高考数学一轮复习第一章 1.2

这是一份高考数学一轮复习第一章 1.2，共10页。试卷主要包含了命题，四种命题及其相互关系，∵ex－1<1，∴x<1.，下列叙述中不正确的是等内容，欢迎下载使用。


1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
概念方法微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示 若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题．( √ )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(4)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.( √ )
题组二 教材改编
2．下列命题是真命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若整数a是素数，则a是奇数
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
答案 A
3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．
答案 两直线不平行，同位角不相等
4．已知△ABC的三边分别为a，b，c，那么“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca”是“△ABC为等边三角形”的________条件．
答案 充要
题组三 易错自纠
5．设Sn为数列{an}的前n项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若an＝2n－10，则S4∴充分性不成立．
若an＝eq \f(1,n)，则{Sn}递增，此时{an}递减，
∴必要性不成立．
6．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x<1 B．x>1 C．x>－1 D．x>3
答案 BC
命题及其关系
1．命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是( )
A．若xy＝0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0
C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0
答案 D
解析 “若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则xy≠0”．
2．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的eq \f(1,2)，则其体积缩小到原来的eq \f(1,8)；
②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝eq \f(1,2)相切．
其中真命题的序号是________．
答案 ①③
3．命题“若a<0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________．
答案 2
解析 当a<0时，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a<0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤eq \f(1,4)，显然a<0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故真命题的个数为2.
4．给出以下命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③若ab是正整数，则a，b都是正整数；
④若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减．
其中为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
答案 ①
解析 ①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增，故④为假命题．综上①为真命题．
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
充分、必要条件的判定
例1 (1)(2019·皖南八校联考)“eq \f(1,x)>1”是“ex－1<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵eq \f(1,x)>1，∴x∈(0,1)．∵ex－1<1，∴x<1.
∴“eq \f(1,x)>1”是“ex－1<1”的充分不必要条件．
(2)若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 A＝{x|1∵B⊆A，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≥1，,a＋1≤4，))即2≤a≤3，
∵(2,3)[2,3]，∴“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件．
(3)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由5x－6>x2，得2所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
答案 D
解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．
(2)设p：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1，q：lg2x<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1知x>0，所以p对应的集合为(0，＋∞)，由lg2x<0知0 充分、必要条件的应用
例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2， ∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
本例中，若x∉P是x∉S的必要条件，求m的取值范围．
解 若x∉P是x∉S的必要条件，则x∉S⇒x∉P，
∴x∈P⇒x∈S，∴P⊆S，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≤－2，,1＋m≥10，))∴m≥9，
故m的取值范围是[9，＋∞)．
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 (1)已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是綈q的充要条件，则实数a的值为________．
答案 1
解析 綈q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1.
由p是綈q的充要条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,a＋1＝2，))∴a＝1.
(2)设p：|2x＋1|0)；q：eq \f(x－1,2x－1)>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
答案 (0,2]
解析 由|2x＋1|0)，得－m<2x＋1∴－eq \f(m＋1,2)由eq \f(x－1,2x－1)>0，得x1.
∵p是q的充分不必要条件，
∴eq \f(m－1,2)≤eq \f(1,2)，∴01．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
答案 B
解析 命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
2．(2019·人大附中阶段考)命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
答案 D
解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换条件和结论，注意“－13．已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”
D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”
答案 B
解析 已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是若a2<1，则a<1，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是若a≥1，则a2≥1，所以C不正确；命题p的逆否命题是若a2≥1，则a≥1，所以D不正确．故选B.
4．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.
5．“lg2(2x－3)<1”是“4x>8”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由lg2(2x－3)<1⇔0<2x－3<2⇔eq \f(3,2)8⇔2x>3⇔x>eq \f(3,2)，所以“lg2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.
6．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<3 C．a>4 D．a<4
答案 A
解析 若2x>a－x，即2x＋x>a.设f (x)＝2x＋x，则函数f (x)为增函数．由题意知“2x＋x>a成立，即f (x)>a成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f (x)>3，∴a>3.
7．(多选)若x2－x－2<0是－2A．1 B．2 C．3 D．4
答案 BCD
解析 由x2－x－2<0，解得－1∵x2－x－2<0是－2∴(－1,2)(－2，a)，∴a≥2.
∴实数a的值可以是2,3,4.
8．(多选)下列叙述中不正确的是( )
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“a>1”是“eq \f(1,a)<1”的充分不必要条件
答案 AB
解析 A错误，当a＝0，b＝0，c<0时，满足b2－4ac≤0，但此时ax2＋bx＋c≥0不成立，故若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”错误；
B错误，若a，b，c∈R，“a>c”且b＝0时，推不出“ab2>cb2”，故错误；
C正确，若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a>0，x1x2＝a<0，则a<0，又“a<1”是“a<0”的必要不充分条件，故正确；
D正确，“a>1”⇒“eq \f(1,a)<1”但是“eq \f(1,a)<1”推不出“a>1”，故正确．
9．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中________为真命题．(填序号)
①M中的元素都不是P中的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P中的元素．
答案 ②④
10．下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；
②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；
③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；
④命题“若a>b，则ac>bc”的逆否命题．
答案 ②
解析 对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若a>b，则ac>bc”为假命题，所以它的逆否命题为假命题．
11．已知f (x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f (x1)＋f (x2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵函数f (x)是奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f (x1)＝f (－x2)＝－f (x2)，即f (x1)＋f (x2)＝0成立，即充分性成立；若f (x)＝0，满足f (x)是奇函数，当x1＝x2＝2时，满足f (x1)＝f (x2)＝0，此时满足f (x1)＋f (x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f (x1)＋f (x2)＝0”的充分不必要条件．
12．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<2x<8))))，B＝{x|－1答案 (2，＋∞)
解析 因为A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<2x<8))))＝{x|－13，即m>2.
13．(2020·深圳模拟)对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立．当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0,1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立．所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．故选B.
14．设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥x－1，,y≥1－x，,y≤1))则p是q的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 (x－1)2＋(y－1)2≤2表示以(1,1)为圆心，以eq \r(2)为半径的圆内区域(包括边界)；满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥x－1，,y≥1－x，,y≤1))的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，故p是q的必要不充分条件，故选A.
15．(2019·山西运城测试)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－x－6≤1))))，B＝{x|lg3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－x－6≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，则A＝{x|x≤－2或x≥3}．由lg3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，则B＝{x|x≥3－a}．由题意知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.
16．(2019·南昌模拟)已知r>0，x，y∈R，p：|x|＋eq \f(|y|,2)≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5)))
解析 画出|x|＋eq \f(|y|,2)≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x＋eq \f(y,2)＝1，即2x＋y－2＝0.由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(2,\r(22＋1))＝eq \f(2\r(5),5)≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))).若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p