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第1节指数及运算doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第5节导数与函数的极值doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第4节导数与函数的单调性doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第2节导数的运算doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第1节导数的概念doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第5节指数函数模型doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第4节二次函数模型doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第2节零点的应用doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第8节直线圆的位置关系的综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第3节对数及运算doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第3节分段函数doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第1节函数及其表示doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第8节全称命题与特称命题doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第7节简易逻辑doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第1节集合的概念doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第4节函数的定义域doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第2节函数的解析式doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第3节直线方程的综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第6节对数函数模型doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第3节不等式的性质doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第2节集合间的基本关系pdf、高中数学一轮复习微专题第18季圆第2节与圆有关的最值问题doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第3节与圆有关的轨迹问题doc等146份试卷配套教学资源,其中试卷共774页, 欢迎下载使用。