高考数学一轮复习第一章 1.1

这是一份高考数学一轮复习第一章 1.1，共11页。试卷主要包含了1　集　合，集合的基本关系，))等内容，欢迎下载使用。


1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
概念方法微思考
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．
提示 2n,2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × )
(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆(M∩N)．( √ )
题组二 教材改编
2．若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(2 021)}，a＝2eq \r(2)，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．a∉A
答案 D
3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个．
答案 4
解析 因为(A∪B)⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．
4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝________.
答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
题组三 易错自纠
5．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )
A．∅⊆A B．－2∈A
C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}
答案 ACD
解析 易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．
6．已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.
答案 0或3
解析 因为B⊆A，所以m＝3或m＝eq \r(m).即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
答案 0或1或－1
解析 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，
∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.
集合的含义与表示
1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；
当x＝2时，y＝0,1,2.
故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6个元素．
2．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈Z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2－x)∈Z))))，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为eq \f(3,2－x)∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.
3．给出下列四个命题：
①{(x，y)|x＝1或y＝2}＝{1,2}；
②{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}；
③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有15个真子集；
④设2 021∈{x，eq \r(x2)，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为3.
其中正确的命题是________．(填序号)
答案 ②③④
解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x＝1和y＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k＋1,3k－2(k∈Z)都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k＋1与3k－2中的k为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x＝－2 021或x＝－eq \r(2 021)，满足条件的所有x组成的集合为{－2 021，－eq \r(2 021)}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
集合间的基本关系
例1 (1)集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)＋1，n∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝m＋\f(1,2)，m∈Z))))，则两集合M，N的关系为( )
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．M⊆N D．N⊆M
答案 D
解析 由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋eq \f(1,2)(k∈Z)，∴N⊆M，故选D.
(2)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0答案 4
解析 由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．
(3)已知集合A＝{x|x2－2 021x＋2 020<0}，B＝{x|x答案 [2 020，＋∞)
解析 由x2－2 021x＋2 020<0，解得1故A＝{x|1又B＝{x|x思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA
C．A⊆B D．B＝A
答案 B
解析 由题意知A＝{x|y＝eq \r(1－x2)}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}．
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
所以BA，故选B.
(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
答案 (－∞，－2)∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))
解析 A＝{x|－1≤x≤6}．
∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.
当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意．
当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))
解得0≤m≤eq \f(5,2).
得m<－2或0≤m≤eq \f(5,2).
集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( )
A．(1,3) B．(1,3]
C．[－1,2) D．(－1,2)
答案 C
解析 因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝[－1,2)．
(2)(2020·沈阳检测)已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为( )
A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{1,3,5}
答案 B
解析 由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，
∁U(A∪B)＝{7}．故选B.
命题点2 利用集合的运算求参数
例3 (1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案 B
解析 因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0(2)已知集合A＝{x|xA．a<1 B．a≤1
C．a>2 D．a≥2
答案 D
解析 集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．
可知a≥2.
本例(2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，1]
解析 ∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1由B⊆A结合数轴观察(如图)．
可得a≤1.
思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
跟踪训练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA等于( )
A．{1,6} B．{1,7}
C．{6,7} D．{1,6,7}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴∁UA＝{1,6,7}．
又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}．
(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1 D．a>－1
答案 D
解析 在数轴上画出集合A，B(如图)，
观察可知a>－1.
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．
例1 对于集合M，定义函数fM(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，x∈M，,1，x∉M.))对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________．
答案 {1,6,10,12}
解析 要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1,6,10,12}，所以A△B＝{1,6,10,12}．
例2 (多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq \f(a,b)∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是( )
A．数域必含有0,1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
答案 AD
解析 当a＝b时，a－b＝0，eq \f(a,b)＝1∈P，故可知A正确．
当a＝1，b＝2时，eq \f(1,2)∉Z不满足条件，故可知B不正确．
当M比Q多一个元素i时，则会出现1＋i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确．
根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．
例3 已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为( )
A．15 B．16 C．20 D．21
答案 D
解析 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.
1．下列各组集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
答案 B
2．已知集合M＝{x|x2－x－6＝0}，则下列表述正确的是( )
A．{－2}∈M B．2∈M
C．－3∈M D．3∈M
答案 D
解析 ∵集合M＝{x|x2－x－6＝0}．
∴集合M＝{－2,3}，∴－2∈M,3∈M，故选D.
3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
答案 A
解析 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．
故选A.
4．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有( )
A．7个 B．8个 C．15个 D．16个
答案 A
解析 ∵集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}＝{x∈N*|－1∴集合A中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．
5．已知集合M＝{x|x>4或x<1}，N＝[－1，＋∞)，则M∩N等于( )
A．(－∞，＋∞) B．(－1,1)∪(4，＋∞)
C．∅ D．[－1,1)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 因为M＝{x|x>4或x<1}，N＝[－1，＋∞)，所以M∩N＝[－1,1)∪(4，＋∞)．
6．(2020·山东模拟)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B等于( )
A．{(1,1)} B．{(－2,4)}
C．{(1,1)，(－2,4)} D．∅
答案 C
解析 首先注意到集合A与集合B均为点集，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝x2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4.))
从而集合A∩B＝{(1,1)，(－2,4)}．
7．(多选)已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝∅
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪∁RB＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩∁RB＝{x|2答案 BD
解析 ∵A＝{x|－1∴A∩B＝{x|－1A∪B＝{x|－1∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，
∴A∪∁RB＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；
A∩∁RB＝{x|－12}＝{x|28．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断不正确的是( )
A．A∪B＝B B．(∁RB)∪A＝R
C．A∩B＝{x|1答案 ABD
解析 因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}；
因为2<2x≤8，所以1所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x>3}，(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1或x>2}．
9．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.
答案 {1,3}
解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
10．(2019·湖北黄石一中模拟)设集合M＝{y|y＝2cs x，x∈[0,5]}，N＝{x|y＝lg2(x－1)}，则M∩N＝________.
答案 {x|1解析 ∵M＝{y|y＝2cs x，x∈[0,5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝lg2(x－1)}＝{x|x>1}，
∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|111．设集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1,2}，则a的值为________．
答案 －2或1
解析 ∵集合A＝{－1,1,2}，B＝{a＋1，a2－2}，A∩B＝{－1,2}，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＝－1，,a2－2＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＝2，,a2－2＝－1，))解得a＝－2或a＝1.
经检验，a＝－2和a＝1均满足题意．
12．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A中的元素为________．若集合B满足B⊆A，则集合B的个数是________．
答案 －1,0 4
解析 解方程x2＋x＝0得x＝－1或x＝0，
所以集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}＝{－1,0}，
故集合A中的元素为－1,0.
因为集合B满足B⊆A，
所以集合B的个数为22＝4.
13．(2020·青岛模拟)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，
则B＝{x|m14．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
答案 (－∞，2]
解析 当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故115．(多选)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题中是真命题的有( )
A．集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集
答案 AB
解析 两个复数的和、差、积仍是复数，且运算后的实部、虚部仍为整数，
所以集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集，A正确．
当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，B正确．
对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，C错误．
取S＝{0}，T＝{0,1}，满足S⊆T⊆C，但由于0－1＝－1不属于T，故T不是封闭集，D错误．
16．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))，若M与N“相交”，则a＝________.
答案 1
解析 M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(a))，\f(1,\r(a))))，由eq \f(1,\r(a))＝eq \f(1,2)，得a＝4，由eq \f(1,\r(a))＝1，得a＝1.
当a＝4时，M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，此时M⊆N，不合题意；
当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意．集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA